专题11 实际问题中的方程（组）与函数题型
【例1】（2019·郑州外国语测试）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%，在试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售，设每天销售量为y本，销售单价为x元.
（1）请直接写出y与x直接的函数关系式及x的取值范围；
（2）当每本足球纪念册的销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？
（3）当每本足球纪念册的销售单价是多少元时，商店每天的利润w最大？最大利润是多少元？
【答案】见解析.
【解析】解：（1）y=300－10(x－44)，
整理得：y=－10x+740，（44≤x≤52）；
（2）由题意得：（x－40）（－10x+740）=2400，
解得：x=50，x=64（舍），
即当每本足球纪念册的销售单价是50元时，商店每天获利2400元.
（3）由题意得：w=（x－40）（－10x+740）
=－10（x－57）2+2890
∵－10<0，对称轴为x=57，
∴当x<57时，w随x增大而增大，
∵44≤x≤52，
∴当x=52时，w取最大值，最大为2640元，
即当每本足球纪念册的销售单价是52元时，商店每天的利润最大，最大利润是2640元.
【例2】（2018·河师大附中模拟）某养殖专业户计划购买甲、乙两种牲畜，已知乙种牲畜的单价是甲种牲畜单价的2倍多200元，买3头甲种牲畜和1头乙种牲畜共需5700元.
（1）甲、乙两种牲畜的单价各是多少元？
（2）相关资料表明：甲、乙两种牲畜的成活率分别为95%和99%，若购买以上两种牲畜共50头，并使这50头的成活率不低于97%，且要使购买的总费用最低，应如何购买？
【答案】见解析.
【解析】解：（1）设甲种牲畜的单价为x元，由题意得：
3x+2x+3000=7500，
解得：x=1100，
2×1100+200=2400，
即甲种牲畜的单价为1100元，乙种牲畜的单价为2400元.
（2）设购买甲种牲畜m头时，总购买费用为w元，
则w=1100m+2400（50－m）
=－1300m+120000，
由题意知：95%m+99%（50－m）≥97%×50，
解得：m≤25，
即0≤m≤25，
∵－1300<0，
∴w随m的增大而减小，
当m=25时，w取最小值，即费用最低，
∴购买两种牛各25头时，费用最低.
【变式2-1】（2019·三门峡二模）水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克．
（1）现在实际购进这种水果每千克多少元？
（2）王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系．
①求y与x之间的函数关系式；
②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？（利润＝销售收入﹣进货金额）
【答案】见解析．
【解析】解：（1）设现在实际购进这种水果价格为每千克a元，则原来价格为每千克（a+2）元，由题意，得：80（a+2）＝88a，
解得：a＝20．
即现在实际购进这种水果每千克20元；
（2）①设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
将（25，165），（35，55）代入y＝kx+b得，
，
解得：
，
即y与x之间的函数关系式为：y＝﹣11x+440；
②设这种水果的销售价格为x元/千克时，利润为w元，
则w＝（x﹣20）y
＝（x﹣20）（﹣11x+440）
＝﹣11（x﹣30）2+1100，
∵﹣11<0，
∴当x＝30时，w有最大值，最大值为1100．
即这种水果的销售单价定为30元时，能获得最大利润，最大利润是1100元．
【例3】（2018·洛阳三模）在江苏卫视《最强大脑》节目中，搭载百度大脑的机器人小度以3:1的总成绩，，斩获2017年度脑王巅峰对决的晋级资格，人工智能时代已经扑面而来．
某商场第一次用11000元购进某款拼装机器人进行销售，很快销售一空，商家又用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．
（1）求该商家第一次购进机器人多少个？
（2）若所有机器人都按相同的标价销售，要求全部销售完毕的利润率不低于20%（不考虑其它因素），那么每个机器人的标价至少是多少元？
【答案】见解析.
