杨浦区2017-2018学年度第一学期期末高三年级质量调研
数学学科试卷
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。
1、若“
”，则“
”是 命题。（填：真，假）
2、已知
，
，若
，则
的取值范围是 。
3、
（
为虚数单位），则
。
4、若
中，
，
，则面积的最大值是 。
5、若函数
的反函数的图像过点
，则
。
6、过半径为2的球
表面上一点
作球的截面，若
与该截面所成的角是
，则该截面的面积是 。
7、抛掷一枚均匀的骰子（刻有
）三次，得到的数字以此记作
，则
（为虚数单位）是方程
的根的概率是 。
8、设常数
，
展开式中
的系数为4，则
。
9、已知直线
经过点
且方向向量为
，则原点到直线的距离为 。
10、若双曲线的一条渐近线为
，且双曲线与抛物线
的准线仅有一个公共点，则此双曲线的标准方程为 。
11、平面直角坐标系中，给出点
，
，若直线
上存在点
，使得
，则实数
的取值范围是 。
12、函数
是最小正周期为4的偶函数，且在
时，
，若存在
满足
，
且
，则
最小值为 。
二、选择题（本大题满分20分）
13、若
与
都是非零向量，则“
”是“
”的（ ）
A、充分非必要条件 B、必要非充分条件
C、充要条件 D、既非充分也非必要条件
14、行列式
中，元素7的代数余子式的值为（ ）
A、-15 B、-3 C、3 D、12
15、一个公司有8名员工，其中6位员工的月工资分别为5200,5300,5500,6100,6500,6600，另两位员工数据不清楚。那么8位员工月工资的中位数不可能是（ ）
A、5800 B、6000 C、6200 D、6400
16、若直线过点，则下列不等式正确的是（ ）
A、
B、
C、
D、
三、解答题（本大题满分76分）本大题共5小题
17、（本题满分14分）本题共2小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分
如图，某柱体实心铜质零件的截面边界是长度为55毫米线段AB和88毫米的线段AC以及圆心为P，半径为PB的一段圆弧BC构成，其中
.
求半径PB的长度；
现知该零件的厚度为3毫米，试求该零件的重量（每一个立方厘米铜重8.9克，按四舍五入精确到0.1克）（
）
18、（本题满分14分）本题共2小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分
如图所示，
是互相垂直的异面直线，
是它们的公垂线段。点
在
上，且位于
点的两侧，
在
上，
.
求证：异面直线
与
垂直；
若四面体
的体积
，求异面直线之间的距离.
19、（本题满分14分）本题共2小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分
如图所示，椭圆
，左右焦点分别记作
，过分别作直线交椭圆于
，且
.
当直线的斜率
与直线
的斜率
都存在时，求证：
为定值；
求四边形
面积的最大值.
20、（本题满分16分）本题共3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分
数列
，定义
为数列的一阶差分数列，其中
，
.
(1)若
，试判断是否是等差数列，并说明理由；
(2)若
，
，求数列的通项公式；
(3)对（2）中的数列，是否存在等差数列
，使得
对一切
都成立，若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由.
21、（本题满分18分）本题共3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分。
对于函数
，若存在正常数
，使得对任意的
，都有
成立，我们称函数
为“同比不减函数”。
（1）求证：对任意正常数，
都不是“同比不减函数”；
（2）若函数
是“
同比不减函数”，求
的取值范围；
（3）是否存在正常数，使得函数
为“同比不减函数”，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由。
【答案】
1、 真 2、
3、
4、
5、
6、
7、
8、
9、 10、
11、
12、
13、（C） 14、（B） 15、（D） 16、（D）
17.
18.
19.
20.
21.
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