06 机械能守恒定律及应用
一、选择题
1．(单选 )
如图所示，不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a和b。a球质量为m，静置于水平地面上；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好拉紧。现将b球释放，则b球着地瞬间a球的速度大小为 ( )
A．
B．
C．
D．
1．B 解析：在b球落地前，a、b两球组成的系统机械能守恒，且a、b两球速度大小相等，设为v，根据机械能守恒定律有：3mgh＝mgh＋2(1)(3m＋m)v2，解得v＝，故B正确。
2．(单选+原创)
如图所示，竖直固定一半径为R=0.5m表面粗糙的四分之一圆弧轨道，其圆心O与A点等高。一质量m=1kg的小物块在不另外施力的情况下，能以速度
m/s沿轨道自A点匀速率运动到B点，重力加速度g=10m/s2。则下列说法不正确的是（ ）
A．在A到B的过程中合力对小物块的做功为零
B．在P点时，重力的瞬时功率为5W
C．小物块在AP段和PB段产生的内能相等
D．在B点时，小物块对圆弧轨道的压力大小为11N
2．C解析：小物块在A到B的过程中做匀速率运动，故
合力做功为零，A正确；在P点时，重力的瞬时功率为
，B正确；小物块在AP段和PB段都满足克服摩擦力做功产生的内能等于重力势能的减少，在AP段
,在PB段
，故在AP段和PB段产生的内能不相等，C错误；在B点时，运用牛顿第二定律得圆弧轨道对小物块的支持力大小为
=11N
根据牛顿第三定律知小物块对圆弧轨道的压力大小为FN=11N，D正确。
3．(多选+原创)
一劲度系数为k=100 N/m的轻弹簧下端固定于倾角为θ=37°的光滑斜面底端，上端连接物块P。一轻绳跨过定滑轮O，一端与物块P连接，另一端与套在光滑水平直杆的物块Q连接，定滑轮到水平直杆的距离为d=0.4 m。初始时在外力作用下，物块Q在A点静止不动，轻绳与水平直杆的夹角α=30°，绳子张力大小为45 N。已知物块Q质量为m1=0.2 kg，物块P质量为m2=5 kg，不计滑轮大小及摩擦，取g=10 m/s2。现将物块Q静止释放，则下列说法正确的是
A．物块P静止时，弹簧的伸长量为0.10 m
D．物块Q由A到B点的过程中，物块P、Q组成的系统机械能守恒
B．当夹角β=53°的，B点时的速度大小3 m/s
C．物块Q由A到B点的过程中，轻绳拉力对其所做的功为0.8 J
3．BC 解析：
物块P静止时，设弹簧的伸长量x1，由平衡条件有
，代入数据解得x1=0.15 m，弹簧的伸长量为0.15 m，A正确；物块Q由A到B点的过程中，物块P、Q组成的系统满足机械能守恒条件，B正确；将物块Q静止释放，经分析可知，物块P下落距离为0.30 m，即弹簧被压缩
0.15 m，故可知弹簧的弹性势能保持不变，根据机械能守恒有
，如图所示B点时由运动的合成与分解有
，联立解得
3 m/s，C正确；对于物块Q，由动能定理有
，解得
0.9 J，D错误。
4．(多选+原创)
如图甲所示，小物块从竖直弹簧上方离地高h1处由静止释放，其动能Ek与离地高度h的关系如图乙所示。其中高度从h1下降到h2，图象为直线，其余部分为曲线，h3对应图象的最高点。若弹簧劲度系数为k，小物块质量为m，重力加速度为g。下列说法正确的是 （ ）
A．弹簧的劲度系数为
B．小物体下降至高度h3时，动能最大，弹簧势能最小
C．小物体处于h=h4高度时，弹簧的弹性势能为
D．小物体从高度h1下降到h5，弹簧的最大弹性势能为
4．AD 解析：在
处弹簧形变量x=
-，则弹簧的劲度系数k=
，A正确；高度从
下降到，图象为直线，该过程做自由落体运动，
是小物体自由下落的高度，所以小物体下降至高度时，弹簧形变量为0，下降至时动能最大，此时物体处于平衡状态，有kx=mg；弹性势能与形变量有关，此时形变量不是最小，B错误；小物体下落至高度
时，物体的动能与时的动能相同，所以，弹性势能为重力势能的变化量即
，C错误；小物体从高度下降到
，重力做功等于弹簧弹性势能的增加量，所以弹簧的最大弹性势能为，D正确。
二、计算题
5．如图所示，在竖直平面内有由4(1)圆弧AB和2(1)圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接。AB弧的半径为R，BC弧的半径为2(R)。一小球在A点正上方与A相距4(R)处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动。
(1)求小球在B、A两点的动能之比；
(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点。
5．答案：(1)5 ；(2)能沿轨道运动到C点
解析：(1)设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由机械能守恒定律得EkA＝mg4(R)
设小球在B点的动能为EkB，同理有EkB＝mg4(5R)
解得EkA(EkB)＝5。
(2)若小球能沿轨道运动到C点，则小球在C点所受轨道的正压力N应满足N≥0④
设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿第二定律和向心加速度公式有N＋mg＝m2(R)
联立解得vC应满足mg≤mR(2vC2)
由机械能守恒定律得mg4(R)＝2(1)mvC2
可知，小球恰好可以沿轨道运动到C点。
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