2.旋转—角
1.如图1，有一组平行线
，正方形
的四个顶点分别在
，
，
，
上，
过点
且垂直于
于点
，分别交
，于点
，
，
，
．
（1）
______，正方形
的边长=______；
（2）如图2，将
绕点
顺时针旋转得到
，旋转角为
，点
在直线上，以
为边在
左侧作菱
形
，使点
，
分别在，上．
①写出
与
的数量关系并给出证明；
②若
，求菱形
的边长．
解析：（1）
∵四边形是正方形，∴
，
∵
，∴
∵
，∴
在
和
中，
∴
，∴
，
∵
，
，
∴
（2）①
证明：
过点
作
于点
由题意，
∵四边形为菱形，∴
∴
，∴
∵
，∴
∴
∴
②过点
作
于点
，交于点
∵
，，∴
，
,
∴
∴
2.在
中，
，
平分
交
于，
于，以
为中心旋转
，对应边
交直线
于，对应边
交直线
于．
（1）如图1，当
逆时针旋转，且
时，求：
的数量关系；
（2）如图2，当顺时针旋转，且
时，直接写出线段
、
、
之间的数量关系；
（3）如图3，当顺时针旋转，且 时，设
交于，若
，
，求
的面积．
解析：
（1）∵
，∴
又
，∴
∴
，∴
∵平分
，
，
∴
∵
，∴
（2）
理由如下：
有旋转可得
，又∵
∴，∴
，∴
，
又∵
，∴
.
（3）
作
于
，
于
∵
，∴
∵
，
∴
，∴
∴
设
，则
，
∵
，，∴
在
中，
，
解得
（舍去），
∴
，
易证
，∴
∴
设
，则
，
∵
∴
，∴
∴
，
∴
∵，，∴
∴
∴ 
，∴
∵
，，∴
又
，
∴
，∴
∴
，∴
设
，则
∴
，∴
，∴
∴
3.如图1，梯形中，
，
，
，
，将图1中的
绕点按逆时针方向旋转
角
，边
、
分别交直线
、
于、两点．
（1）当
时，其他条件不变，如图2、如图3所示．
①如图2，判断线段
、
、
的数量关系，并直接写出结论；
②如图3，①中的结论是否依然成立？若不成立，新结论是什么？
（2）当
时，其他条件不变，直接图形中线段、、的数量关系．
解析：
（1）①
理由：如图2，
延长
至，使
，连接
．
∵，，
∴
，
∴
，
，
∴
．
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
．
∵
，且
，
∴
，
∴
，
即
．
∴
．
在
和
中，
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
；
②的结论仍然成立．
理由：如图3，
延长至，使，连接．
∵
，
，
∴，
∴，，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，．
∵，且，
∴，
∴，
即．
∴．[来源:Z|xx|k.Com]
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）当时，
．
理由：如图4，
延长至，使，连接．
∵，，
∴，
，
∴，
，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，．
作
，交于，
∴
．
∴
，
∴
．
∵，
∴
，
∴
．
即
．
∴
，
∴
，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵
，
∴
，
∴．
4.如图1，在
中，
，
为边上一点，连接
，以
、
为邻边作
，与
相交于点，已知
．
（1）证明
；
（2）是否为矩形？
（3）如图2，为中点，连接
，将
绕点顺时针旋转适当的角度，得到
（点、分别是的两边与
、延长线的交点）．猜想线段
与之间
的数量关系．
解析：
（1）证明：在和
中
∵
，
∴
在中，
∴
∴
（2）答：是矩形
∵四边形
是平行四边形
∴
，
[来源:学科网]
∵由（1）知
∴
，∴
∴是矩形
（3）答：
∵，∴
∴
由（2）知
，是的中点，∴
∴
∴
∴
∵绕点顺时针旋转适当的角度，得到
∴
∴
，即
∴
∴
5.如图1，在中，
，
为
的平分线，
，
交的延长线于点．
（1）求：
；
（2）如图2，将
绕点逆时针旋转，使得的一边落在上，在另一边旋转后得到的射线上截取
，连接
，若
，
，求点到的距离．
解析：
（1）
延长
交的延长线于点
∵为的平分线，∴
∵，∴
又∵
，∴
∴
，
∵
，∴
取中点，连接
则是
的中位线
∴
， 
∴
，
∵，∴
∴
，∴
∴
（2）
过作
于
∵
，∴
∵
，∴
∴
设
，则
∵
∴
，解得
∴
，∴
过作
于，
于
∵
∴
，∴
∵
，∴
即点到的距离为
6.已知四边形中，
，
，
，
，
，
绕
点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于，．
（1）当绕点旋转到
时（如图1），线段
有怎样的数量关系．
（2）当绕点旋转到
