一、填空题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分）

1．（3 分）方程 9^x＝3^x+2 的解为  ．

2．（3 分）已知集合 A＝{﹣1，3，2m﹣1}，集合 B＝{3，m²}．若 B⊆A，则实数 m＝  ．

3．（3 分）若 2cos（π﹣x）+sin（π﹣x）＝0，则＝  ．

4．（3 分）如果函数是奇函数，则 f（x）的定义域是  ．

5．（3 分）已知数列{a_n}等比数列，且 a1＝﹣1，a9＝﹣9，则 a5＝  ．

6．（3 分）函数的反函数为  ．

7．（3 分）不等式组（a≠0）的解集为∅，则实数 a 的取值范围是  ．

8．（3 分）设{a_n}是公比为 q 的等比数列，首项 a1＝，对于 n∈N^*，b_n＝a_n，当且仅当 n＝4 时，数列{b_n}的前 n 项和取得最大值，则 q 的取值范围为  ．

9．（3 分）（理）对于任意，不等式 psin2x+cos4x≥2sin2x 恒成立，则实数 p 的范围为  ．

10．（3 分）已知函数在区间[a，b]上至少含有 20 个零点时，b﹣

a 的最小值是  ．

11．（3 分）已知函数 y＝f（x）存在反函数 y＝f﹣1（x），且 f（x）+f（﹣x）＝2017，则 f﹣1

（x）+f﹣1（2017﹣x）＝  ．

12．（3 分）已知等差数列{a_n}的首项为 a，公差为 b；等比数列{b_n}的首项为 b，公比为 a，其中 a，b 均为正整数，且 a1＜b1＜a2＜b2＜a3，若存在关系式 a_m+1＝b_n，则 b＝  ．

二、选择题（共 4 小题，每小题 3 分，满分 12 分）

13．（3 分）设 0＜b＜1+a，若关于 x 的不等式（x﹣b）²＞（ax）² 的解集中的整数解恰有 3

个，则（ ）

A．﹣1＜a＜0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜3 D．3＜a＜6

14．（3 分）先将函数 y＝sin2x 的图象向右平移个单位长度，再作所得的图象关于 y 轴的对称图形，则最后函数图象的解析式为（ ）

A．                                       B．

C．                                        D．

15．（3 分）设 f（x）＝x³+log₂（x+），则对任意实数 a，b，a+b≥0 是 f（a）+f（b）

≥0 的（ ）

A．充分必要条件 B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

16．（3 分）已知集合 M＝{0，2}，无穷数列{a_n}满足 a_n∈M，且，则实数 t 一定不属于（ ）

A．[0，1） B．（0，1] C．             D．三、解答题

17．已知集合 A＝{x|x²+（a﹣1）x﹣a＞0}，B＝{x|（x+a）（x+b）＞0}，a≠b，全集为 U＝ R．

（1）若 a＞b＞﹣1，求 A∩B；

（2）若 ，求 a 的取值范围．

18. 在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c．

（1） 若 a、b、c 成等比数列，且，求 cotA+cotC 的值；

（2） 若 A、B、C 成等差数列，且 b＝2，求△ABC 的周长 l 的最大值．

19. 设函数 f（x）对任意的 x∈R，都有 f（2x）＝af（x），其中 a 为常数，当 x∈[1，2）时，

（1） 求函数 f（x）在 x∈[2ⁿ，2ⁿ⁺¹）上的解析式；

（2）若﹣1≤a＜0，求 f（x）在 x∈[1，+∞）时的值域．

20．（1）已知 0＜x1＜x2，求证： ；

（2） 已知 f（x）＝lg（x+1）﹣log₃x，求证：f（x）在定义域内是单调递减函数；

（3）在（2）的条件下，求集合 M＝{n|f（n²﹣214n﹣1998）≥0，n∈Z}的子集个数．

21. 已知点是函数 f（x）＝a^x（a＞0，a≠1）的图象上的一点，等比数列{a_n}的前n 项和为 f （ n ） ﹣ c ， 数列{b_n} （ b_n ＞ 0 ） 的首项为 c ， 且前 n 项和 S_n 满足：

（1） 求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；

（2） 若数列{c_n}的通项 ，求数列{c_n}的前 n 项和 R_n；

（3） 若数列 的前项和为 T_n，是否存在最大的整数 t，使得对任意的正整数 n， 均有 总成立？若成立，求出 t；若不存在，请说明理由．

2017-2018 学年上海市闵行区七宝中学高二（上）开学数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分）

