17.2 勾股逆定理
知识要点：
1.勾股定理逆定理：三角形中两边的平方之和等于第三边的平方，这个三角形为直角三角形.
2. 勾股数：
若三个正整数a，b，c满足a²+b²=c²，则称a，b，c是勾股数.[来源:学科网]
常见勾股数：3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；9,40,41……
（1）设n为正整数，由a=2n+1，b=2n（n+1），c=2n（n+1）+1，可得许多组互质的勾股数；
（2）设n为不小于4的偶数，由a=2n
，b=n2-1，c= n2+1，可得许多组互质的勾股数
一、单选题
1．下列各组数中，不能构成直角三角形的是
( )
A．a=
1，b=
，c=
B．a=5，b=12，c=13 C．a=1，b=
，c=
D．a=1，b=1，c=2
2．设△ABC的三边分别为a，b，c，满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B=90° B．b2=a2-c2
C．∠A：∠B：∠C=3：4：5 D．a：b：c=5：12：13
3．若△ABC的三边
满足
，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
4．如图，在
方格中作以
为一边的
，要求点
也在格点上，这样的能做出（ ）
A．
个 B．
个 C．
个 D．
个
5．如图，在单位正方形组成的网格图中标有
四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．下列是勾股数的有( )
① 3、4、5；② 5、12 、13；③ 9、40 、41；④ 13、14、15；⑤
；⑥ 11 、60 、61
A．6组 B．5组 C．4组 D．3组
7．如图，四边形ABCD中，AB＝4cm, BC＝3cm，CD＝12cm，DA＝13cm，且∠ABC＝90°，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．6cm2 B．30cm2 C．24cm2 D．72cm2
8．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载着这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题的大意是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里；12里；13里，问这块沙田面积有多大？题中的1里=0.5千米，则该沙田的面积为（ ）
A．3平方千米 B．7.5平方千米 C．15平方千米 D．30平方千米
9．如图，中俄“海上联合—2017”军事演习在海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西30°方向以12海里/小时的速度航行，二号舰以16海里/小时速度航行，离开港口1.5小时后它们分别到达A,B两点，相距3
0海里，则二号舰航行的方向是（ ）
A．南偏东30° B．北偏东30° C．南偏东 60° D．南偏西 60°
10．已知
，
，
是三角形的三边长，且
，那么此三角形是（ ）
A．以为斜边的直角三角形 B．以为斜边的直角三角形
C．等腰直角三角形 D．锐角三角形
二、填空题
11．观察：①3、4、5，②5、12、13，③7、24、25，……，发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过．根据以上规律，请写出第8组勾股数：______．
12．如图，已知图中小正方形在格点上，则△ABC的面积为__________.
13．如图，在四边形ABCD中，
，
，
，
，AB⊥BC，四边形ABCD的面积为___________________．
14．若一个三角形的三边长之比为5∶12∶13，且周长为60 cm，则它的面积为________ cm2.
三、解答题
15．已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD2+CD2＝2AB2，CD⊥AD．
（1）求证：AB⊥BC．
（2）若AB＝3CD，AD＝17，求四边形ABCD的周长．
16．如图，在四边形ABCD中，AB=BC=3，CD=
，DA=5，∠B=90°，求∠BCD的度数
17．在
方格纸中的位置如图1所示，方格纸中的每个小正方形的边长为1个单位长度.
(1)图1中线段
的长是___________；请判断的形状，并说明理由.
(2)请在图2中画出
，使
，
，
三边的长分别为
，
，.
(3)如图3，以图1中的，
为边作正方形
和正方形
，连接
，求
的面积.
18．在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表：
|
m |
2 |
3 |
3 |
4 |
… |
|
n |
1 |
1 |
2 |
3 |
… |
|
a |
22+12 |
32+12 |
32+22 |
42+32 |
… |
|
b |
4 |
6 |
12 |
24 |
… |
|
c |
22﹣12 |
32﹣12 |
32﹣22 |
42﹣32 |
… |
其中m、n为正整数，且m＞n．
（1）观察表格，当m=2，n=1时，此时对应的a、b、c的值能否为直角三角形三边的长？说明你的理由．
（2）探究a，b，c与m、n之间的关系并用含m、n的代数式表示：a= ，b= ，c= ．
（3）以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例[来源:学科网ZXXK]
答案
1．D
2．C
3．D
4．D
5．C
6．C
7．C
8．B
9．C
10．B
11．17，144，145
12．5
13．
14．120
15．（1）证明：连接AC．
[来源:学科网]
∵CD⊥AD，
∴AD2+CD2＝AC2，
∵AD2+CD2＝2AB2，AB＝BC，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC．
（2）设CD＝k，则AB＝BC＝3k，
∵∠ABC＝90°，
∴AC2＝18k2，[来源:学|科|网Z|X|X|K]
在Rt△ACD中，∵AC2＝CD2+AD2，
∴18k2＝172+k2，
∴k＝
，
∴CD＝，AB＝BC＝3，
∴四边形ABCD的周长＝AB+BC+AD+CD＝17+7．
16.解：∵∠B=90°，AB=BC=3，
∴AC=
=
=3 
，，∠BAC=∠BCA=45°，
又∵CD=
，DA=5，[来源:学#科#网Z#X#X#K]
∴AC2+CD2=18+7=25，AD2=25，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ACD=90°，
∴∠BCD=∠BCA+∠DCA=45°+90°=135°．
17.解：（1）AB=
，△ABC为直角三角形，
理由是：AB=
=，AC=
=
，BC=5，
∵
，
∴△ABC为直角三角形；
（2）如图，即为所画三角形：
（3）∵∠BAC=90°，∠BAR=∠CAD=90°，
∴∠RAD=90°，
∵ AR=AB=，AD=AC=，
∴
=5.
18.解：（1）当m=2，n=1时，a=5、b=4、c=3，
∵32+42=52，
∴a、b、c的值能为直角三角形三边的长；
（2）观察得，a=m2+n2，b=2mn，c=m2﹣n2；
（3）以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形，
∵a2=（m2+n2）2=m4+2m2n2+n4，
b2+c2=m4﹣2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4，
∴a2=b2+c2，
∴以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形
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