弦长和面积的最值问题
1.已知菱形
的顶点
在椭圆
上，对角线
所在直线的斜率为
．
(1)当直线过点
时,求直线
的方程； (2)当
时,求菱形面积的最大值．
2.设椭圆的中心在坐标原点,且
是它的两个顶点,若直线
与线段
相交于点
,与椭圆相交于
两点.求四边形
面积的最大值．
3.已知
内接于椭圆
,点
的坐标为
,且
的平分线为
.
(1)求证:直线的斜率为定值； (2)求的面积的最大值.
4.已知内接于焦点在
轴上的椭圆
,且点的坐标为,椭圆的焦距为
.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线
与直线
的倾斜角互补,求面积的最大值.
5.已知椭圆的两顶点为
,
,其左右焦点分别是
.
(1)在线段上是否存在点
,使得
？若存在,请求出点的坐标；若不存在,请说明理由.
(2)设过
的直线交椭圆于
两点,求
面积的最大值.
6.已知抛物线
与圆
相交于
四个点.
(1)求
得取值范围；
(2)设四边形
的对角线与的交点,求的面积最大时点的坐标.
7.设椭圆的左右焦点分别为,离心率
,右准线为
,且上两动点
使得
.
(1)若
,求
的值； (2)证明:当
取最小值时,
与
共线.
8.设椭圆
:
过
,
两点,
为坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点
,且
？若存在,写出该圆的方程,并求
的取值范围；若不存在,说明理由.
9.若是抛物线
上的不同两点,不平行于轴的弦的垂直平分线与
轴相交于点,则称弦是点的一条“相关弦”.已知当
时,点
存在无穷多条“相关弦”.现给定
.
(1)证明:点
的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；
(2)点的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在,求最大值(用
表示),若不存在,说明理由.
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