专题16 函数动点问题中三角形存在性
模型一、等腰三角形存在性问题
以腰和底分类讨论，借助勾股定理、相似性质、三角函数等知识进行求解.
模型二、直角三角形存在性问题
以直角顶点不同分类讨论，借助勾股定理、相似性质、三角函数等知识进行求解.常见的模型为“一线三直角”.
【例1】（2019·郑州外国语模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2－
x+c经过点A(－1,0),B(4,0)，与y轴交于点C，点P是x轴下方的抛物线上一动点（包含点A、B）.作直线BC，若过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q.
（1）求抛物线的解析式；
（2）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△CPQ是等腰三角形？若存在，直接写出点P的横坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】见解析.
【解析】解：（1）由题意，抛物线的解析式可表示为：y=a（x+1）（x－4），
将点（0，－2）代入上式，得：a=
，
即抛物线的解析式为：y=
x2－
x－2；
（2）由y=
x2－
x－2得：C(0,－2), 由勾股定理得：BC=2
,
由C(0,－2), B(4,0)得直线BC的解析式为：y=
x－2，
设P（m，
m2－
m－2），则Q(m，
m－2)，
过Q作QM⊥y轴于M，则QM∥AB，
∴
,即
，
∴CQ=
,
PQ=－
m2+2m, PC=
=m
，
①当CQ=PQ时，
=－
m2+2m，解得：m=0（舍）或m=4－
；
②当CQ=PC时，
= m
，解得：m=0（舍）或m=2或m=4（舍）；
③当PQ=PC时，
－
m2+2m= m
，解得：m=0（舍）或m=
；
综上所述，存在点P，使△CPQ是等腰三角形，点P的横坐标为：4－
或2或
.
【变式1－1】（2018·开封二模）如图，抛物线L：y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，已知点B(3,0)，抛物线的对称轴为x=1.
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线向下平移h个单位长度，使平移后所得的抛物线的顶点落在△OBC内部（包含△OBC边界），求h的取值范围；
（3）设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l：x=－3上，△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，写出符合条件的点P的坐标，若不能，请说明理由.
【答案】见解析.
【解析】解：由题意得：
，解得：
，
即抛物线的解析式为：y=－x2+2x+3.
（2）在y=－x2+2x+3中，当x=0时，y=3，即C(0,3),
由B(3,0)，C(0,3)得直线BC的解析式为：y=－x+3,
在y=－x2+2x+3中，当x=1时，y=4，
在y=－x+3中，当x=1时，y=2，
若将抛物线向下平移h个单位长度，使平移后所得的抛物线的顶点落在△OBC内部（包含△OBC边界），则2≤h≤4.
（3）①当P在x轴上方时，
过点P作PD⊥l于M，PN⊥x轴于N，由△PBQ为等腰直角三角形可知，△PBN≌△PQM，
则PN=MQ，
设P（m，y），则PN=PM=y，而PM=m+3，
∴y=m+3，
－m2+2m+3= m+3，解得：m=0或m=1，
即P(0,3)或（1,4）；
②当P点在x轴下方时，同理可得：
－m2+2m+3=－m－3，解得：m=
或m=
，
即P(
，
)或(
，
)，
综上所述，△PBQ能成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形，点P的坐标为：(0,3)或（1,4）或(
，
)或(
，
).
【例2】（2019·省实验四模）如图，已知抛物线经过点A(－1,0)，B(4,0),C(0,2)三点，点D与点C关于x轴对称，点P是线段AB上一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M.
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）在点P运动过程中，是否存在点Q，使得△BQM是直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】见解析.
【解析】解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x－4），
将点C(0,2)代入上式得：a=
，
即抛物线的解析式为：y=
（x+1）（x－4）=
x2+
x+2.
（2）存在；由题意知，∠QMB≠90°，分两种情况讨论：
①当∠MQB=90°时，此时点Q与点P重合于点A，即Q(－1,0)；
②当∠QBM=90°时，△BPQ∽△MPB，
∴BP2=PM·PQ，
∵点D与点C关于x轴对称，
∴D(－2,0)，
由B(4,0)，D(0, －2)得直线BD的解析式为:y=
x－2，
设P（m，0），则M(m，
m－2)，Q(m，
m2+
m+2)，
∴BP=4－m，PM=2－
m，PQ=
m2+
m+2，
∴（4－m）2=（2－
m）（
m2+
m+2），
解得：m=3或m=4（舍），
即Q(3，2);
综上所述，点Q的坐标为：(－1,0)，(3，2).
【变式2－1】（2019·信阳一模）如图,顶点为(2,－1)的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)交y轴于点C(0,3),交x轴于A,B两点,直线l过AC两点,点P是位于直线l下方抛物线上的动点,过点P作PQ∥y轴,交直线l于点Q.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求线段PQ的最大值及此时点P的坐标;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点G,使△BCG为直角三角形?若存在,请直接写出点G的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵抛物线的顶点为（2，－1），
即抛物线解析式可表示为：
，
将C(0,3)代入上式得：a=1，
即抛物线的解析式为：
=
.
（2）由
，得当y=0时，x=1或x=3，
即B(1,0)，A(3,0),
由A(3,0), C(0,3)可得直线AC的解析式为：y=－x+3，
设Q（m，－m+3），则P(m，
), 0<m<3，
∴PQ=－m+3－（
）
=－
=
，
当m=
时，PQ的长取最大值
，此时点P(
，
).
（3）存在，设G（2，n），
由B(1,0)，C(0,3)得：
，BG2=1+n2，CG2=4+（n－3）2，
①当点C为直角顶点时，由勾股定理得：
1+n2=4+（n－3）2+10，解得：n=
，即G(2, 
)；
②当点B为直角顶点时，由勾股定理得：
1+n2=4+（n－3）2－10，解得：n=
，即G(2, 
)；
③当点G为直角顶点时，由勾股定理得：
1+n2=10－4－（n－3）2，解得：n=1或n=2，即G(2, 1)或（2,2）；
综上所述，点G的坐标为：(2, 
)，(2, 
)，(2, 1)，（2,2）.
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