湖北省武汉市粮道街中学2019届九年级上学期
期中考试数学试卷
一．选择题（满分30分，每小题3分）
1．方程﹣5x2＝1的一次项系数是（ ）
A．3 B．1 C．﹣1 D．0
2．二次函数y＝（x﹣2）2+3，当0≤x≤5时，y的取值范围为（ ）
A．3≤y≤12 B．2≤y≤12 C．7≤y≤12 D．3≤y≤7
3．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．下列关于x的方程中一定没有实数解的是（ ）
A．x2﹣x﹣1＝0 B．4x2﹣4x+2＝0 C．x2＝﹣x D．x2﹣mx﹣2＝0．
5．把抛物线y＝2（x﹣3）2+k向下平移1个单位长度后经过点（2，3），则k的值是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
6．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件182万个．若该厂八、九月份平均每月生产零件的增长率均为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．50（1+x）2＝182
B．50+50（1+x）2＝182
C．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182
D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182
7．如图，A，B是⊙O上的两点，C是⊙O上不与A，B重合的任意一点．如果∠AOB＝130°，那么∠ACB的度数为（ ）
A．65° B．115° C．130° D．65°或115°
8．下列说法中正确的个数有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径一定垂直于弦；
③圆是轴对称图形，每一条直径都是对称轴；
④直径是弦；
⑤长度相等的弧是等弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在E处，BE与AD相交于点F，下列结论：
①BD＝AD2+AB2；②△ABF≌△EDF；③
；④AD＝BD•cos45°．
其中正确的一组是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
10．如图，抛物线y＝﹣
x2+
x+2与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，P为此抛物线对称轴l上任意一点，则△APC的周长的最小值是（ ）
A．2
B．3 C．5 D． +
二．填空题（满分18分，每小题3分）
11．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2018＝0有一个根为x＝﹣1，则a+b＝ ．
12．已知P（m+2，3）和Q（2，n﹣4）关于原点对称，则m+n＝ ．
13．方程（n﹣3）x|n|﹣1+3x+3n＝0是关于x的一元二次方程，n＝ ．
14．为响应“足球进校园”的号召，我县教体局在今年11月份组织了“县长杯”校园足球比赛．在某场比赛中，一个球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可用公式h＝﹣5t2+v0t表示，其中t（s）表示足球被踢出后经过的时间，v0（m/s）是足球被踢出时的速度，如果足球的最大高度到20m，那么足球被踢出时的速度应达到 m/s．
15．抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2的最大值为 ．
16．如图，A（0，4），B（1，0）将线段AB绕点A逆时针方向旋转90°，点B的对应点C的坐标为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）小明在解方程x2﹣2x﹣1＝0时出现了错误，其解答过程如下：
x2﹣2x＝﹣1 （第一步）
x2﹣2x+1＝﹣1+1 （第二步）
（x﹣1）2＝0 （第三步）
x1＝x2＝1 （第四步）
（1）小明解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ；
（2）请写出此题正确的解答过程．
18．（8分）已知：AD是△ABC中BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，求证：△ACD≌△EBD．
19．（8分）某小区在绿化工程中有一块长为20m、宽为8m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为56m2，两
块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度．
20．（8分）关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k＝4时，求方程的根．
21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，⊙O的半径为5cm，弦AC的长为6cm，求弦BC的长．
22．（10分）为了迎接市排球运动会，市排协准备新购一批排球．张会长问器材保管员：“我们现在还有多少个排球？”，保管员说：“两年前购进100个新排球，由于训练损坏，现在还有81个球．”
（1）假设这两年平均每年的损坏率相同，求损坏率．
