专题12 击破类比、探究类综合题利器之全等知识
模型一、A字形（手拉手）及其旋转
模型二、K字型及其旋转
【例1】（2019·济源一模）在菱形 ABCD 中，∠ABC=60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点 E 的位置随着点 P 的位置变化而变化．
（1）探索发现
如图1，当点E在菱形ABCD 内部或边上时，连接CE．填空：BP与CE的数量关系是 ，CE 与 AD 的位置关系是 ．
（2）归纳证明
当点E在菱形 ABCD 外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）
（3）拓展应用
如图4，当点P在线段 BD 的延长线上时，连接BE，若AB=
，BE=
，请直接写出四边形 ADPE 的面积．
图1 图2
图3 图4
【答案】（1）BP=CE，CE⊥AD；（2）（3）见解析.
【解析】解：（1）连接AC，延长CE至AD，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴∠BAD=120°，
∴∠BAC=60°，∠CAD=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵△APE是等边三角形，
∴AP=AE，∠PAE=60°，
∴∠BAP=∠CAE，
∴△BAP≌△CAE，
∴BP=CE，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABP=30°，
∵△BAP≌△CAE，
∴∠ABP=∠ACE=30°，
∵∠CAD=60°，
∴∠ACE+∠CAD=90°，
即CD⊥AD.
（2）结论仍然成立，理由如下：（以图2为例）
连接AC，设CE与AD交于点H，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC和△ACD是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30°，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵△APE是等边三角形，
∴AP=AE，∠PAE=60°，
∴∠BAP=∠CAE，
∴△BAP≌△CAE，
∴BP=CE，∠ACE=∠ABP=30°，
∵∠CAH=60°，
∴∠AHC=90°，即CE⊥AD；
（3）连接AC交BD于O，连接CE，
由（2）知，CE⊥BC，
∵AB=
，BE=
，
在Rt△BCF中，由勾股定理得：CE=8，
由△BAP≌△CAE，
得：BP=CE，BD=6，
∴DP=BP－BD=2，
AO=
，
在Rt△AOP中，由勾股定理得：AP=
，
∴S=S△ADP+S△APE
=
=8
.
【变式1-1】（2019·周口二模）在△ABC中，∠ABC为锐角，点M为射线AB上一动点，连接CM，以点C为直角顶点，以CM为直角边在CM右侧作等腰直角三角形CMN，连接NB．
（1）如图1，图2，若△ABC为等腰直角三角形，
问题初现：①当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，则线段BN，AM之间的位置关系是_____________，数量关系是______________；
深入探究:②当点M在线段AB的延长线上时，判断线段BN，AM之间的位置关系和数量关系，并说明理由；
类比拓展:（2）如图3，∠ACB≠90°，若当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，MP⊥CM交线段BN于点P，且∠CBA=45°，BC=
，当BM=_________时，BP的最大值为__________．
图1 图2 图3
【答案】（1）BN⊥AM，BN=AM；（2）见解析，（3）2， 1.
【解析】解：（1）由AC=BC，∠ACM=∠BCN，CM=CN，可证△ACM≌△BCN，
∴BN=AM，∠A=∠CBN=45°，
∴∠ABN=90°，即BN⊥AM.
（2）BN⊥AM，BN=AM；理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，∠A=∠ABC=45°，∠ACB=90°，
同理，∠NCM=90°，NC=MC,
∴∠ACM=∠BCN，
∴△ACM≌△BCN，
∴BN=AM，∠A=∠CBN=45°，
∴∠ABN=90°，即BN⊥AM.
(3)过C作CG⊥BC交BA的延长线于G，过C作CH⊥AB于H，如图所示，
易证△GCM≌△BCN，
由（2）知，BN⊥AB，
∴△CHM∽△MBP，
∴
,
即
,
设BM=x，
则BP=
，
∴当BM=2时，BP取最小值，最小值为1.
【例2】（2018·洛阳三模）在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动.
（1）如图1，当点E在边CD上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值；
（3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最大值．
【答案】见解析.
【解析】解：
（1）AE=DF，AE⊥DF，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，
由题意知：DE=CF，
∴△ADE≌△DCF，
∴AE=DF，∠DAE=∠FDC，
∵∠ADE=90°，
∴∠ADP+∠CDF=90°，
∴∠ADP+∠DAE=90°，
∴∠APD=180°﹣90°=90°，
∴AE⊥DF；
（2）（1）中的结论还成立，CE：CD=
或2，理由如下：
①如图，当AC=CE时，
设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC=CE=
a，
则CE：CD=
a：a=
；
②如图，当AE=AC时，
设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC=AE=
a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=
90°，即AD⊥CE，
∴DE=CD=a，
∴CE：CD=2a：a=2；
故，CE：CD=
或2；
（3）∵点P在运动中∠APD=90°，
∴点P的路径是以AD为直径的圆，
如图，设AD的中点为Q，连接CQ并延长交圆Q于点P，此时CP的长度最大，
在Rt△QDC中，由勾股定理得：QC=
，
∴CP=QC+QP=
+1，
即线段CP的最大值是
+1．
【变式2-1】（2019·西华县一模）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE=BF．连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC．
（1）请判断：FG与CE的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）如图2，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；
（3）如图3，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．
图1 图2 图3
【答案】（1）FG=CE，FG∥CE；（2）（3）见解析．
【解析】解：（1）FG=CE，FG∥CE；
∵BF=CE，BC=CD，∠FBC=∠DCE=90°，
∴△BCF≌△CDE，
∴∠DEC=∠CFB，
∵∠CFB+∠FCB=90°，
∴∠DEC +∠FCB=90°，
即CF⊥DE，
∵DE⊥EG，
∴EG∥CF，
∴EG=DE=CF，
∴四边形FCEG是平行四边形，
∴FG=CE，FG∥CE；
（2）∵BF=CE，BC=CD，∠FBC=∠DCE=90°，
∴△BCF≌△CDE，
∴∠DEC=∠CFB，CF=DE，
∵∠CFB+∠FCB=90°，
∴∠DEC +∠FCB=90°，
即CF⊥DE，
∵DE⊥EG，
∴EG∥CF，
∴EG=DE=CF，
∴四边形FCEG是平行四边形，
∴FG=CE，FG∥CE；
（3）成立．
由上可证：△CBF≌△DCE，
得：∠BCF=∠CDE，CF=DE，
∵EG=DE，
∴CF=EG，
∵DE⊥EG
∴∠DEC+∠CEG=90°
∵∠CDE+∠DEC=90°
∴∠CDE=∠CEG，
∴∠BCF=∠CEG，
∴CF∥EG，
∴四边形CEGF平行四边形，
∴FG∥CE，FG=CE．
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