2018-2019学年湖北省武汉一初慧泉中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）方程x2+x＝0的解为（ ）
A．0 B．﹣1 C．0或﹣1 D．1或﹣1
2．（3分）下列两个图形，一定相似的是（ ）
A．两个等腰三角形 B．两个直角三角形
C．两个等边三角形 D．两个矩形
3．（3分）下列各点中在抛物线y＝x2﹣4x﹣4上的点是（ ）
A．（4，4） B．（3，﹣1） C．（﹣2，﹣8） D．（﹣
，﹣
）
4．（3分）下列各点A（﹣2，1）、B（﹣2，﹣1）、C（2，﹣1）、D（﹣1，2），关于原点O对称的两点是（ ）
A．点A与点B B．点A与点C C．点A与点D D．点C与点D
5．（3分）如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，则下列式子正确的是（ ）
A．
＝
B．
＝
C．
＝
D．
＝
6．（3分）函数y＝﹣
（x+1）2﹣1的图象是一条抛物线，关于该抛物线下列说法错误的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是x＝﹣1
C．顶点是（﹣1，﹣1）
D．可以看作把抛物线y＝﹣x2向下平移一个单位，再向右平移1个单位
7．（3分）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4cm、5cm和6cm，另一个三角形框架的一边长为2cm．它的另外两边长不可能是（ ）
A．
cm、3 cm B．
cm、
cm C．
cm、
cm D．3 cm、4 cm
8．（3分）如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点……则下列说法：①10是三角点阵中前4行的点数和；②300是三角点阵中前24行的点数和；③这个三角点阵中前n行的点数和不可能是600，其中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．（3分）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣
t2，飞机着陆至停下来共滑行（ ）
A．20米 B．40米 C．400米 D．600米
10．（3分）如图，Rt△ABC中，AB＝AC＝3，点D是AB上一点，以CD为边作等边△CDE，使A、E位于BC异侧．当D点从A点运动到B点，E点运动的路径长为（ ）
A．3 B．2
C．3
D．3
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）把图中的五角星图案，绕着它的中心旋转，旋转角至少为 度时，旋转后的五角星能与自身重合．
12．（3分）一个二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点．则这个二次函数的解析式为 ．
13．（3分）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据以上信息可列方程为 ．
14．（3分）如果
是方程x2﹣c＝0的一个根，且该方程有两个不相等的实数根，则常数c是 ．
15．（3分）已知四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝AD＝3．若CB﹣CD＝2，则四边形ABCD的面积为 ．
16．（3分）已知关于x的方程（x﹣m）（x﹣n）﹣p＝0有两个解x1、x2，且x1＞x2，m＞n．若x1﹣x2＞m﹣n，则常数p的取值范围是 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
18．（8分）已知关于x一元二次方程x2+2mx+
m2﹣m﹣1＝0
（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；
（2）若方程两根分别为x1、x2，且x12﹣x22＝0，求m的值．
19．（8分）如图，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，请解答下列问题：
（1）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形△A1B1C1，A、B、C的对应点分别是A1、B1、C1；
（2）设（1）中点A与点B运动的路径长分别为a和b，则