时，在图2这种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段
，，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
（3）当绕点旋转到图3这种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
解析：
证明：（1）∵
和
中，，
，
∴
，
，
∴
，
∵，，
∴
，
是等边三角形，
∴
，
，
∴
；
（2）如图2，将顺时针旋转
，
∵，，
∴点与点重合，
∴
，
，
∵，，
，
∴
，
在
和
中，
，[来源:学.科.网]
∴
，
∴
，
∴
；
（3）不成立，新结论为
．
理由：如图3，将顺时针旋转，
∵，，
∴点与点重合，，
∴，
，
∵
，
∴
，
∵，
∴，
在
和
中，
，
∴
，
∴，
∴
．
7.已知：正方形中，
，绕点顺时针旋转，它的两边分别交
、（或它们的延长线）于点、．当绕点旋转到
时（如图1），易证
．
（1）当绕点旋转到
时（如图2），线段、
和
之间有怎样的数量关系？
（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段、和之间又有怎样的数量关系？
解析：（1）成立．
证明：如图，把
绕点顺时针旋转
，
得到
，则可证得、、三点共线（图形画正确）．
∴
，
又∵
，
∴在
与
中，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
；
（2）
．
在线段
上截取
，
在
与
中，
∵
，
∴
，
∴
，[来源:学科网ZXXK]
∴
．
在
和
中，
∴
，
∴
，
∴
．
8.（1）如图1，已知
，
平分
，是上一点，
，且与
、
分别相交于点、，则
的数量关系为____；
（2）如图2，在如上的（1）中，当绕点逆时针旋转使得点落在的反向延长线上时，（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，新结论是什么？
（3）如图3，已知
，求证：①是等边三角形； ②
．
解析：
（1）证明：
过作
于，
于，
则
，
∵，
∴
，
∴
，
∴
，
∵平分，，，
∴
，
在
和
中，
∵
，
∴
，
∴
；
（2）结论还成立，
证明：
过作于，于，
与（1）证法类似根据
证，
则
；
（3）证明：①如图，
，
，
即平分
，
由（2）知：
，
∵
，
∴
是等边三角形；
②
在
上截取
，连接
，
∵
，
∴
是等边三角形，
∴
，
，
∵是等边三角形，
∴
，
∴都减去
得：
，
在
和
中
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
即．
9.如图1，射线、
在
的内部，且
，
，射线、
分别平分
、
，
（1）求
的大小；
（2）如图2，若
，将
绕点
以每秒
的速度逆时针旋转
秒钟，此时
，如图3所示，求
的值．
解析：
（1）由题意可知，，
、分别平分、，
，
即可得出
．
（2）由题意，
；
；
所以
，
又因为
，且
、
分别平分
、
，
所以
，即
；解之得
．
10.（1）如图1，圆内接中，
，、为
的半径，
于点，
于点，则：阴影部分四边形
的面积与的面积之比为_____：_____．
（2）如图2，若
保持角度不变，
求证：当绕着点旋转时，由两条半径和的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积与的面积之比为_____：___．
答案：1；3；1；3
解析：
（1）
如图1，连接
，；
∵是等边三角形，
∴
，
∵点是等边三角形
的外心，
∴
，
，
∴在
和
中，
，
∴
．
同理：
．
∴
，
，
∴
，
∴
．即
（2）证法一：
连接，
和，则
，
；
设交于点，交于点，
，
，
∴
；
在
和
中
∴
，
∴
，
∴
，
即
，即；
证法二：
设交于点，交于点；
作
，
，垂足分别为、
；
在四边形
中，
，
，
∴
，
即
；
又∵
，
∴
，
∵，
∴
，
∴
，
∴
，即；[来源:学科网]
11.已知四边形中，，，，，，将绕点旋转．当旋转到如图的位置，此时的两边分别交、于、，且．延长至点，使
，连接
．
求证：（1）
；
求：（2）
；
求：（3）线段
之间的数量关系.
解析：
（1）在和
中，
，
∴
．
（2）∵
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
即
，
∵
，
∴
．
∴
；
（3）在
和
中，
，
∴
．
∴
．
∴
．
∴
．
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