第 三 讲 与三角形有关的角（拔高）
初中几何角度计算、角度转化的五大基本图：三角形（内、外角）、箭形、蝶形、四边形、射影定理图. 如图，直接写出∠D 与∠A、∠B、∠C 之间的数量关系.
A A A
B C
B C B C D
箭形： ；蝶形： ；四边形： .
【新知讲授】
发散探索一：如图，∠ABD、∠ACD 的平分线交于点 I，探索∠I 与∠A、∠D 之间的数量关系.
A A I A
B C
B C B C D
发散探索二：如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点 I，探索∠I 与
∠A、∠D 之间的数量关系. A
A
A
I
E
B D C
E I E D
发散探索三：如图，∠ABD 的邻补角∠DBE 平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平分线交于点 I，探索∠I
与∠A、∠D 之间的数量关系.
A A A
D
D
B C B E C
E F E
I I F I
【例题讲解】
例一、如图，△ABC 中，BD、CE 为两条角平分线，若∠BDC=90°，∠BEC=105°，求∠A.
A
B C
例二、如图，△ABC 中，BD、CE 为两条角平分线，若∠BDC=∠AEC，求∠A 的度数.
A
B C
例三、如图，在△ABC 中，BD 为内角平分线，CE 为外角平分线，若∠BDC=125°，∠E=40°，求∠BAC 的度数.
E
B C M
例四、如图，△ABC 中，BD、CE 为两条外角平分线，若∠D=50°，∠E=55°，求∠BAC.
D
M B C N
例五、如图，△ABC 中，BD、CE 为两条外角平分线，若∠D=30°，∠E=15°，求∠A 的度数.
A
C
E
例六、如图，AB∥CD，点 P 为 CD 上一点，∠EBA、∠EPC 的角平分线交于点 F，若∠F=42°，求∠E.
F E
A B
C D
“双直角转角”的四个基本图——直角一般不单用（寻找两个直角基本图）
【三线八角模型】
如图，已知 CE⊥AB 于点 C，DF⊥AB 于点 D，求证：∠1=∠2.
【外角模型】
如图，在 Rt△ABC 中，CQ⊥AC，求证：∠3=∠4.
A
Q
【蝶形模型】
如图，∠A=∠C=90°，求证：∠B=∠D.
【射影定理图】
B C P
A
B D
如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC，求证：∠BAD=∠C；∠B=∠CAD.
A
B D C
【特殊的四边形——互补四边形】：外角等于内对角
在四边形 ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90°，求证：（1）在图 1 中，∠1=∠C；（2）在图 2 中，∠2=∠A.
M D
A A
C B
图 1
图 2 C N
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