人教版九年级下册数学期中模拟试卷2
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.点(2，－4)在反比例函数y＝x(k)的图象上，则下列各点在此函数图象上的是( D )
A.(2,4) B.(－1，－8) C.(－2，－4) D.(4，－2)
2.如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则EF的长为( C )
A.4 B.5 C.6 D.8
3.△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的周长比为( C )
A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶16
4.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是( D )
A.∠AED＝∠B B.∠ADE＝∠C
C.AE(AD)＝AB(AC) D.AB(AD)＝AC(AE)
5.在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx＋m(m≠0)与y＝x(m)(m≠0)的图象可能是( D )
6.如图，利用标杆BE测量楼的高度，标杆BE高1.5 m，测得AB＝2 m，BC＝14 m，则楼高CD为( C )
A.10.5 m B.9.5 m C.12 m D.16 m
7.若点A(－6，y1)，B(－2，y2)，C(3，y3)在反比例函数y＝x(a2＋1)(a为常数)的图象上，则y1，y2，y3大小关系为( D )
A.y1＞y2＞y3 B.y2＞y3＞y1 C.y3＞y2＞y1 D.y3＞y1＞y2
8.如图，反比例函数y＝x(k)(x＜0)与一次函数y＝x＋4的图象交于A，B两点的横坐标分别为－3，－1.则关于x的不等式x(k)＜x＋4(x＜0)的解集为( B )
A.x＜－3 B.－3＜x＜－1 C.－1＜x＜0 D.x＜－3或－1＜x＜0
9.如图，在平面直角坐标系中有两点A(6,2)，B(6,0)，以原点为位似中心，相似比为1∶3，把线段AB缩小，则过A点对应点的反比例函数的解析式为( B )
A.y＝x(4) B.y＝3x(4) C.y＝－3x(4) D.y＝x(18)
10.如图，已知点A，B分别在反比例函数y＝x(1)(x＞0)，y＝－x(4)(x＞0)的图象上，且OA⊥OB，则OA(OB)的值为( B )
A. B.2 C. D.4
二、填空题(每小题4分，共24分)
11.如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC上的点，若DE∥BC，AB(AD)＝3(1)，则AB＋BC＋AC(AD＋DE＋AE)＝ 3(1) .
12.已知反比例函数y＝x(6)，当x＞3时，y的取值范围是 0＜y＜2 .
13.如图，点P是▱ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有 3 对.
14.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过10 A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是 R≥3.6 .
15.在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝ 5(12)或3(5) 时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似.
16.如图，点E，F在函数y＝x(2)的图象上，直线EF分别与x轴、y轴交于点A，B，且BE∶BF＝1∶3，则△EOF的面积是 3(8) .
三、解答题(共66分)
17.(6分)如图所示，AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，求证： BE(AD) ＝BC(AC) .
证明：∵AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，∴∠D＝∠E＝90°，∵∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴ BE(AD) ＝BC(AC).
18.(6分)为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和点C，使AB⊥BC，然后再选点E，使EC⊥BC，确定BC与AE的交点为D，如图，测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，你能求出两岸之间AB的大致距离吗？
解：由Rt△ABD∽Rt△ECD，得BD(AB) ＝CD(EC) ，∴120(AB) ＝60(50).∴AB＝100米.答：两岸之间AB的大致距离为100米.
19.(6分)一定质量的氧气，其密度ρ(kg/m3)是它的体积V(m3)的反比例函数.当V＝10 m3时，ρ等于1.43 kg/m3.
(1)求ρ与V的函数关系式；
(2)求当V＝2 m3时，氧气的密度.
解：(1)由题意，得Vρ＝10×1.43＝14.3，∴ρ与V的函数关系式为ρ＝V(14.3)；
(2)当V＝2时，ρ＝2(14.3)＝7.15，即氧气的密度为7.15 kg/m3.
20.(8分)如图，已知四边形ABCD的对角线AC，BD交于点F，点E是BD上一点，且∠BCA＝∠ADE，∠CAD＝∠BAE.求证：
(1)△ABC∽△AED；
(2)BE·AC＝CD·AB.