（2）张会长说：“我们协会有奇数个训练队，如果新购进的排球，每队分得8个球，球正好都分完；如果每队分的9个球，那么有一个队分得的球不足6个，但超过2个．”那么市排协准备新购排球以及该协会有多少个训练队？
（3）张会长准备去买第（2）题中求的排球数，某体育用品商店提供如下信息：
信息一：可供选择的排球有A、B、C三种型号，但要求购买A、B型号数量相等．
信息二：如表：
|
型号 |
每个型号批发单价（元） |
每年每个型号排球的损坏率 |
|
A |
30 |
0.2 |
|
B |
20 |
0.3 |
|
C |
50 |
0.1 |
设购买A、C型号排球分别为a个、b个，你能帮张会长制定一个购买方案吗？要求总费用w（元）要最省，而且要使这批排球两年后没有损坏的个数不少于27个．
23．（10分）感知：如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝m，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，过点D作DE⊥CB交CB的延长线于点E，连接CD．
（1）求证：△ACB≌△BED；
（2）△BCD的面积为 （用含m的式子表示）．
拓展：如图②，在一般的Rt△ABC，∠ACB＝90°，BC＝m，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，用含m的式子表示△BCD的面积，并说明理由．
应用：如图③，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝8，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，则△BCD的面积为 ；若BC＝m，则△BCD的面积为 （用含m的式子表示）．
24．（12分）如图，已知抛物线y＝﹣
x2+bx+c与x轴交于点A，B，点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，2），点D与点C关于x轴对称，点P是x轴正半轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）若m＝3，试证明△BQM是直角三角形；
（3）已知点F（0，），试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？
参考答案
一．选择题
1．方程﹣5x2＝1的一次项系数是（ ）
A．3 B．1 C．﹣1 D．0
【分析】方程整理为一般形式，找出一次项系数即可．
解：方程整理得：﹣5x2﹣1＝0，
则一次项系数为0，
故选：D．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
2．二次函数y＝（x﹣2）2+3，当0≤x≤5时，y的取值范围为（ ）
A．3≤y≤12 B．2≤y≤12 C．7≤y≤12 D．3≤y≤7
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到当0≤x≤5时，y的取值范围，本题得以解决．
解：∵二次函数y＝（x﹣2）2+3，
∴该函数的对称轴是直线x＝2，当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜2时，y随x的增大而减小，
∵0≤x≤5，2﹣0＝2，5﹣2＝3，
∴当x＝2时，y取得最小值，此时y＝3，当x＝5时，y取得最大值，此时y＝12，
∴当0≤x≤5时，y的取值范围为3≤y≤12，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
3．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据旋转180°后与原图重合的图形是中心对称图形，进而分析即可．
解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．下列关于x的方程中一定没有实数解的是（ ）
A．x2﹣x﹣1＝0 B．4x2﹣4x+2＝0 C．x2＝﹣x D．x2﹣mx﹣2＝0．
【分析】根据根的判别式的值的大小与零的关系来判断根的情况．没有实数根的一元二次方程，即判别式的值是负数的方程．
解：A．x2﹣x﹣1＝0中△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，有两个不相等的实数根；
B．4x2﹣4x+2＝0中△＝（﹣4）2﹣4×4×2＝﹣16＜0，没有实数根；
C．x2＝﹣x即x2+x＝0中△＝12﹣4×1×0＝1＞
0，有两个不相等的实数根；
D．x2﹣mx﹣2＝0中△＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣2）＝m2+8＞0，有两个不相等的实数根；
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
5．把抛物线y＝2（x﹣3）2+k向下平移1个单位长度后经过点（2，3），则k的值是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
【分析】把点坐标代入y＝2（x﹣3）2+k﹣1解方程即可得到结论．
解：设抛物线y＝2（x﹣3）2+k向下平移1个单位长度后的解析式为y＝2（x﹣3）2+k﹣1，
把点（2，3）代入y＝2（x﹣3）2+k﹣1得，3＝2（2﹣3）2+k﹣1，