＝ ；
（3）△A1B1C1与△DEF关于某点对称，请直接写出它们对称中心的坐标．
20．（8分）如图，要设计一幅宽20cm、长30cm的图案，其中有两横三竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．如果要使彩条所占面积是图案面积的
，应如何设计彩条的宽度？
21．（8分）如图，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD与BE相交于点F，连接ED．
（1）请写出图中所有与△ADC相似的三角形；
（2）若∠C＝60°，求
的值．
22．（10分）某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价增加10x元（x为整数）
（1）直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式；
（2）设宾馆每天的利润为W元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少？
（3）某日，宾馆了解当天的住宿的情况，得到以下信息：①当日所获利润不低于5000元；②宾馆为游客居住的房间共支出费用没有超过600元，直接写出此时x的范围．
23．（10分）如图，点P是正方形ABCD外一点，连接PA、PD，作BM⊥PA，垂足为E，使BM＝PA，再作CN⊥PD，垂足为F，使CN＝PD，连接PM、PN．
（1）如图1，当PA＝PD时，直接写出线段PM、PN的位置关系和数量关系；
（2）在（1）的条件下，若∠APD＝40°，则∠ABM＝ ；
（3）如图2，当PA≠PD时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
24．（12分）如图1，抛物线L：y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点的横坐标分别为﹣2、3，与y轴的交点是A（0，t），且t＜0．
（1）当t＝﹣3时，直接写出抛物线L的解析式；
（2）在（1）的条件下，过A点的直线交抛物线于另一点P．若AP被x轴分成1：2两部分，求P点的坐标；
（3）如图2，点B是y轴上与点A关于原点对称的点，BC∥x轴交抛物线在y轴右侧的部分于C，AD∥x轴交抛物线在y轴右侧的部分于D，M是线段AB上一点，连MC、MD．若△MBC与△MAD相似，并且符合条件的点M恰有两个，求t的值及点M的坐标．
2018-2019学年湖北省武汉一初慧泉中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．【解答】解：方程分解因式得：x（x+1）＝0，
可得x＝0或x+1＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣1．
故选：C．
2．【解答】解：∵两个等边三角形的内角都是60°，
∴两个等边三角形一定相似，
故选：C．
3．【解答】解：当x＝4时，y＝x2﹣4x﹣4＝﹣4；
当x＝3时，y＝x2﹣4x﹣4＝﹣7，
当x＝﹣2时，y＝x2﹣4x﹣4＝8；
当x＝﹣
时，y＝x2﹣4x﹣4＝﹣
；
所以点（﹣，﹣）在抛物线y＝x2﹣4x﹣4上．
故选：D．
4．【解答】解：∵A（﹣2，1）、C（2，﹣1），
∴点A和C关于原点O对称，
故选：B．
5．【解答】解：∵DE∥BC，
∴
＝
，
∵EF∥AB，
∴＝
，
∴＝，故A选项正确；
∵DE∥BC，
∴
＝
，故B选项错误；
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴
＝
，
＝
，
∴≠，故C选项错误；
而
＝不成立，故D选项错误；
故选：A．
6．【解答】解：A、a＝﹣
，抛物线开口向下，正确；
B、函数对称轴为x＝﹣1，正确；
C、顶点坐标为（﹣1，﹣1），正确；
D、把抛物线y＝﹣x2向下平移一个单位，再向右平移1个单位，得到的函数表达式为：y＝﹣（x﹣1）2﹣1，错误；
故选：D．
7．【解答】解：题中没有指明边长为2的边与原三角形的哪条边对应，所以应分别讨论：
（1）若边长为2的边与边长为4的边相对应，则另两边为
和3；
（2）若边长为2的边与边长为5的边相对应，则另两边为
和
；
（3）若边长为2的边与边长为6的边相对应，则另两边为
和
．
故选项A，B，C正确，
故选：D．
8．【解答】解：当n＝4时，
