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2017-2018年上海市普陀区高二（下）期末数学试卷

I卷：一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）

1．设集合A={﹣1，1}，B={a}，若A∪B={﹣1，0，1}，则实数a=________．

2．直线y=x+1与直线x=1的夹角大小为________．

3．函数y=的定义域是________．

4．三阶行列式中，元素4的代数余子式的值为________．

5．设函数f（x）=的反函数为f^﹣1（x），若f^﹣1（2）=1，则实数m=________．

6．在△ABC中，若AB=5，B=60°，BC=8，则AC=________．

7．设复数z=（a²﹣1）+（a﹣1）i（i是虚数单位，a∈R），若z是纯虚数，则实数a=________．

8．从5件产品中任取2件，则不同取法的种数为________（结果用数值表示）

9．无穷等比数列{a_n}的公比为，各项和为3，则数列{a_n}的首项为________．

10．复数z²=4+3i（i为虚数单位），则复数z的模为________．

11．若抛物线y²=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），则抛物线焦点坐标为________．

12．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系y=e^kx+b（e为自然对数的底数，k、b为实常数），若该食品在0℃的保鲜时间为120小时，在22℃的保鲜时间是30小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时．

二、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）

13．顶点在直角坐标系xOy的原点，始边与x轴的正半轴重合，且大小为2016弧度的角属于（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

14．底面的半径为1且母线长为的圆锥的体积为（　　）

A． B． C．π D．π

15．设{a_n}是等差数列，下列结论中正确的是（　　）

A．若a₁+a₂＞0，则a₂+a₃＞0 B．若a₁+a₃＜0，则a₁+a₂＜0

C．若0＜a₁＜a₂，则a₂ D．若a₁＜0，则（a₂﹣a₁）（a₂﹣a₃）＞0

16．已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（　　）

A．（﹣7，﹣4） B．（7，4） C．（﹣1，4） D．（1，4）

17．已知椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F₁（﹣4，0），则m=（　　）

A．2 B．3 C．4 D．9

18．若直线 l₁和l₂ 是异面直线，l₁在平面 α内，l₂在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（　　）

A．l与l₁，l₂都不相交 B．l与l₁，l₂都相交

C．l至多与l₁，l₂中的一条相交 D．l至少与l₁，l₂中的一条相交

19．在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n﹣1=2n²﹣n（n∈N^*）的第（ii）步中，假设n=k（k≥1，k∈N^*）时原等式成立，则当n=k+1时需要证明的等式为（　　）

A．1+2+3+…+（2k﹣1）+[2（k+1）﹣1]=2k²﹣k+2（k+1）²﹣（k+1）

B．1+2+3+…+（2k﹣1）+[2（k+1）﹣1]=2（k+1）²﹣（k+1）

C．1+2+3+…+（2k﹣1）+2k+[2（k+1）﹣1]=2k²﹣k+2（k+1）²﹣（k+1）

D．1+2+3+…+（2k﹣1）+2k+[2（k+1）﹣1]=2（k+1）²﹣（k+1）

20．过双曲线x²﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（　　）

A． B．2 C．6 D．4

21．对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（　　）

A．||≤|||| B．||≤|||﹣|||

C．（）²=||² D．（）•（）=²﹣²

22．直线l：x+my﹣1=0（m∈R）是圆C：x²+y²﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，若过点A（﹣4，m）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（　　）

A．2 B．4 C．6 D．2

23．设{a_n}是公比为q的等比数列，令b_n=a_n+1（n∈N^*），若数列{b_n}的连续四项在集合{﹣15，﹣3，9，18，33}中，则q等于（　　）

A．﹣4 B．2 C．﹣4或﹣ D．﹣2或﹣

24．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2， =2+，则下列结论正确的是（　　）

A．||=1 B．⊥ C． •=1 D．（4+）⊥

三、解答题（共5小题，满分48分）

25．如图，长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，已知AB=2，BC=3，AA₁=1，E为CD中点，求异面直线BC₁和D₁E所成角的大小．