∴k＝2，
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握抛物线的平移规律是解题关键．
6．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件182万个．若该厂八、九月份平均每月生产零件的增长率均为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．50（1+x）2＝182
B．50+50（1+x）2＝182
C．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182
D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182
【分析】设该厂八、九月份平均每月生产零件的增长率均为x，根据该机械厂七月份及整个第三季度生产零件的数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：设该厂八、九月份平均每月生产零件的增长率均为x，
根据题意得：50+50（1+x）+50（1+x）2＝182．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．如图，A，B是⊙O上的两点，C是⊙O上不与A，B重合的任意一点．如果∠AOB＝130°，那么∠ACB的度数为（ ）
A．65° B．115° C．130° D．65°或115°
【分析】根据点C在优弧AB上和劣弧AB上两种情况画出图形，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质进行计算即可．
解：如图1，
∠ACB＝
∠AOB＝65°；
如图2，
∠ADB＝∠AOB＝65°，
∵∠ADB+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝115°．
综上∠ACB的度数为为65°或115°，
故选：D．
【点评】本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
8．下列说法中正确的个数有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径一定垂直于弦；
③圆是轴对称图形，每一条直径都是对称轴；
④直径是弦；
⑤长度相等的弧是等弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据圆周角定理、垂径定理、圆的性质、直径的性质、等弧的定义一一判断即可；
解：①相等的圆心角所对的弧相等；错误．必须在同圆或等圆中；
②平分弦的直径一定垂直于弦；错误，此弦不是直径；
③圆是轴对称图形，每一条直径都是对称轴；错误，应该是每一条直径所在的直线都是对称轴；
④直径是弦；正确；
⑤长度相等的弧是等弧．错误．能够完全重合的两条弧是等弧；
故选：A．
【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、圆的性质、直径的性质、等弧的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9．如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在E处，BE与AD相交于点F，下列结论：
①BD＝AD2+AB2；②△ABF≌△EDF；③
；④AD＝BD•cos45°．
其中正确的一组是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【分析】①直接根据勾股定理即可判定是否正确；
②利用折叠可以得到全等条件证明△ABF≌△EDF；
③利用全等三角形的性质即可解决问题；
④在Rt△ABD中利用三角函数的定义即可判定是否正确．
解：①∵△ABD为直角三角形，∴BD2＝AD2+AB2，不是BD＝AD2+AB2，故说法错误；
②根据折叠可知：DE＝CD＝AB，∠A＝∠E，∠AFB＝∠EFD，∴△ABF≌△EDF，故说法正确；
③根据②可以得到△ABF∽△EDF，∴
，故说法正确；
④在Rt△ABD中，∠ADB≠45°，∴AD≠BD•cos45°，故说法错误．
所以正确的是②③．
故选：B．
【点评】此题主要考查了折叠问题，也考查了勾股定理、相似三角形的性质、全等三角形的性质及三角函数的定义，它们的综合性比较强，对于学生的综合能力要求比较高，平时加强训练．
10．如图，抛物线y＝﹣
x2+
x+2与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，P为此抛物线对称轴l上任意一点，则△APC的周长的最小值是（ ）
A．2
B．3
C．5 D． +
【分析】作点C关于直线l的对称点C′，连接AC′交直线l于P，连接PC，则△APC的周长的最小，根据抛物线的对称性、二次函数与一元二次方程的关系计算即可．
解：作点C关于直线l的对称点C′，连接AC′交直线l于P，连接PC，
则△APC的周长的最小，
由抛物线的对称性可知，点C′在抛物线上，
当x＝0时，y＝2，
∴点C的坐标为（0，2），
∴点C′的纵坐标为2，
2＝﹣
x2+
x+2，
解得，x1＝0，x2＝3，
则点C′的横坐标为3，
﹣x2+x+2＝0，
x1＝﹣1，x2＝4，
则点A的坐标为（﹣1，0），
∴AC′＝
＝2
，AC＝
＝，
∴△APC的周长的最小值是3，
