2018-2019学年湖北省武汉二中九年级（上）月考数学试卷（三）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
2．（3分）一元二次方程2x2﹣mx+2＝0有一根是x＝1，则另一根是（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝4
3．（3分）将x2+6x+4＝0进行配方变形，下列正确的是（ ）
A．（x+3）2＝5 B．（x+3）2＝9 C．（x+6）2＝32 D．（x+6）2＝9
4．（3分）点（1，2）关于P（0，2）对称点A′的坐标为（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，0） C．（﹣2，0） D．（﹣2，﹣1）
5．（3分）将抛物线y＝x2﹣1向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为（ ）
A．y＝（x+2）2+1 B．y＝（x﹣2）2﹣1 C．y＝（x﹣2）2+1 D．y＝（x+2）2﹣1
6．（3分）如图，AB为⊙O直径，若∠DAB＝20°，则∠ACD的度数为（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
7．（3分）如图为球形灯笼的截面图，过圆心的CD垂直弦AB于D，AB＝2dm，CD＝4dm，则⊙O半径为（ ）
A．2dm B．
dm C．
dm D．
dm
8．（3分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2开口向下，（﹣2，y1）、（3，y2）、（0，y3）为抛物线上的三个点，则（ ）
A．y3＞y2＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2
9．（3分）如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2．则BD的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（3分）如图，将
沿弦AB翻折过圆心O点，交弦AC于D，AD＝1，CD＝2，则AB长为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝ ，x1•x2＝ ．
12．（3分）一件商品原价格为100元，成本为30元，每星期可卖100件，若售价每增加1元，则每星期销量下降2件；现商品经提价后售价为x元，每星期销量为 件（用x的代数式表示）．
13．（3分）二次函数y＝x2﹣mx+3的顶点在x轴上，则m＝ ．
14．（3分）如图，AB为⊙O直径，AB＝4，C为OA中点，则过C点的最短弦长为 ．
15．（3分）在平面直角坐标系中，原点O（0，0）、A（2，0），若抛物线y＝x2﹣2mx+1与线段OA有且仅有一个公共点，则m的取值范围是 ．
16．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，将AB绕A顺时针旋转至AD，若∠BDC＝90°，则线段CD长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（8分）解方程：2x2﹣x﹣3＝0．
18．（8分）李师傅去年开了一家商店，将每个月的盈亏情况都作了记录．今年1月份开始盈利，2月份盈利2000元，4月份盈利恰好2880元，若每月盈利的平均增长率都相同，试求这个平均增长率．
19．（8分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点为（0，3）
（1）求此二次函数的解析式；
（2）结合函数图象，直接写出当y≤﹣1时x的取值范围．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（4，2），C（2，0）．
（1）将△ABC沿y轴翻折得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点（﹣1，﹣1）旋转180°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
（3）线段B2C2可以看成是线段B1C1绕着平面直角坐标系中某一点逆时针旋转得到，直接写出旋转中心的坐标为 ．
21．（8分）如图，AB为⊙O直径，D为
的中点，DG⊥AB于G，交AC于E，AC、BD相交于F．
（1）求证：AE＝DE；
（2）若AG＝2，DG＝4，求AF的长．
22．（10分）在一次羽毛球比赛中，甲运动员在离地面
米的P点处发球，球的运动轨迹PAN可看作是一条抛物线的一部分，当球运动到最高点A处时，其高度为3米，离甲运动员站立地点O的水平距离为5米，球网BC离点O的水平距离为6米，以点O为原点建立平面直角坐标系，回答下列问题．
（1）求抛物线的解析式（不要求些出自变量的取值范围）；
（2）羽毛球场地底线距离球网BC的水平距离为6米，此次发球是否会出界？
（3）乙运动员在球场上M（m，0）处接球，乙原地起跳可接球的最大高度为2.5米，若乙因接球高度不够而失球，求m的取值范围．
23．（10分）如图1，正方形ABCD中，F为AB中点，连接DF，CE⊥DF于E，连接BE．
（1）作出△ADF关于F成中心对称的图形，并探究BE和BC数量关系；