26．设椭圆C：mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），直线l：y=x+1与椭圆C交于P，Q两点

（1）设坐标原点为O，当OP⊥OQ时，求m+n的值；

（2）对（1）中的m和n，当|PQ|=时，求椭圆C的方程．

27．如图，在直角坐标平面xOy内已知定点F（1，0），动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，使得•=0，延长MP到点N，使得||=||

（1）当||=1时，求•；

（2）求点N的轨迹方程．

28．已知函数f（x）=sinωx•cosωx﹣cos²ωx的周期为，其中ω＞0

（1）求ω的值，并写出函数f（x）的解析式

（2）设△ABC的三边a、b、c依次成等比数列，且函数f（x）的定义域等于b边所对的角B的取值集合，求此时函数f（x）的值域．

29．设等差数列{a_n}的公差d＞0，前n项和为S_n，且满足a₂•a₃=45，a₁+a₄=14

（1）试寻找一个等差数列{b_n}和一个非负常数p，使得等式（n+p）•b_n=S_n对于任意的正整数n恒成立，并说明你的理由；

（2）对于（1）中的等差数列{b_n}和非负常数p，试求f（n）=（n∈N^*）的最大值．

II卷四、选择题（共3小题，每小题3分，满分9分）

30．“a=b”是“方程ax²+by²=1表示的曲线为圆”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

31．已知坐标平面内两个定点F₁（﹣4，0），F₂（4，0），且动点M满足|MF₁|+|MF₂|=8，则点M的轨迹是（　　）

A．两个点 B．一个椭圆 C．一条线段 D．两条直线

32．已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（　　）

A．（，+∞） B．（﹣∞，） C．（0，） D．（，2）

五、填空题（共3小题，每小题3分，满分9分）

33．已知直线l：Ax+By+C=0（A、B不全为零）与圆x²+y²=1交于M、N两点，且|MN|=，若O为坐标原点，则•的值为________．

34．已知，||=，||=t，若点P是△ABC所在平面内一点，且=+，则的最大值等于________．

35．设直线l与抛物线y²=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）²+y²=r²（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条．则r的取值范围是________．

六、解答题（共1小题，满分12分）

36．设椭圆C： +=1（a＞b＞0），左、右焦点分别是F₁、F₂且|F₁F₂|=2，以F₁为圆心，3为半径的圆与以F₂为圆心，1为班级的圆相交于椭圆C上的点K

（1）求椭圆C的方程；

（2）设椭圆E： +=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q

①求的值；

②令=t，求△ABQ的面积f（t）的最大值．

2017-2018学年上海市普陀区高二（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

I卷：一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）

1．设集合A={﹣1，1}，B={a}，若A∪B={﹣1，0，1}，则实数a=0．

【分析】由A，B，以及两集合的并集，确定出a的值即可．

【解答】解：∵A={﹣1，1}，B={a}，且A∪B={﹣1，0，1}，

∴a=0，

故答案为：0

【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．

2．直线y=x+1与直线x=1的夹角大小为．

【分析】分别求得直线y=x+1和直线x=1的倾斜角，从而求得它们的夹角．

【解答】解：直线y=x+1的斜率为1，倾斜角为，而直线x=1的倾斜角为，

故直线y=x+1与直线x=1的夹角大小为，

故答案为：．

【点评】本题主要考查直线的倾斜角，两条直线的夹角问题，属于基础题．

3．函数y=的定义域是（1，+∞）．

【分析】根据函数的解析式，应满足分母不为0，且二次根式的被开方数大于或等于0即可．

【解答】解：∵函数y=，

∴＞0，

即x﹣1＞0，

解得x＞1；

∴函数y的定义域是（1，+∞）．

故答案为：（1，+∞）．

【点评】本题考查了求函数的定义域的问题，解题时应使函数的解析式有意义，列出不等式（组），求出自变量的取值范围，是容易题．

4．三阶行列式中，元素4的代数余子式的值为4．

【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第3行第3列后所余下的2阶行列式带上符号（﹣1）^i+j为M₃₃，则答案可求．

