2019年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设
，则
=
A．2 B．
C．
D．1
2．已知集合
，则
A．
B．
C．
D．
3．已知
，则
A．
B．
C．
D．
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是
A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm
5．函数f(x)=
在[—π，π]的图像大致为
A．
B．
C．
D．
6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是
A．8号学生 B．200号学生 C．616号学生 D．815号学生
7．tan255°=
A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+
8．已知非零向量a，b满足
=2
，且（a–b）
b，则a与b的夹角为
A．
B．
C．
D．
9．如图是求
的程序框图，图中空白框中应填入
A．A=
B．A=
C．A=
D．A=
10．双曲线C：
的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为
A．2sin40° B．2cos40° C．
D．
11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－
，则
=
A．6 B．5 C．4 D．3
12．已知椭圆C的焦点为
，过F2的直线与C交于A，B两点.若
，
，则C的方程为
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线
在点
处的切线方程为___________．
14．记Sn为等比数列{an}的前n项和.若
，则S4=___________．
15．函数
的最小值为___________．
16．已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为___________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：60分。
17．（12分）
某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
|
|
满意 |
不满意 |
|
男顾客 |
40 |
10 |
|
女顾客 |
30 |
20 |
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：
．
|
P（K2≥k） |
0.050 |
0.010 |
0.001 |
|
k |
3.841 |
6.635 |
10.828 |
18．（12分）
记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．
（1）若a3=4，求{an}的通项公式；
（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
19．（12分）
如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求点C到平面C1DE的距离．
20．（12分）
已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f ′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f ′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
21.（12分）
已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│ =4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．
（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径；
（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）
已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
（1）
；
（2）
．
2019年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学·参考答案
一、选择题
1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．C
7．D 8．B 9．A 10．D 11．A 12．B
二、填空题
13．y=3x 14．
15．−4 16．
三、解答题
17．解：
（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为
，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．
女顾客中对该商场服务满意的比率为
，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．
（2）
．
由于
，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
18．解：
（1）设
的公差为d．
由
得
．
由a3=4得
．
于是
．
因此的通项公式为
．
（2）由（1）得
，故
.
由
知
，故
等价于
，解得1≤n≤10．
所以n的取值范围是
．
19．解：
（1）连结
.因为M，E分别为
的中点，所以
，且
.又因为N为
的中点，所以
.
由题设知
，可得
，故
，因此四边形MNDE为平行四边形，
.又
平面
，所以MN∥平面.
（2）过C作C1E的垂线，垂足为H.
由已知可得
，
，所以DE⊥平面
，故DE⊥CH.
从而CH⊥平面，故CH的长即为C到平面的距离，
由已知可得CE=1，C1C=4，所以
，故
.
从而点C到平面的距离为
.
20．解：
（1）设
，则
.
当
时，
；当
时，
，所以
在
单调递增，在
单调递减.
又
，故在
存在唯一零点.
所以
在存在唯一零点.
（2）由题设知
，可得a≤0.
由（1）知，在只有一个零点，设为
，且当
时，
；当
时，
，所以
在
单调递增，在
单调递减.
又
，所以，当
时，
.
又当
时，ax≤0，故
.
因此，a的取值范围是
.
21．解：（1）因为
过点
，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线
上，且关于坐标原点O对称，所以M在直线
上，故可设
.
因为与直线x+2=0相切，所以的半径为
.
由已知得
，又
，故可得
，解得
或
.
故的半径
或
.
（2）存在定点
，使得
为定值.
理由如下：
设
，由已知得的半径为
.
由于，故可得
，化简得M的轨迹方程为
.
因为曲线
是以点为焦点，以直线
为准线的抛物线，所以
.
因为
，所以存在满足条件的定点P.
22．解：（1）因为
，且
，所以C的直角坐标方程为
.
的直角坐标方程为
.
（2）由（1）可设C的参数方程为
（
为参数，
）.
C上的点到的距离为
.
当
时，
取得最小值7，故C上的点到距离的最小值为
.
23．解：（1）因为
，又
，故有
.
所以.
（2）因为
为正数且，故有
=24.
所以.
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