故选：B．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点、轴对称﹣最短路线问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系、正确利用轴对称作出点P是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2018＝0有一个根为x＝﹣1，则a+b＝ 2018 ．
【分析】把x＝﹣1代入方程，整理即可求出a+b的值．
解：把x＝﹣1代入方程有：
a+b﹣2018＝0，
即a+b＝2018．
故答案是：2018．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，可以求出代数式的值．
12．已知P（m+2，3）和Q（2，n﹣4）关于原点对称，则m+n＝ ﹣3 ．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．这样就可以得到关于m，n的方程，就可以求出m，n的值．
解：∵P（m+2，3）和Q（2，n﹣4）关于原点对称，
∴m+2＝﹣2，n﹣4＝﹣3；
解得m＝﹣4 n＝1；
∴m+n＝﹣3．
【点评】关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．根据对称点坐标之间的关系可以得到方程或方程组问题．
13．方程（n﹣3）x|n|﹣1+3x+3n＝0是关于x的一元二次方程，n＝ ﹣3 ．
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），把方程化为一般形式，根据二次项系数不等于0，即可求得n的值．
解：∵方程（n﹣3）x|n|﹣1+3x+3n＝0是一元二次方程，
∴|n|﹣1＝2，且n﹣3≠0，即n＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
14．为响应“足球进校园”的号召，我县教体局在今年11月份组织了“县长杯”校园足球比赛．在某场比赛中，一个球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可用公式h＝﹣5t2+v0t表示，其中t（s）表示足球被踢出后经过的时间，v0（m/s）是足球被踢出时的速度，如果足球的最大高度到20m，那么足球被踢出时的速度应达到 20 m/s．
【分析】因为﹣5＜0，抛物线开口向下，有最大值，根据顶点坐标公式表示函数的最大值，根据题目对最大值的要求，求待定系数v0．
解：h＝﹣5t2+v0•t，其对称轴为t＝
，
当t＝时，h最大＝﹣5×（）2+v0•
＝20，
解得：v0＝20，v0＝﹣20（不合题意舍去），
答：足球被踢出时的速度应达到20m/s．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，关键是利用当对称轴为t＝时h将取到最大值．
15．抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2的最大值为 2 ．
【分析】根据二次函数的性质求解可得．
解：∵a＝﹣1＜0，
∴函数y＝﹣（x﹣4）2+2在x＝4时取得最大值2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
16．如图，A（0，4），B（1，0）将线段AB绕点A逆时针方向旋转90°，点B的对应点C的坐标为 （4，5） ．
【分析】根据点A、B的坐标求出OA、AB的长度，过C作CD⊥y轴于D，然后证明△CDA≌△AOB，根据全等三角形对应边相等可得AO＝CD＝4，OB＝AD＝1，根据点C在第一象限写出点C的坐标即可．
解：过C作CD⊥y轴于D，
由旋转得：AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠CAD+∠BAO＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠CAD＝∠ABO，
在△CDA和△AOB中，
，
∴△CDA≌△AOB（AAS），
∴AO＝CD＝4，OB＝AD＝1，
∴OD＝4+1＝5，
∴C（4，5），
故答案为：（4，5）．
【点评】本题考查了坐标与图形的变化﹣旋转，根据旋转变换的性质求出两三角形全等是解题的关键，作出图形更形象直观．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）小明在解方程x2﹣2x﹣1＝0时出现了错误，其解答过程如下：
x2﹣2x＝﹣1 （第一步）
x2﹣2x+1＝﹣1+1 （第二步）
（x﹣1）2＝0 （第三步）
x1＝x2＝1 （第四步）
（1）小明解答过程是从第 一 步开始出错的，其错误原因是 不符合等式的性质1 ；
（2）请写出此题正确的解答过程．
【分析】（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式即可；
（2）先把方程两边加上1，再把方程两边加上1，利用完全平方公式得到（x﹣1）2＝2，然后利用直接开平方法解方程
．
解：（1）小明解答过程是从第一步开始出错的，因为把方程两边都加上1时，方程右边为1．
故答案为一；不符合等式性质1；
（1）x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝2，
（x﹣1）2＝2，
x﹣1＝±
，
所以x1＝1+，x2＝1﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