（2）如图2，BM平分∠ABE交CE延长线于M，连接MD，试探究DM、CM、BM线段关系并给出证明；
（3）若点F在线段AB上运动（不与端点重合），AB＝4，则BE长度的取值范围是 ．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C，且AB＝4，OB＝OC．
（1）求抛物线解析式；
（2）在直线x＝2上是否存在点M，使∠BMA＝2∠MAB？若存在，求M点坐标；
（3）点P为y轴上C点下方一动点，PM、PN分别与抛物线交于唯一公共点M、N，连接MN交y轴于Q，试探究PQ与CQ的数量关系，并说明理由．
2018-2019学年湖北省武汉二中九年级（上）月考数学试卷（三）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．【解答】解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，B、C、D都符合；
不是中心对称图形的只有A．
故选：A．
2．【解答】解：设一元二次方程2x2﹣mx+2＝0的一个根x1＝1，
则x1x2＝
＝1，
解得x2＝1．
故选：A．
3．【解答】解：x2+6x＝﹣4，
x2+6x+9＝5，
（x+3）2＝5．
故选：A．
4．【解答】解：设A′（m，n）．
由题意：
，
解得
，
∴A′（﹣1，2），
故选：A．
5．【解答】解：抛物线y＝x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），把点（0，﹣1）向左平移2个单位，再向上平移2个单位到的点的坐标为（﹣2，1），
所以平移后抛物线的解析式为y＝（x+2）2+1．
故选：A．
6．【解答】解：∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝70°，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，
∴∠ACD＝180°﹣∠ABD＝110°，
故选：A．
7．【解答】解：∵过圆心的CD垂直弦AB于D，AB＝2dm，CD＝4dm，
∴BD＝AD＝1dm，
在Rt△ODB中，OD2+DB2＝OB2，
即（4﹣r）2+12＝r2，
解得：r＝
dm，
故选：C．
8．【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax﹣2＝a（x﹣1）2﹣a﹣2，且抛物线开口向下，
∴离对称轴x＝1的水平距离越小，对应的函数值越大，
∴y3＞y2＞y1，
故选：A．
9．【解答】解：以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF．
∵DC∥AB，
∴
＝
，
∴DF＝CB＝1，BF＝2+2＝4，
∵FB是⊙A的直径，
∴∠FDB＝90°，
∴BD＝
＝
．
故选：B．
10．【解答】解：
过点O作OF⊥AB于F，过点B作BE⊥AC于E，连接OA、OB、BD、BC，
∵OF＝
OA，
∴∠AOF＝∠BOF＝60°，
∴∠ADB＝∠AOB＝120°，∠ACB＝∠AOB＝60°，
∴∠CDB＝∠ACB＝60°，
∴△CDB为等边三角形，
∵CD＝2，
∴DE＝1，BE＝
，
∴AB＝
＝
＝
，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0的两根为x1，x2，
则x1+x2＝﹣
＝1，x1•x2＝
＝﹣
，
故答案为：1，﹣．
12．【解答】解：由题意可得，
现商品经提价后售价为x元，每星期销量为：100﹣（x﹣100）×2＝（﹣2x+300）（件），
故答案为：（﹣2x+300）．
13．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣mx+3的顶点在x轴上，
∴
＝0，
解得：m＝±2
，
故答案为：±2．
14．【解答】解：过C作弦EF⊥AB，连接OE，则弦EF是过C点的最短的弦，
∵直径AB＝4，C为OA中点，
∴OC＝1，OE＝2，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：EC＝
＝
＝
，
根据垂径定理得：EF＝2EC＝2，
故答案为：2．
15．【解答】解：由抛物线y＝x2﹣2mx+1可知开口向上，与y轴交于（0，1）点，
当b2﹣4ac＝0且0＜﹣
≤2时，抛物线与线段OA有且仅有一个公共点，
由（﹣2m）2﹣4＝0，
解得m＝1，
代入A（2，0）则4﹣4m+1＝0，
解得：m＝
，
综上所述：m＝1或m＞
故答案为：m＝1或m＞．
16．【解答】解：如图，取线段BC中点O，连接OD，OA交BD于点E．
∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝5
∵∠CDB＝∠CAB＝90°，
∴C、D、A、B四点共圆
∴∠ADB＝∠ACB
∵将AB绕A顺时针旋转至AD，
∴AD＝AB
∴∠ADB＝∠ABD
∴∠ABD＝∠ACB
∵点O是Rt△ABC，Rt△DBC斜边BC的中点
∴BO＝CO＝DO＝AO＝
∵AD＝AB，BO＝DO
∴AO垂直平分BD
∴DE＝BE，∠AEB＝90°
∴∠AEB＝∠BAC＝90°，∠ABD＝∠ACB
∴△AEB∽△BAC
∴
∴AE＝
∴OE＝AO﹣AE＝﹣＝