三角点阵中的点数之和是：1+2+3+4＝10，故①正确，
当1+2+…+n＝300时，即 
，得n＝24，故②正确，
当1+2+…+n＝600时，即
＝600，n＝
（舍去），故③正确，
故选：D．
9．【解答】解：∵y＝60t﹣
t2＝﹣（t﹣20）2+600，
∴当t＝20时，y取得最大值600，
即飞机着陆后滑行600米才能停下来，
故选：D．
10．【解答】解：如图，作等边三角形△BCH，连接EH．
∵△CDE，△BCH都是等边三角形，
∴∠DCE＝∠BCH，
∴∠DCB＝∠ECH，
∵CD＝CE，CB＝CH，
∴△DCB≌△ECH（SAS），
∴BD＝EH，
∴点E的运动轨迹＝线段AB的长＝3，
故选：A．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，旋转角至少为72°．
故答案为：72．
12．【解答】解：设这个二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
∵二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点，
∴代入得：
解得：a＝4，b＝5，c＝0，
即二次函数的解析式是y＝4x2+5x，
故答案为：y＝4x2+5x．
13．【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
根据题意得：（x+1）2＝121．
故答案为：（x+1）2＝121．
14．【解答】解：把x＝
代入x2﹣c＝0得
﹣c＝0，解得c＝0或c＝4，
而该方程有两个不相等的实数根，
所以c＞0，
所以c＝4．
故答案为4．
15．【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝AD＝3，
∴BD＝
＝
，
设CB＝x，则CD＝x﹣2，
∵∠C＝90°，
∴CD2+BC2＝BD2，
∴
，
解得，x＝1+2
或x＝1﹣2（舍去），
∴x﹣2＝
，
∴四边形ABCD的面积为：
＝
＝8，
故答案为：8．
16．【解答】解：原方程整理得，x2﹣（m+n）x+mn﹣p＝0，
∴x1+x2＝m+n，x1x2＝mn﹣p，
∵x1﹣x2＝
＝
＝
＝
＞m﹣n，
∴（m﹣n）2+4p＞（m﹣n）2，
∴4p＞0，
∴p＞0，
∴p的取值范围是p＞0，
故答案为：p＞0．
三、解答题（共8题，共72分）
17．【解答】解：原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）＝0
x﹣3＝0，x+1＝0
∴x1＝3，x2＝﹣1．
18．【解答】解：（1）∵△＝（2m）2﹣4×1×（
m2﹣m﹣1）
＝4m2﹣3m2+4m+4
＝m2+4m+4
＝（m+2）2≥0，
∴方程总有实数根；
（2）由题意知，x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2﹣m﹣1，
∵x12﹣x22＝0，
∴（x1+x2）（x1﹣x2）＝0，
∴x1+x2＝0或x1﹣x2＝0，
当x1+x2＝0，则x1+x2＝﹣2m＝0，解得m＝0，原方程变形为x2﹣1＝0，此方程有实数根，符合题意；
当x1﹣x2＝0，则△＝（m+2）2＝0，解得m＝﹣2；
综上，m＝﹣2或m＝0．
19．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）∵OA＝
＝2
，OB＝4，
∴
＝
＝
＝
，
故答案为：；
（3）如图所示，点P即为所求，其坐标为（0，
）．
20．【解答】解：设竖条的宽度是2xcm，横条的宽度是3xcm，则
（20﹣6x）（30﹣6x）＝（1﹣
）×20×30
解得x1＝1，x2＝
（舍去）．
2×1＝2（cm），3×1＝3（cm）．
答：横条宽3cm，竖条宽2cm．
21．【解答】解：（1）∵∠EAF＝∠DAC，∠AEF＝∠ADC＝90°，
∴△AEF∽△ADC，
∵∠C＝∠C，∠BEC＝∠ADC＝90°，
∴△BEC∽△ADC，
∵∠DBF＝∠DAC，∠BDF＝∠ADC＝90°，
∴△BDF∽△ADC，
∴与△ADC相似的三角形有△BDF，△BEC，△AEF；
（2）∵△BEC∽△ADC，
∴
＝
，又∠ECD＝∠BCA，
∴△ECD∽△BCA，
∴
＝
＝cosC＝
．
22．【解答】解：（1）根据题意，得：y＝50﹣x，（0≤x≤50，且x为整数）；
（2）W＝（120+10x﹣20）（50﹣x）