证明：(1)∵∠BAE＝∠DAC，∠BAC＝∠BAE－∠CAE，∠EAD＝∠DAC－∠CAE，∴∠BAC＝∠EAD.又∵∠ACB＝∠ADE，∴△ABC∽△AED；
(2)∵△ABC∽△AED，∴AC(AB)＝AD(AE).又∵∠BAE＝∠CAD，∴△ABE∽△ACD.CD(BE)＝AC(AB)，即BE·AC＝CD·AB.
21.(8分)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝x(k)(x＞0)的图象上有一点A(m,4)，过点A作AB⊥x轴于点B，将点B向右平移2个单位长度得到点C，过点C作y轴的平行线交反比例函数的图象于点D，CD＝3(4).
(1)点D的横坐标为 (用含m的式子表示)；
(2)求反比例函数的解析式.
解：(1)点D的横坐标为：m＋2；
(2)∵CD∥y轴，CD＝3(4)，∴点D的坐标为：(m＋2，3(4))，∵A，D在反比例函数y＝x(k)(x＞0)的图象上，∴4m＝3(4)(m＋2)，解得：m＝1，∴点A的坐标为(1,4)，∴k＝4，∴反比例函数的解析式为：y＝x(4).
22.(10分)如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC.
(1)求证：直线DM是⊙O的切线；
(2)求证：DE2＝DF·DA.
解：(1)如图所示，连接OD，∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴OD⊥BC，又∵∠BDM＝∠DAC，∠DAC＝∠DBC，∴∠BDM＝∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM，∴直线DM是⊙O的切线；
(2)如图所示，连接BE，∵点E是△ABC的内心，∴∠BAE＝∠CAE＝∠CBD，∠ABE＝∠CBE，∴∠BAE＋∠ABE＝∠CBD＋∠CBE，即∠BED＝∠EBD，∴DB＝DE，∵∠DBF＝∠DAB，∠BDF＝∠ADB，∴△DBF∽△DAB，∴DB(DF)＝DA(DB)，即DB2＝DF·DA，∴DE2＝DF·DA.
23.(10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y＝x(k)经过▱ABCD的顶点B，D.点D的坐标为(2,1)，点A在y轴上，且AD∥x轴，S▱ABCD＝5.
(1)填空：点A的坐标为 ；
(2)求双曲线和AB所在直线的解析式.
解：(1)∵点D的坐标为(2,1)，点A在y轴上，且AD∥x轴，∴A(0,1)；
(2)∵双曲线y＝x(k)经过点D(2,1)，∴k＝2，∴双曲线为y＝x(2)，∵D(2,1)，AD∥x轴，∴AD＝2，∵S▱ABCD＝5，设BC与y轴交于点E，则AE＝2(5)，∴OE＝2(3)，∴B点纵坐标为－2(3)，把y＝－2(3)代入y＝x(2)得，－2(3)＝x(2)，解得x＝－3(4)，∴B(－3(4)，－2(3))，设直线AB的解析式为y＝ax＋b，代入A(0,1)，B(－3(4)，－2(3))得：，(3)解得b＝1.(，)∴AB所在直线的解析式为y＝8(15)x＋1.
24.(12分)已知：如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接DE和DB，过点E作EF⊥AB，垂足为F，交BD于点P.
(1)求证：AD＝DE；
(2)若CE＝2，求线段CD的长；
(3)在(2)的条件下，求△DPE的面积.
(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝BC，∴D是AC的中点，∠ABD＝∠CBD，∴AD＝DE；
(2)解：∵四边形ABED内接于⊙O，∴∠CED＝∠CAB，∵∠C＝∠C，∴△CED∽△CAB，∴CA(CE)＝CB(CD)，∵AB＝BC＝10，CE＝2，D是AC的中点，∴CD＝ ；
(3)解：延长EF交⊙O于M，在Rt△ABD中，AD＝ ，AB＝10，∴BD＝3 ，∵EM⊥AB，AB是⊙O的直径，∴＝，∴∠BEP＝∠EDB，∴△BPE∽△BED，∴BE(BD)＝BP(BE)，∴BP＝15(10)，∴DP＝BD－BP＝15(10)，∴S△DPE∶S△BPE＝DP∶BP＝13∶32，∵S△BCD＝2(1) × ×3 ＝15，S△BDE∶S△BCD＝BE∶BC＝4∶5，∴S△BDE＝12，∴S△DPE＝15(52).
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