【解答】解：三阶行列式中，元素4的代数余子式为M₃₃=，其值为1×0﹣（﹣2）×2=4．

故答案为：4．

【点评】本题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行矩阵的运算，是基础题．

5．设函数f（x）=的反函数为f^﹣1（x），若f^﹣1（2）=1，则实数m=3．

【分析】方法一：根据反函数的性质，可得f（1）=2，解得即可．

方法二：先求出f^﹣1（x）=，再代值计算即可．

【解答】解：方法一：∵f^﹣1（2）=1，

∴f（1）=2，

∴=2，

解得m=3，

方法二：∵y=，

则x=，

∴f^﹣1（x）=，

∵f^﹣1（2）=1，

∴=1，

解得m=3，

故答案为：3．

【点评】本小题主要考查反函数、反函数的应用等基础知识，考查运算求解能力、转化思想．属于基础题．

6．在△ABC中，若AB=5，B=60°，BC=8，则AC=7．

【分析】利用余弦定理即可得出．

【解答】解：由余弦定理可得：AC²=5²+8²﹣2×5×8cos60°=49，

解得AC=7．

故答案为：7．

【点评】本题考查了余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

7．设复数z=（a²﹣1）+（a﹣1）i（i是虚数单位，a∈R），若z是纯虚数，则实数a=﹣1．

【分析】利用复数的实部为0，虚部不为0，求解a即可．

【解答】解：复数z=（a²﹣1）+（a﹣1）i（i是虚数单位，a∈R），若z是纯虚数，

可得a²﹣1=0，a﹣1≠0，解得a=﹣1．

故答案为：﹣1．

【点评】本题考查复数的基本概念，考查计算能力．

8．从5件产品中任取2件，则不同取法的种数为10（结果用数值表示）

【分析】直接利用组合知识求解结论．

【解答】解：从5件产品中任取2件，则不同取法的种数为C₅²=10．

故答案为：10．

【点评】本题考查组合知识的运用，考查学生的计算能力，比较基础．

9．无穷等比数列{a_n}的公比为，各项和为3，则数列{a_n}的首项为2．

【分析】由题意可得： =3，解得a₁即可得出．

【解答】解：由题意可得： =3，解得a₁=2．

∴数列{a_n}的首项为2．

故答案为：2．

【点评】本题考查了无穷等比数列的求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

10．复数z²=4+3i（i为虚数单位），则复数z的模为．

【分析】直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．

【解答】解：z²=|z||z|=|3+4i|==5，

∴|z|=，

故答案为：．

【点评】本题考查复数的模以及复数的定义，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力．

11．若抛物线y²=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），则抛物线焦点坐标为（1，0）．

【分析】利用抛物线y²=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），求得=1，即可求出抛物线焦点坐标．

【解答】解：∵抛物线y²=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），

∴=1，

∴该抛物线焦点坐标为（1，0）．

故答案为：（1，0）．

【点评】本题考查抛物线焦点坐标，考查抛物线的性质，比较基础．

12．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系y=e^kx+b（e为自然对数的底数，k、b为实常数），若该食品在0℃的保鲜时间为120小时，在22℃的保鲜时间是30小时，则该食品在33℃的保鲜时间是15小时．

【分析】由已知条件列出方程组，求出e^11k=，由此能求出结果．

【解答】解：由题意得：，解得e^11k=，

∴该食品在33℃的保鲜时间是：

y=e^33k+b=（e^11k）³×e^b=（）³×120=15．

故答案为：15．

【点评】本题考查保鲜时间的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．

二、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）

13．顶点在直角坐标系xOy的原点，始边与x轴的正半轴重合，且大小为2016弧度的角属于（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【分析】利用终边相同角的表示方法化简求解即可．

