川沙中学2018学年高二第一学期数学期末考试卷
一、填空题（每题3分）
1.设抛物线的焦点坐标为（1，0），则此抛物线的标准方程为_________.
2.已知复数
（
为虚数单位），则它的虚部为_________.
3.若复数
满足
（是虚数单位），则
_________.
4.设
，若复数
在复平面内对应的点位于实轴上，则
_________.
5.将椭圆的参数方程
（
为参数）转化为普通方程_________.
6.已知抛物线
的焦点与双曲线
的右焦点重合，则双曲线的渐近线方程为_________.
7.已知圆
和点
，则过点
的圆的切线方程为._________
8.若复数
复平面上对应的点在直线
上，则
的最小值是_________.
9.已知抛物线型拱桥的顶点蹑水面2米时，量得水面宽为8米，当水面下降1米后，水面的宽为_________米.
10.已知椭圆
上的一点
也在抛物线
上，设抛物线焦点为
，若
，则
_________.
11.已知
是实系数一元二次方程
的一个虚数根，且
，则实数
的取值范围是_________.
12.点
分别是椭圆
的左、右焦点，点
为椭圆
的上顶点，若动点
满足：
，则
的最大值为_________.
二、选择题（每题3分）
13.在复数范围内，下列命题中，假命题的是（ ）
A.若为实数，则 
B.若，则为实数
C.若
为实数，则为实数 D.若为实数，则为实数
14.当
时，方程
所表示的曲线是（ ）
A.焦点在
轴的椭圆上 B.焦点在轴的双曲线
C.焦点
在轴的椭圆 D.焦点在轴的双曲线
15.若实系数一元二次方程
有两虚数根
，且
，那么实数的值是（ ）
A.
B.
C.
D.
16.已知点
，
，为曲线
上任意一点，则
的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
三、解答题（第17题共8分，第18题共8分，第19题共10分，第20题共12分，第21题共14分）
17.设为关于的方程
，
的虚根，为虚数单位.
（1）当
时，求
的值；
（2）在（1）的条件下，若
，
，求
的取值范围。
18.已知动点
到点
的距离为
，动点到直线
的距离为
，且
.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若直线
交曲线于
两点，求
的面积。
解：
19.已知双曲线
.
（1）若经过点
的直线
与双曲线的右支交于不同两点
，求直线的斜率的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求线段
的中垂线
在轴上的截距
的取值范围.
解：
20.如图，已知满足条件
（其中为虚数单位）的复数在复平面
上的对应点
的轨迹为圆（圆心为），定直线的方程为
，过
斜率为
的直线与直线相交于点，与圆相交于两点，是弦
中点.
（1）若直线经过圆心，求证：与垂直；
（2）当
时，求直线的方程；
（3）设
，试问是否为定值？若为定值，请求出的值，若不为定值，请说明理由.
解：
21.给出定理：在圆惟曲线中，
是抛物线
的条弦， 是的中点，过点且平行于轴的直线与抛物线的交点为
.若
两点纵坐标之差的绝对值
，则
的面积
，试运用上述定理求解以下各题：
（1）若
，所在直线的方程为
，是的中点，过且平行于轴的直线与抛物线
的交点为，求
；
（2）已知是抛物线的一条弦，是的中点，过点且平行于轴的直线与抛物线的交点为，
分别为
和
的中点，过且平行于轴的直线与抛物线分别交于点，若两点纵坐标之差的绝对值，求
和
：
（3）请你在上述问题的启发下，设计一种方法求抛物线：
与弦围成成的“弓形”的面积，并求出相应面积.
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