18．（8分）已知：AD是△ABC中BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，求证：△ACD≌△EBD．
【分析】依据中线的定义，即可得到BD＝CD，再根据SAS即可判定△ACD≌△EBD．
证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（SAS）．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，解决问题的关键是掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
19．（8分）某小区在绿化工程中有一块长为20m、宽为8m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为56m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度．
【分析】根据矩形的面积和为56平方米列出一元二次方程求解即可．
解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，
（20﹣3x）（8﹣2x）＝56，
解得：x1＝2，x2＝
（不合题意，舍去）．
答：人行道的宽为2米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，利用两块矩形的面积之和为56m2得出等式是解题关键．
20．（8分）关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k＝4时，求方程的根．
【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝（﹣3）2+4k＞0，然后解不等式即可；
（2）将k＝4代入方程，因式分解法求出方程的根即可．
解：（1）∵方程x2﹣3x﹣k＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣k）＞0，
解得：k＞﹣
；
（2）将k＝4代入方程，得：x2﹣3x﹣4＝0，
则（x+1）（x﹣4）＝0，
∴x+1＝0或x﹣4＝0，
解得：x1＝4，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，⊙O的半径为5cm，弦AC的长为6cm，求弦BC的长．
【分析】根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据勾股定理计算即可．
解：∵⊙O的半径为5cm，
∴AB＝10cm，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
由勾股定理得，BC＝
＝
＝8，
∴弦BC的长为8cm．
【点评】本题考查的是圆周角定理，勾股定理，掌握直径所对的圆周角是直角是直角是解题的关键．
22．（10分）为了迎接市排球运动会，市排协准备新购一批排球．张会长问器材保管员：“我们现在还有多少个排球？”，保管员说：“两年前购进100个新排球，由于训练损坏，现在还有81个球．”
（1）假设这两年平均每年的损坏率相同，求损坏率．
（2）张会长说：“我们协会有奇数个训练队，如果新购进的排球，每队分得8个球，球正好都分完；如果每队分的9个球，那么有一个队分得的球不足6个，但超过2个．”那么市排协准备新购排球以及该协会有多少个训练队？
（3）张会长准备去买第（2）题中求的排球数，某体育用品商店提供如下信息：
信息一：可供选择的排球有A、B、C三种型号，但要求购买A、B型号数量相等．
信息二：如表：
|
型号 |
每个型号批发单价（元） |
每年每个型号排球的损坏率 |
|
A |
30 |
0.2 |
|
B |
20 |
0.3 |
|
C |
50 |
0.1 |
设购买A、C型号排球分别为a个、b个，你能帮张会长制定一个购买方案吗？要求总费用w（元）要最省，而且要使这批排球两年后没有损坏的个数不少于27个．
【分析】（1）利用数量关系为a（1±x）2＝b设出未知数求解即可；
（2）设出新购排球数和球队后列出一元一次不等式组求解即可；
（3）根据上题求得的排球数表示出a、b之间的关系，然后列出有关总费用的一次函数求解即可．
解：（1）设损坏率为x，根据题意得：
100（1﹣x）2＝81
解得：x＝1.9（舍去）或x＝0.1＝10%
答：损坏率为10%；
（2）设有x支球队，则新购排球有8x个，
根据题意得：2＜8x﹣9（x﹣1）＜6
解得：3＜x＜7
∵球队数为奇数，
∴x＝5
∴8x＝40．
答：购进40个排球，共有5支球队．
（3）∵购买A、C型号排球分别为a个、b个，且购买A、B型号数量相等．
∴a+a+b＝40
整理得：2a+b＝40
∵这批排球两年后没有损坏的个数不少于27个，
∴a（1﹣0.2）2+a（1﹣0.3）2+b（1﹣0.1）2≥27
解得：a≤11.02，
∴总费用为30a+20a+50b＝2000﹣50a
∴当a最大时总费用最低，
∴方案为A型11个，B型11个，C型18个．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式及一次函数的知识，解题的关键是从实际问题中整理出函数模型并能利用其解决实际问题．