＝﹣10x2+400x+5000
＝﹣10（x﹣20）2+9000，
∵a＝﹣10＜0
∴当x＝20时，W取得最大值，W最大值＝9000元，
答：当每间房价定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是9000元．
（3）由题意得，
，
解得：20≤x≤40，
此时x的范围为：20≤x≤40．
23．【解答】解：（1）结论：PM＝PN，PM⊥PN．
理由：如图1中，连接AM，DN．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴∠BAD＝90°，
∵PE⊥BM，
∴∠AEB＝90°，
∴∠PAD+∠EAB＝90°，∠EAB+∠ABE＝90°，
∴∠PAD＝∠ABE，
∵PA＝PD，
∵PA＝BM，∠PAD＝∠ABM，AD＝BA，
∴△PAD≌△MBA（SAS），
∴AM＝PD，∠AMB＝∠APD，
∴MA＝MB＝PA＝PD，同法可证：ND＝NC＝PA＝PD，∠DNC＝∠APD，
∴∠AME＝∠DNF，
∵∠AME+∠MAE＝90°，∠DNF+∠NDF＝90°，
∴∠MAE＝∠NDF，
∴∠PAM＝∠PDN，
∴△PAM≌△PDN（SAS），
∴PM＝PN，∠APM＝∠DPN＝∠AMP＝∠DNP，
∵∠AME+∠MAE＝90°，∠MAE＝∠AMP+∠APM＝∠APM+∠NPD，
∴∠APD+∠APM+∠NPD＝90°，
∴∠MPN＝90°，
∴MP⊥PN．
（2）∵PA＝PD，∠P＝40°，
∴∠PAD＝∠PDA＝70°，
由（1）可知：∠ABM＝∠PAD＝70°，
故答案为：70°．
（3）连接MA，延长MA交PF于点Q．
由（1）可知：∠PAD＝∠ABM，
∵PA＝BM，AD＝BA，
∴△PAD≌△MBA（SAS），
∴AM＝PD，∠ADP＝∠MAB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝CD，
∵∠MAB+∠QAD＝90°，
∴∠QAD+∠ADP＝90°，
∴∠AQD＝90°，
∵PF⊥CN，
∴∠AQD＝∠DFC＝90°，
∴∠ADQ+∠CDF＝90°，∠CDF+∠DCF＝90°，
∴∠ADQ＝∠DCF，
∴△AQD≌△DFC（AAS），
∴AQ＝DF，DQ＝CF，
∵PD＝CN，
∴PQ＝FN，MQ＝PF，
∵∠MQP＝∠PFN＝90°，
∴△MQP≌△PFN（SAS），
∴PM＝PN，
∠MPQ＝∠N，
∵∠N+∠FPN＝90°，
∴∠MPQ+∠FPN＝90°，
∴∠MPN＝90°，
∴PM⊥PN．
24．【解答】解：（1）∵抛物线L：y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点的横坐标分别为﹣2、3，与y轴的交点是A（0，﹣3），
∴设抛物线L的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣3），
∴﹣3＝﹣6a，a＝
，
∴抛物线L的解析式为：y＝x2﹣x﹣3；
（2）设AP与x轴交于点R，作PH⊥x轴于点H，
则△AOR∽△PHR，
∴
，
∵AP被x轴分成1：2两部分，
∴
或
，
∴PH＝
或PH＝6，
当PH＝时，
x2﹣x﹣3＝，解得：x＝
；
当PH＝6时，x2﹣x﹣3＝6，解得：x＝
；
∴P点的坐标为（
，
）或（
，）或（
，6）或（
，6）；
（3）设抛物线L：y＝a（x+2）（x﹣3），A（0，t），B（0，﹣t），BM＝m，
∴t＝﹣6a，a＝﹣
，
∴抛物线L：y＝
（x+2）（x﹣3），
∵AD∥x轴，对称轴为x＝0.5，
∴D（1，t），
∵BC∥x轴交抛物线在y轴右侧的部分于C，
∴﹣t＝（x+2）（x﹣3），解得x＝4或x＝﹣3（舍去），
∴C（4，﹣t），
当△CBM∽△DAM时，
，
∴
，解得：m＝
，
当△CBM∽△MAD时，
，
∴
，即m2+2tm+4＝0①，
当方程①有两个相等的实数根时，△＝4t2﹣16＝0，t＝﹣2或t＝2（舍去），
此时m＝2或m＝
，
∴M1（0，﹣1.2），M2（0，0），
当方程①有两个不相等的实数根时，把m＝
，
代入方程①得，
，
解得：t＝﹣2.5或t＝2.5（舍去），
此时方程为：m2﹣5m+4＝0，m＝1或m＝4，
m＝＝4，
∴M1（0，﹣1.5），M2（0，1.5）．
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