【解答】解：2016的终边与2016﹣640π的终边相同，而2016﹣640π∈（，2π）．

所以大小为2016弧度的角属于第四象限角．

故选：D．

【点评】本题考查终边相同的角的表示，考查计算能力．

14．底面的半径为1且母线长为的圆锥的体积为（　　）

A． B． C．π D．π

【分析】求出圆锥的高，然后求解圆锥的体积．

【解答】解：底面半径为1，母线长为的圆锥的高为：1．

底面半径为1，母线长为的圆锥的体积为： =．

故选：B．

【点评】本题考查几何体的体积的求法，是基础题．

15．设{a_n}是等差数列，下列结论中正确的是（　　）

A．若a₁+a₂＞0，则a₂+a₃＞0 B．若a₁+a₃＜0，则a₁+a₂＜0

C．若0＜a₁＜a₂，则a₂ D．若a₁＜0，则（a₂﹣a₁）（a₂﹣a₃）＞0

【分析】对选项分别进行判断，即可得出结论．

【解答】解：若a₁+a₂＞0，则2a₁+d＞0，a₂+a₃=2a₁+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确；

若a₁+a₃＜0，则a₁+a₂=2a₁+d＜0，a₂+a₃=2a₁+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即B不正确；

{a_n}是等差数列，0＜a₁＜a₂，2a₂=a₁+a₃＞2，∴a₂＞，即C正确；

若a₁＜0，则（a₂﹣a₁）（a₂﹣a₃）=﹣d²≤0，即D不正确．

故选：C．

【点评】本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．

16．已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（　　）

A．（﹣7，﹣4） B．（7，4） C．（﹣1，4） D．（1，4）

【分析】顺序求出有向线段，然后由=求之．

【解答】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到=（3，1），向量=（﹣4，﹣3），

则向量==（﹣7，﹣4）；

故答案为：A．

【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒．

17．已知椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F₁（﹣4，0），则m=（　　）

A．2 B．3 C．4 D．9

【分析】利用椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F₁（﹣4，0），可得25﹣m²=16，即可求出m．

【解答】解：∵椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F₁（﹣4，0），

∴25﹣m²=16，

∵m＞0，

∴m=3，

故选：B．

【点评】本题考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，比较基础．

18．若直线 l₁和l₂ 是异面直线，l₁在平面 α内，l₂在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（　　）

A．l与l₁，l₂都不相交 B．l与l₁，l₂都相交

C．l至多与l₁，l₂中的一条相交 D．l至少与l₁，l₂中的一条相交

【分析】可以画出图形来说明l与l₁，l₂的位置关系，从而可判断出A，B，C是错误的，而对于D，可假设不正确，这样l便和l₁，l₂都不相交，这样可退出和l₁，l₂异面矛盾，这样便说明D正确．

【解答】解：A．l与l₁，l₂可以相交，如图：

∴该选项错误；

B．l可以和l₁，l₂中的一个平行，如上图，∴该选项错误；

C．l可以和l₁，l₂都相交，如下图：

，∴该选项错误；

D．“l至少与l₁，l₂中的一条相交”正确，假如l和l₁，l₂都不相交；

∵l和l₁，l₂都共面；

∴l和l₁，l₂都平行；

∴l₁∥l₂，l₁和l₂共面，这样便不符合已知的l₁和l₂异面；

∴该选项正确．

故选D．

【点评】考查异面直线的概念，在直接说明一个命题正确困难的时候，可说明它的反面不正确．

19．在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n﹣1=2n²﹣n（n∈N^*）的第（ii）步中，假设n=k（k≥1，k∈N^*）时原等式成立，则当n=k+1时需要证明的等式为（　　）