【解析】解：（1）设该商家第一次购进机器人x个，
由题意得：
，
解得：x=100．
经检验，x=100是所列方程的解，且符合题意．
答：该商家第一次购进机器人100个．
（2）设每个机器人的标价是a元．
由题意得：a﹣11000﹣24000≥×20%，
解得：a≥140．
答：每个机器人的标价至少是140元．
【变式3-1】（2019·周口二模）由于技术更新，智能电视的功能越来越强大，价格也逐渐下降，某电器商行经营的A款40英寸智能电视去年销售总额为5万元，今年每台销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．
（1）今年A款40英寸智能电视每台售价多少元？（用列方程的方法解答）
（2）该电器商行计划新进一批A款40英寸智能电视和新款B款40英寸智能电视共60台，且B款40英寸智能电视的进货数量不超过A款40英寸智能电视数量的两倍，应如何进货才能使这批智能电视获利最多？
A，B两款40英寸智能电视的进货和销售价格如下表：
|
|
A款40英寸智能电视 |
B款40英寸智能电视 |
|
进货价格（元） |
1 100 |
1 400 |
|
销售价格（元） |
今年的销售价格 |
2 000 |
【答案】见解析.
【解析】解：设今年A款40英寸智能电视每台售价为x元，则去年每台售价为（x+400）元，由题意得：
，
解得：x=1600，
经检验，x=1600是原方程的解，符合题意，
∴今年A款40英寸智能电视每台售价为1600元.
（2）设购进A款电视a台，则购进B款（60－a）台，此时获利y元，
y=（1600-1100）a+（2000-1400）（60-a）
=-100a+36000，
其中：60-a≤2a，0≤a≤60，
即20≤a≤60，且a为整数；
∵-100<0，
∴y随a的增大而减小，
当a=20时，y取最大值，
即当进A款电视20台，B款电视40台时，获利最大.
【例4】（2018·河南第一次大联考）紫石中学为了给同学们提供更好的学习环境，计划购买一批桂花树和香樟树来绿化校园，经市场调查发现购买2棵桂花树3棵香樟树共需360元，购买3棵桂花树2棵香樟树共需340元．
（1）桂花树香樟树的单价各多少？
（2）根据学校实际情况，需购买两种树苗共150棵，总费用不超过10840元，且购买香樟树的棵树不少于桂花树的1.5倍，请你算算，该校本次购买桂花树和香樟树共有哪几种方案．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）设桂花每棵x元，香樟树每棵y元，
由题意得：
，
解得：x=60，y=80，
答：桂花树每棵60元，香樟树每棵80元.
（2）设桂花树购买x棵，则香樟树购买（150－a）棵，
由题意得：
，
解得：58≤x≤60，
∴有三种购买方案：桂花树58棵，香樟树92棵；桂花树59棵，香樟树91棵；桂花树60棵，香樟树90棵.
【变式4-1】（2019·偃师一模）冬季来临，某网店准备在厂家购进 A，B 两种暖手宝共 100 个用于销售，若购买 A 种暖手宝 8 个，B 种暖手宝 3 个，需要 950 元；若购买 A 种暖手宝 5 个，B 种暖手宝 6 个，则需要 800 元．
（1）购买 A，B 两种暖手宝每个各需多少元？
（2）①由于资金限制，用于购买这两种暖手宝的资金不能超过 7 650 元，设购买 A 种暖手宝 m 个，求 m 的取值范围；
②在①的条件下，购进 A 种暖手宝不能少于 50 个，则有哪几种购买方案？
（3）购买后，若一个 A 种暖手宝运费为 5 元，一个 B 种暖手宝运费为 4 元， 在第（2）问的各种购买方案中，购买 100 个暖手宝，哪一种购买方案所付的运费最少？最少运费是多少元？
【答案】见解析.
【解析】解：（1）设A、B两种暖手宝的价格分别为x元/个、y元/个，
由题意得：
，
解得：x=100，y=50，
即A、B两种暖手宝的价格分别为100元/个,50元/个.
（2）①由题意得：
100m+50（100－m）≤7650，
解得：m≤53，
∴m的取值范围是：0≤m≤53，且m为整数；
②∵50≤m≤53，
∴共有以下四种购买方案，
A种50个，B种50个；A种51个，B种49个；A种52个，B种48个；A种53个，B种47个；
（3）设总运费为w元，则：
w=5m+4(100－m)=m+400，
∵1>0，
∴w随m的增大而增大，
当m=50时，运费最少，最少为450元，
∴当购买A种产品50个，B种产品50个时，总运费最少，最少为450元 .
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