23．（10分）感知：如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝m，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，过点D作DE⊥CB交CB的延长线于点E，连接CD．
（1）求证：△ACB≌△BED；
（2）△BCD的面积为 
m2 （用含m的式子表示）．
拓展：如图②，在一般的Rt△ABC，∠ACB＝90°，BC＝m，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，用含m的式子表示△BCD的面积，并说明理由．
应用：如图③，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝8，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，则△BCD的面积为 16 ；若BC＝m，则△BCD的面积为 
m2 （用含m的式子表示）．
【分析】感知：（1）由题意可得CA＝CB，∠A＝∠ABC＝45°，由旋转的性质可得BA＝BD，∠ABD＝90°，可得∠DBE＝∠ABC，即可证△ACB≌△BED；
（2）由△ACB≌△BED，可得BC＝DE＝m，根据三角形面积求法可求△BCD的面积；
拓展：作DG⊥CB交CB的延长线于G，可证△ACB≌△BGD，可得BC＝DG＝m，根据三角形面积求法可求△BCD的面积；
应用：过点A作AN⊥BC于N，过点D作DM⊥BC的延长线于点M，由等腰三角形的性质可以得出BN＝
BC，由条件可以得出△AFB≌△BED就可以得出BN＝DM，由三角形的面积公式就可以得出结论．
感知：证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴CA＝CB＝m，∠A＝∠ABC＝45°，
由旋转的性质可知，BA＝BD，∠ABD＝90°，
∴∠DBE＝45°，
在△ACB和△DEB中，
，
∴△ACB≌△BED（AAS）
（2）∵△ACB≌△BED
∴DE＝BC＝m
∴S△BCD＝
BC×ED＝m2，
故答案为： m2，
拓展：作DG⊥CB交CB的延长线于G，
∵∠ABD＝90°，
∴∠ABC+∠DBG＝90°，又∠ABC+∠A＝90°，
∴∠A＝∠DBG，
在△ACB和△BGD中，
，
∴△ACB≌△BGD（AAS），
∴BC＝DG＝m
∴S△BCD＝
BC×DG＝m2，
应用：作AN⊥BC于N，DM⊥BC交CB的延长线于M，
∴∠ANB＝∠M＝90°，BN＝BC＝4．
∴∠NAB+∠ABN＝90°．
∵∠ABD＝90°，
∴∠ABN+∠DBM＝90°，
∴∠NAB＝∠MBD．
∵线段BD是由线段AB旋转得到的，
∴AB＝BD．
在△AFB和△BED中，
，
∴△ANB≌△BMD（AAS），
∴BN＝DM＝BC＝4．
∴S△BCD＝
BC•DM＝×8×4＝16，
若BC＝m，则BN＝DM＝BC＝m，
∴S△BCD＝BC•DM＝×m×m＝
m2
故答案为：16， m2．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的面积计算，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，三角形的三线合一是解题的关键．
24．（12分）如图，已知抛物线y＝﹣
x2+bx+c与x轴交于点A，B，点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，2），点D与点C关于x轴对称，点P是x轴正半轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）若m＝3，试证明△BQM是直角三角形；
（3）已知点F（0，），试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？
【分析】（1）把A、C坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）由BM2+BQ2＝QM2，可知△BQM是直角三角形；
（3）当QM＝EF＝
时，四边形DMQF是平行四边形，即可求解．
解：（1）函数与y轴交于点C（0，2），则抛物线表达式为：y＝﹣
x2+bx+2，
将点A坐标代入上式得：﹣﹣b+2＝0，则b＝
，
故：抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2，
令y＝0，则x＝4或﹣1，即点B坐标为（4，0）；
（2）m＝3，则点P（3，0），
点D与点C关于x轴对称，则点D坐标为（0，﹣2），
把x＝3代入抛物线表达式，则y＝2，即：Q（3，2），
把点D的坐标代入一次函数表达式y＝kx+b，
则：y＝kx﹣2，
把点B坐标代入上式，解得：k＝，
则BD所在直线表达式为：y＝
x﹣2，
则点M坐标为（3，﹣），
则：BM2＝
，BQ2＝5，QM2＝
，即：BM2+BQ2＝QM2，
故：△BQM是直角三角形；
（3）点P的坐标为（m，0），
则点Q坐标（m，﹣m2+
m+2）、点M坐标（m，
m﹣2），
当QM＝EF＝
时，四边形DMQF是平行四边形，
则：QM＝﹣m2+
m+2﹣m+2＝，
解得：m＝3或﹣1，
∵点P是x轴正半轴上的一个动点，
∴m＝3
答：当m＝3时，四边形DMQF是平行四边形．
【点评】此题是二次函数的综合问题，主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
获得更多试题及答案，欢迎联系微信公众号：ygjjcom
客服微信号：ygjjcom