A．1+2+3+…+（2k﹣1）+[2（k+1）﹣1]=2k²﹣k+2（k+1）²﹣（k+1）

B．1+2+3+…+（2k﹣1）+[2（k+1）﹣1]=2（k+1）²﹣（k+1）

C．1+2+3+…+（2k﹣1）+2k+[2（k+1）﹣1]=2k²﹣k+2（k+1）²﹣（k+1）

D．1+2+3+…+（2k﹣1）+2k+[2（k+1）﹣1]=2（k+1）²﹣（k+1）

【分析】由数学归纳法可知n=k时，1+2+3+…+2k﹣1=2k²+k，到n=k+1时，左端为1+2+3+…+2k﹣1+2k+2k+1从而可得答案．

【解答】解：∵用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n﹣1=2n²﹣n时，

假设n=k时，命题成立，1+2+3+…+2k﹣1=2k²﹣k，

则当n=k+1时，左端为1+2+3+…+2k﹣1+2k+2k+1，

∴从“k→k+1”需增添的项是2k+2k+1，

∴1+2+3+…+（2k﹣1）+2k+[2（k+1）﹣1]=2（k+1）²﹣（k+1）

故选：D．

【点评】本题考查数学归纳法，着重考查理解与观察能力，考查推理证明的能力，属于中档题．

20．过双曲线x²﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（　　）

A． B．2 C．6 D．4

【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出AB的方程，得到AB坐标，即可求解|AB|．

【解答】解：双曲线x²﹣=1的右焦点（2，0），渐近线方程为y=，

过双曲线x²﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2，

可得y_A=2，y_B=﹣2，

∴|AB|=4．

故选：D．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用．

21．对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（　　）

A．||≤|||| B．||≤|||﹣|||

C．（）²=||² D．（）•（）=²﹣²

【分析】由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得．

【解答】解：选项A恒成立，∵||=|||||cos＜，＞|，

又|cos＜，＞|≤1，∴||≤||||恒成立；

选项B不恒成立，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得||≥|||﹣|||；

选项C恒成立，由向量数量积的运算可得（）²=||²；

选项D恒成立，由向量数量积的运算可得（）•（）=²﹣²．

故选：B

【点评】本题考查平面向量的数量积，属基础题．

22．直线l：x+my﹣1=0（m∈R）是圆C：x²+y²﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，若过点A（﹣4，m）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（　　）

A．2 B．4 C．6 D．2

【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+my﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），求得m的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值．

【解答】解：∵圆C：x²+y²﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）²+（y﹣1）²=4，

表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．

由题意可得，直线l：x+my﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），

故有2+m﹣1=0，∴m=﹣1，点A（﹣4，﹣1）．

∵AC==2，CB=R=2，

∴切线的长|AB|==6．

故选C．

【点评】本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题．

23．设{a_n}是公比为q的等比数列，令b_n=a_n+1（n∈N^*），若数列{b_n}的连续四项在集合{﹣15，﹣3，9，18，33}中，则q等于（　　）

A．﹣4 B．2 C．﹣4或﹣ D．﹣2或﹣

【分析】b_n=a_n+1（n∈N^*），数列{b_n}的连续四项在集合{﹣15，﹣3，9，18，33}中，可得等比数列{a_n}的连续四项在集合{﹣16，﹣4，8，17，32}中，则等比数列{a_n}的连续四项为：﹣4，8，﹣16，32或：32，﹣16，8，﹣4．即可得出．

【解答】解：∵b_n=a_n+1（n∈N^*），数列{b_n}的连续四项在集合{﹣15，﹣3，9，18，33}中，

∴等比数列{a_n}的连续四项在集合{﹣16，﹣4，8，17，32}中，

则等比数列{a_n}的连续四项为：﹣4，8，﹣16，32或：32，﹣16，8，﹣4．

则q等于﹣2或﹣．

故选：D．

【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

24．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2， =2+，则下列结论正确的是（　　）

A．||=1 B．⊥ C． •=1 D．（4+）⊥

【分析】由题意，知道，，根据已知三角形为等边三角形解之．

【解答】解：因为已知三角形ABC的等边三角形，，满足=2， =2+，又，∴的方向应该为的方向．

所以，，

所以=2， =1×2×cos120°=﹣1，

4=4×1×2×cos120°=﹣4， =4，所以=0，即（4）=0，即=0，所以；

故选D．

【点评】本题考查了向量的数量积公式的运用；注意：三角形的内角与向量的夹角的关系．

三、解答题（共5小题，满分48分）

25．如图，长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，已知AB=2，BC=3，AA₁=1，E为CD中点，求异面直线BC₁和D₁E所成角的大小．

