7.翻折问题
1.在
中，
，
，
为
延长线上一点，
为
内部一点，且
．
（1）若
，如图1，直接写出
间的数量关系：___________；
（2）若
，如图2，求证：
；
（3）在（2）的条件下，如图3，将线段
沿
翻折，翻折后的点
落在点
处，且
，连接
，交的延长线于
，若
，求
的长．
解析：（1）
提示：作
于
，
交
延长线于
∵，
∴
∵
∴
，
∴
∴
∴
∴
，
∴
∴
（2）作于，交延长线于[来源:学,科,网]
∵，
∴
∵
∴
，
∴
∴
，
∴
，
∴
∴
，
∴
∴
（3）作于，
于
则
，
由题意，
∴
，
∴
∴
∵，
∴
∴
，
∴
∴
由（2）知，，
∴
∵
，
∴
，
∴
，
∴
∴
，
∴
∴
，
∴
∴
2.如图，在
中，
，翻折
，使点
落在斜边
上某一点处，折痕为
（点
分别在边
上）
（1）若
与相似．
①当
时，求
的长；
②当
时，求的长；
（2）当点是的中点时，与相似吗？请说明理由．
解析：（1）若与相似．
①当时，为等腰直角三角形，如答图1所示．
此时为边中点，
．
②当时，有两种情况：
（I）若
，如答图2所示．
∵
，
∴
．
由折叠性质可知，
，
∴
，即此时
为边上的高．
在中，，
∴
，
∴
．
；
（II）若
，如答图3所示．
∵
，
∴
．
由折叠性质可知，
，
又∵
，
∴
，
∴
．
同理可得：
，
∴此时
．
综上所述，当时，的长为
或
．
（2）当点是的中点时，与相似．理由如下：
如答图3所示，连接，与交于点
．
∵是的中线，
∴
，
∴
．
由折叠性质可知，
，
∴
，
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
．
3.在矩形
中，
，点
分别在边
上，且
．点为边上的一个动点，连接
，把
沿直线翻折得到
．
（1）如图1，当
时，
①填空：
___________度；
②若
，求
的度数，并求此时
的最小值；
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