∵BO＝CO，DE＝BE
∴CD＝2OE＝
故答案为
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．【解答】解：2x2﹣x﹣3＝0，
（2x﹣3）（x+1）＝0，
则2x﹣3＝0，x+1＝0，
解得：x1＝1.5，x2＝﹣1．
18．【解答】解：设这个平均增长率为x，根据题意得：
2000（1+x）2＝2880，
解得：x1＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：这个平均增长率为20%．
19．【解答】解：（1）把（﹣1，0）和（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得
，解得
，
所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）当y＝﹣1时，﹣x2+2x+3＝﹣1，解得x1＝1+
，x2＝1﹣，
当x≤1﹣或x≥1+时，y≤﹣1．
20．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）如图，线段B2C2可以看成是线段B1C1绕着点P逆时针旋转90°得到，此时P点的坐标为（﹣2，﹣2）．
故答案为（﹣6，0）．
21．【解答】解：（1）∵D为
的中点，
∴
＝
，
∴∠CAD＝∠ABD，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∵DG⊥AB于G，
∴∠AGD＝90°，
∴∠DAG+∠ABD＝∠DAG+∠ADG＝90°，
∴∠ADG＝∠ABD，
∴∠ADG＝∠DAE，
∴AE＝DE；
（2）∵AG＝2，DG＝4，
∴AD＝
＝2
，
∵∠DAF＝∠ADG，∠AGD＝∠ADF，
∴△ADF∽△DGA，
∴
，
∴AF＝
＝5．
22．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣5）2+3，由题意，得
＝a（0﹣5）2+3；
a＝﹣
．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣
（x﹣5）2+3；
（2）当y＝0时，﹣（x﹣5）2+3＝0，
解得：x1＝﹣
（舍去），x2＝
，
即ON＝，
∵OC＝6，
∴CN＝﹣6＝
＞6，
∴此次发球会出界；
（3）由题意，得
2.5＝﹣（m﹣5）2+3；
解得：m1＝5+
，m2＝5﹣
（舍去），
∵m＞6，
∴6＜m＜5+．
∴m的取值范围是6＜m＜5+．
23．【解答】解：（1）结论：BE＝BC．
理由：取CD的中点H，连接BH交EC于点G．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AF＝FB，DH＝CH，
∴BF∥DH，BF＝DH，
∴四边形DFBH是平行四边形，
∴DF∥BH，
∵CE⊥DF于E，
∴BH⊥CE，
∵HG∥DE，DH＝HC，
∴EG＝GC，
∴BE＝BC．
（2）结论：DM+BM＝
CM．
理由：过点C作CH⊥CM，交MB的延长线于点H．
∵BM平分∠ABE，
∴可以假设∠ABM＝∠EBM＝x，
又∵BE＝BC，
∴∠BEC＝∠BCE＝45°+x＝∠EBM+∠BME＝x+∠BME，
∴∠BME＝45°，
∴△MCH为等腰直角三角形，
∴CM＝CH，
∵∠MCH＝∠BCD＝90°，
∴∠HCB＝∠MCD，
∵CB＝CD，CH＝CM，
∴△CDM≌△CBH（SAS），
∴DM＝BH，
∴DM+BM＝MH＝CM．
（3）当点F与B重合时，BE的值最小，此时点E是DF的中点，BE＝
DF＝BD＝2，
当点F与A重合时，BE的值最大，此时点E与D重合，BE＝4
，
∴2＜BE＜4．
24．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C，
∴对称轴为x＝1，
∵AB＝4，OB＝OC，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），
设抛物线为y＝a（x+1）（x﹣3），
∴﹣3＝﹣3a，a＝1，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2））存在，
如图2，作对称轴x＝1，交直线AM于点H，
设直线AM的解析式为：y＝kx+k，
则H（1，2k），M（2，3k），
∵AH＝BH，
∴∠MAB＝∠HBA，
∴∠BHM＝2∠MAB，
∵∠BMA＝2∠MAB，
∴∠BHM＝∠BMA，
∴BM＝BH，
∴12+（3k）2＝22+（2k）2，解得k＝
，
∴M（2，
）或（2，
）．
（3）PQ＝2CQ．
理由如下：
设过点P的直线为：y＝mx+n，M（x1，y1），N（x2 ，y2 ），
联立：
，消去y得：x2﹣（m+2）x﹣3﹣n＝0，
由题意，△＝（m+2）2﹣4（﹣3﹣n）＝m2+4m+16+4n＝0，此时x＝
，
如图，过M，N分别作y 轴的垂线，垂足分别为R，S，设Q（0，t），
则△MRQ∽△NSQ，
∴
，即
，
解得t＝﹣x1x2﹣3，
∵
＝
＝
，
∴t＝﹣n﹣6，即Q（0，﹣n﹣6），
∵P（0，n），C（0，﹣3），
∴C是PQ的中点，
∴PQ＝2CQ．
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