【分析】如图所示，建立空间直角坐标系．利用向量夹角公式即可得出．

【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．

D（0，0，0），B（3，2，0），C₁（0，2，1），E（0，1，0），D₁（0，0，1）．

∴=（﹣3，0，1），=（0，1，﹣1）．

∴cos===．

∴异面直线BC₁和D₁E所成角的大小为arccos．

【点评】本题考查了通过求向量的夹角公式求异面直线的夹角、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

26．设椭圆C：mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），直线l：y=x+1与椭圆C交于P，Q两点

（1）设坐标原点为O，当OP⊥OQ时，求m+n的值；

（2）对（1）中的m和n，当|PQ|=时，求椭圆C的方程．

【分析】（1）设点P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），直线方程与椭圆方程联立化为（m+n）x²+2nx+n﹣1=0．由OP⊥OQ，可得=x₁x₂+y₁y₂=0，即2x₁x₂+（x₁+x₂）+1=0，把根与系数的关系代入即可得出．

（2）|PQ|===，把m+n=2代入整理为4n²﹣8n+3=0，解出即可得出．

【解答】解：（1）依题意，设点P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），联立，

化为（m+n）x²+2nx+n﹣1=0，∴x₁+x₂=，x₁x₂=．

由OP⊥OQ，∴=x₁x₂+y₁y₂=0，

∴x₁x₂+（x₁+1）（x₂+1）=0，即2x₁x₂+（x₁+x₂）+1=0，

∴﹣+1=0，化为m+n=2．

（2）|PQ|==，

把m+n=2代入整理为4n²﹣8n+3=0，解得，m=，或m=，n=．

∴椭圆C的标准方程为： =1，或=1．

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

27．如图，在直角坐标平面xOy内已知定点F（1，0），动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，使得•=0，延长MP到点N，使得||=||

（1）当||=1时，求•；

（2）求点N的轨迹方程．

【分析】（1）由题意，M（﹣1，0），N（1，2），利用数量积公式求•；

（2）设出动点N，则M，P的坐标可表示出，根据•=0，利用数量积公式求得x和y的关系式，即N的轨迹方程．

【解答】解：（1）由题意，M（﹣1，0），N（1，2），

∴•=（﹣2，0）•（0，2）=0；

（2）设动点N（x，y），则M（﹣x，0），P（0，）（x＞0）．

∵•=0，

∴（﹣x，﹣）•（1，﹣）=0，

∴y²=4x（x＞0）即为所求．

【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，两个向量的数量的运算，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力，属于中档题．

