专题17 函数动点问题中平行四边形存在性
类型一、平行四边形存在性
结论：
类型二、特殊平行四边形存在性
1. 矩形存在性
常用解题思路：构造一线三直角（借助相似或三角函数求解）；利用矩形对角线相等（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）借助勾股定理求解等.
2. 菱形存在性
常用解题思路：利用菱形四条边相等，对角线互相垂直，借助勾股定理等求解.
3. 正方形存在性
常用解题思路：兼具矩形和菱形二者.
【例1】（2018·郑州预测卷）如图，直线y=
与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=
经过B、C两点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一个动点，当△BEC的面积最大时，求出点E的坐标和最大值；
（3）在（2）条件下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵直线y=
与x轴交于点C，与y轴交于点B，
∴B(0,3)，C(4,0)，
将B(0,3)，C(4,0)代入y= 
得：
，解得：
，
∴抛物线的解析式为：
.
（2）过点E作EF⊥x轴于F，交BC于M，
设E（x，
），则M（x，
），
∴ME=
－（
）=
∴S△BEC=
×EM×OC
=2EM
=2(
)
=
,
∴当x=2时，△BEC的面积取最大值3，此时E(2，3).
（3）由题意得：M(2，
)，抛物线对称轴为：x=1，A(－2,0),
设P(m，y)，y=
，Q(1，n)
①当四边形APQM为平行四边形时，
有：
，解得：m=－3，
即P(－3，
)；
②当四边形AMPQ为平行四边形时，
有：－2+m=2+1，即m=5
即P(5, 
)；
③当四边形AQMP为平行四边形时，
有：2－2=1+m，得：m=－1，
即P(－1，
)；
综上所述，抛物线上存在点P，使以点P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为：(－3，
)，(5, 
)，(－1，
).
【变式1-1】（2018·河师大附中模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A(－1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，－3).
（1）求抛物线的解析式与顶点M的坐标；
（2）求△BCM的面积与△ABC面积的比；
（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在x轴上是否存在这样的点P，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】见解析.
【解析】解：（1）将A(－1，0)，B(3，0)， C(0，－3)代入y=ax2+bx+c，得：
，
解得：a=1，b=－2，c=－3，
即抛物线的解析式为：y=x2－2x－3，顶点M的坐标为：（1，－4）；
（2）连接BC，BM，CM，过M作MD⊥x轴于D，如图所示，
S△BCM=S梯形ODMC+S△BDM－S△BOC=3，
S△ACB=6，
∴S△BCM：S△ACB=1：2；
（3）存在.
①当点Q在x轴上方时，过Q作QF⊥x轴于F，如图所示，
∵四边形ACPQ为平行四边形，
∴QP∥AC，QP=AC
∴△PFQ≌△AOC，
∴FQ=OC=3，
∴3=x2﹣2x﹣3，
解得 x=1+
或x=1﹣
，
∴Q(1+
，3)或(1﹣
，3)；
②当点Q在x轴下方时，过Q作QE⊥x轴于E，如图所示，
同理，得：
△PEQ≌△AOC，
∴EQ=OC=3，
∴﹣3=x2﹣2x﹣3，
解得：x=2或x=0(与C点重合，舍去)，
∴Q(2，﹣3)；
综上所述，点Q的坐标为：(1+
，3)或(1﹣
，3)或(2，﹣3).
【例2】（2018·郑州三模）如图所示，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx－5与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点，与y轴交于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2所示，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC、CE分别交于点F、G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；
（3）点M是（1）中所求抛物线对称轴上一动点，点N是反比例函数y=
图象上一点，若以点B、C、M、N为动点的四边形是矩形，请直接写出满足条件的k的值.
【答案】见解析.
【解析】解：（1）将A(-1,0),B(5,0)代入y=ax2+bx－5得：
，解得：
，
即抛物线的解析式为：y=x2－4x－5.
（2）在y=x2－4x－5中，当x=0时，y=－5，即C(0，－5),
∵CE∥x轴，则C、E关于直线x=2对称，
∴E(4，－5), CE=4，
由B（5,0）, C(0，－5)得直线BC的解析式为：y=x－5，
设H(m，m2－4m－5)，
∵FH⊥CE，
∴F(m，m－5)，
∴FH= m－5－（m2－4m－5)= －m2+5m，
S四边形CHEF=
·FH·CE
=
（－m2+5m）×4
=－2（m－
）2+
，
当m=
时，四边形CHEF的面积取最大值
，此时H(
，
).