28．已知函数f（x）=sinωx•cosωx﹣cos²ωx的周期为，其中ω＞0

（1）求ω的值，并写出函数f（x）的解析式

（2）设△ABC的三边a、b、c依次成等比数列，且函数f（x）的定义域等于b边所对的角B的取值集合，求此时函数f（x）的值域．

【分析】（1）先逆用两角差的正弦公式化成正弦型函数的标准形式，然后利用周期公式T=求ω的值，进而写出函数f（x）的解析式；

（2）利用余弦定理结合基本不等式求出cosB的范围，再根据B为三角形的内角求出B的范围，得出f（x）的定义域，从而求出f（x）的值域．

【解答】解：（1）f（x）=sinωx•cosωx﹣cos²ωx

=sin2ωx﹣

=sin（2ωx﹣）﹣；

由T==，解得ω=2，

所以函数f（x）的解析式为

f（x）=sin（4x﹣）﹣；

（2）因为b²=ac，

所以cosB==﹣≥﹣=，当且仅当a=c时取“=”；

又B为三角形内角，

所以0＜B≤，即0＜x≤，

所以﹣＜4x﹣≤，

所以﹣≤sin（4x﹣）≤1，

所以﹣1≤sin（4x﹣）﹣≤，

即函数f（x）的值域是[﹣1，]．

【点评】本题考查了三角变换及解三角形的应用问题，解题的关键是化成正弦型函数的标准形式，把求角的范围转化成先求角余弦值的范围，是综合性题目．

29．设等差数列{a_n}的公差d＞0，前n项和为S_n，且满足a₂•a₃=45，a₁+a₄=14

（1）试寻找一个等差数列{b_n}和一个非负常数p，使得等式（n+p）•b_n=S_n对于任意的正整数n恒成立，并说明你的理由；

（2）对于（1）中的等差数列{b_n}和非负常数p，试求f（n）=（n∈N^*）的最大值．

【分析】（1）由a₂•a₃=45，a₁+a₄=14，可得，d＞0，解得d，a₁．可得a_n，S_n．由（n+p）•b_n=S_n对于任意的正整数n恒成立，可得（n+p）b_n=2n²﹣n．分别令n=1，2，3，及其p≥0，即可解得p．

（2）由（1）可得：p=0，b₁=1，b₂=3，公差=2．可得b_n=2n﹣1．于是f（n）==．令g（x）=x+1+，（x≥1），利用导数研究其单调性最值即可得出．

【解答】解：（1）∵a₂•a₃=45，a₁+a₄=14，∴，d＞0，解得d=4，a₁=1．

∴a_n=1+4（n﹣1）=4n﹣3．

S_n==2n²﹣n．

∵（n+p）•b_n=S_n对于任意的正整数n恒成立，∴（n+p）b_n=2n²﹣n．

分别令n=1，2，3，则（1+p）b₁=1，（2+p）b₂=6，（3+p）b₃=15．

可得b₁=，b₂=，b₃=．

∵数列{b_n}是等差数列，∴=+．

化为：2p²+p=0，解得p=0或﹣．

∵p≥0，∴p=0．

（2）由（1）可得：p=0，b₁=1，b₂=3，公差=3﹣1=2．

∴b_n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．

∴f（n）===．

令g（x）=x+1+，（x≥1），

g′（x）=1﹣==，

可得：x∈时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；x∈时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．

又g（1）=3，g（2）=3+．

因此当x∈N^*时，n=1时，g（n）取得最小值3，故n=1时，f（n）取得最大值，f（1）=．

【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式、递推关系、数列的单调性、利用导数研究函数的单调性最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

II卷四、选择题（共3小题，每小题3分，满分9分）

30．“a=b”是“方程ax²+by²=1表示的曲线为圆”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

【分析】根据圆的定义以及集合的包含关系判断即可．

【解答】解：若方程ax²+by²=1表示的曲线为圆，

则a=b＞0，

故“a=b”是“方程ax²+by²=1表示的曲线为圆”的必要不充分条件，

故选：B．

【点评】本题考查了充分必要条件，考查圆的定义，是一道基础题．

31．已知坐标平面内两个定点F₁（﹣4，0），F₂（4，0），且动点M满足|MF₁|+|MF₂|=8，则点M的轨迹是（　　）

A．两个点 B．一个椭圆 C．一条线段 D．两条直线

【分析】首先确定点M在直线上，再利用长度关系，确定点M在线段F₁F₂上，从而得到结论．

【解答】解：若点M与F₁，F₂可以构成一个三角形，则|MF₁|+|MF₂|＞|F₁F₂|，

∵|F₁F₂|=8，动点M满足|MF₁|+|MF₂|=8，

∴点M在线段F₁F₂上．

故选：C．

【点评】本题考查轨迹的求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

32．已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（　　）

A．（，+∞） B．（﹣∞，） C．（0，） D．（，2）

【分析】求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．

【解答】解：∵g（x）=b﹣f（2﹣x），

∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣b+f（2﹣x），

由f（x）﹣b+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=b，

设h（x）=f（x）+f（2﹣x），

若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，

则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x²，

若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，

则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，

若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，

则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）²+2﹣|2﹣x|=x²﹣5x+8．