（3）设M（2，m），N(n，
)，B(5,0)，C(0，－5)，
①当BC为矩形对角线时，此时：2+n=5+0，m+
=0－5，即n=3，
设BC与MN交于点H，则H(
，
)，MH=
BC=
，
∴
，
解得：m=1或m=－6，
当m=1时，k=－18；m=－6时，k=3，
②当BC为矩形边时，分两种情况讨论：
（i）当点M在直线BC下方时，即四边形BCMN为矩形，
则∠BCM=90°，2+5=n+0，m=
－5，
过M作MH⊥y轴于H，则由OB=OC知，∠OCB=45°，
∴∠MCH=∠CMH=45°，即CH=MH，
∴－5－m=2，解得：m=－7，n=7，k=－14；
（ii）当点M在直线BC上方时，即四边形BCNM为矩形，
则∠CBM=90°，n+5=2， 
=m－5，
设对称轴与x轴交于点H，同理可得：BH=MH，
∴3=m，n=－3，k=6；
综上所述，k的值为：－18，3，－14或6.
【变式2-1】（2019·驻马店二模）如图，抛物线 y=-x2+bx+c 经过 A(-1，0)，B(3，0)两点，且与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴 DE 交 x 轴于点 E，连接BD．
（1）求经过 A，B，C 三点的抛物线的函数表达式．
（2）点 P 是线段 BD 上一点，当 PE=PC 时，求点 P 的坐标．
（3）在（2）的条件下，过点 P 作 PF⊥x 轴于点 F，G 为抛物线上一动点，M 为 x 轴上一动点，N 为直线 PF 上一动点，当以 F，M，G，N 为顶点的四边形是正方形时，请求出点 M 的坐标．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵抛物线 y=-x2+bx+c 经过 A(-1，0)，B(3，0)两点，
∴
，解得：
，
即抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3.
（2）由y=-x2+2x+3知，C(0，3)，E(1，0)，D(1,4)，
可得直线BD的解析式为：y=-2x+6，
设P（m，-2m+6），由勾股定理得：PE2=
，PC2=
，
由PE=PC，得：
=
，
解得：m=2，即P(2，2).
（3）∵M在x轴上，N在直线PF上，
∴∠NFM=90°，
由四边形MFNG是正方形，知MF=MG，
设M(n，0)，则G(n，-n2+2n+3)，
MG=|-n2+2n+3|，MF=|n-2|，
∴|-n2+2n+3|=|n-2|，
解得：n=
或n=
或n=
或n=
，
故点M的坐标为：（
，0），（
，0），（
，0），（
，0）.
【变式2-2】（2019·大联考）如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-4,0)，B(1,0)，C（0,3），点P在抛物线上，且在x轴的上方，点P的横坐标记为t.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，过点P作y轴的平行线交直线AC于点M，交x轴于点N，若MC平分∠PMO，求t的值.
（3）点D在直线AC上，点E在y轴上，且位于点C的上方，那么在抛物线上是否存在点P，使得以点C、D、E、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出菱形的面积.
图1 图2
【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-4,0)，B(1,0)，C（0,3），
∴
，解得：
，
即抛物线的解析式为：y=
x2
x+3.
（2）由A(-4,0)，C(0,3)得直线AC的解析式为：y=
，
∵点P的横坐标为t，
∴M(t, 
)，
∵PN∥y轴，
∴∠PMC=∠MCO，
∵MC平分∠PMO，
∴∠PMC=∠OMC，
∴∠MCO=∠OMC，
即OM=OC=3，
∴OM2=9，
即
，解得：t=0（舍）或t=
，
∴当MC平分∠PMO时，t=
.
（3）设P(t, 
t2
t+3)，
①当CE为菱形的边时，四边形CEPD为菱形，
则PD∥y轴，CD=PD，
则D(t，
),
∴PD=
t2
t+3－（
）=
t2
t，
由勾股定理得：CD=
=
，
∴
t2
t=
，解得：t=0（舍）或t=
，
即PD=
，菱形面积为：
×
=
；
②当CE为菱形的对角线时，此时P与D点关于y轴对称，
则D(-t, 
t2
t+3)，将D点坐标代入y=
，得：
t2
t+3=
，解得：t=0（舍）或t=－2，
PD=4，CE=3，菱形的面积为：
×4×3=6；
综上所述，菱形的面积为：
或6.
获得更多试题及答案，欢迎联系微信公众号：ygjjcom
客服微信号：ygjjcom