1．（3 分）方程 9^x＝3^x+2 的解为    x＝log₃2 ．

【分析】由 9^x＝3^x+2，知（3^x）²﹣3^x﹣2＝0，解得 3^x＝﹣1（舍），或 3^x＝2，由此能求出方程 9^x＝3^x+2 的解．

【解答】解：∵9^x＝3^x+2，

∴（3^x）²﹣3^x﹣2＝0，

解得 3^x＝﹣1（舍），或 3^x＝2，

∴x＝log₃2．

故答案为：x＝log₃2．

【点评】本题考查指数方程的解法和应用，解题时要认真审题，注意指数式与对数式的互化．

2．（3 分）已知集合 A＝{﹣1，3，2m﹣1}，集合 B＝{3，m²}．若 B⊆A，则实数 m＝    1 ．

【分析】根据题意，若 B⊆A，必有 m²＝2m﹣1，而 m²＝﹣1 不合题意，舍去，解可得答案，注意最后进行集合元素互异性的验证．

【解答】解：由 B⊆A，m²≠﹣1，

∴m²＝2m﹣1．解得 m＝1．

验证可得符合集合元素的互异性，

此时 B＝{3，1}，A＝{﹣1，3，1}，B⊆A 满足题意． 故答案为：1

【点评】本题考查元素的互异性即集合间的关系，注意解题时要验证互异性，属于基础题．

3．（3 分）若 2cos（π﹣x）+sin（π﹣x）＝0，则＝    ﹣1 ．

【分析】利用三角函数的诱导公式，以及同角的三角函数关系求出 tanx，然后利用两角和差的正切公式进行求解即可．

【解答】解：由 2cos（π﹣x）+sin（π﹣x）＝0 得﹣2cosx+sinx＝0

即 sinx＝2cosx，

则 tanx＝2，

则 ＝ ＝ ＝﹣3， 故答案为：﹣3．

【点评】本题主要考查三角函数值的化简和求值，利用诱导公式以及两角和差的正切公式是解决本题的关键．

4．（3 分）如果函数是奇函数，则 f（x）的定义域是    （﹣3，3） ．

【分析】根据函数 f（x）是奇函数求出 a 的值，写出 f（x）的解析式，再求 f（x）的定义域．

【解答】解：函数 是奇函数，

∴f（﹣x）＝log₃＝﹣log₃＝﹣log₃＝﹣f（x），

∴a＝3，

∴f（x）＝log₃ ，

令 ＞0，解得﹣3＜x＜3；

∴f（x）的定义域是（﹣3，3）．故答案为：（﹣3，3）．

【点评】本题考查了函数的奇偶性和定义域的应用问题，是基础题．

5．（3 分）已知数列{a_n}等比数列，且 a1＝﹣1，a9＝﹣9，则 a5＝    ﹣3 ．

【分析】由等比数列的通项公式及其性质可得：a5＝﹣  ．

【解答】解：由等比数列的通项公式及其性质可得：a5＝﹣ ＝﹣ ＝

﹣3．

故答案为：﹣3．

【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

6．（3 分）函数的反函数为 f﹣1（x）＝π﹣arcsinx，x∈[﹣1，0] ．

【分析】先用诱导公式求出 f（x）＝sin（π﹣x），x∈[﹣，0]，再由反函数的定义求解即可．

【解答】解：函数 f（x）＝sinx，x∈[π，]，

∴函数 f（x）＝sin（π﹣x），x∈[﹣，0]，可得π﹣x＝arcsiny y∈[﹣1，0]

∴f﹣1（x）＝π﹣arcsinx，x∈[﹣1，0]．

故答案为：f﹣1（x）＝π﹣arcsinx，x∈[﹣1，0]．

【点评】本题考查函数反函数的求法，是基础题．

7．（3 分）不等式组（a≠0）的解集为∅，则实数 a 的取值范围是    {a|a＝0，或

a≤﹣1} ．

【分析】分 a＝0、a＞0、a＜0 三种情况，分别检验是否满足条件，从而得出结论．

【解答】解：∵不等式组 （a≠0）的解集为∅，

①当 a＝0 时，由于 ax＞0 无解，不等式组（a≠0）的解集为∅，满足条件．

②当 a＞0 时，由 ax＞0 求得 x＞0；由 x+a+1＞0，求得 x＞﹣a﹣1，故不等式组

（a≠0）的解集为{x|x＞0}≠∅，故不满足条件．

③当 a＜0 时，由 ax＞0 求得 x＜0；由 x+a+1＞0，求得 x＞﹣a﹣1，

若﹣a﹣1≥0，即 a≤﹣1 时，不等式组（a≠0）的解集为∅，满足条件； 若﹣a﹣1＜0，即 0＞a＞﹣1 时，不等式组（a≠0）的解集为{x|﹣a﹣1＜x

＜0}≠∅，不满足条件，

综上可得实数 a 的取值范围是{a|a＝0，或 a≤﹣1}， 故答案为：{a|a＝0，或 a≤﹣1}．

【点评】本题主要考查不等式组的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．

8．（3 分）设{a_n}是公比为 q 的等比数列，首项 a1＝，对于 n∈N^*，b_n＝a_n，当且仅当 n＝4 时，数列{b_n}的前 n 项和取得最大值，则 q 的取值范围为 （2 ，4） ．

【分析】由 b_n+1﹣b_n＝ a_n+1﹣ a_n＝ ＝ q，得出数列{b_n}是以q 为公差，以 a1＝6 为首项的等差数列，由已知当且仅当 n＝4 时前 n 项和最

大，通过解不等式组 求出公比 q 的取值范围即可．

【解答】解：因为等比数列的公比为 q，首项 a1＝，

∴b_n+1﹣b_n＝ a_n+1﹣ a_n＝ ＝ q，

∴数列{b_n}是以 q 为公差，以 a1＝6 为首项的等差数列，

∴b_n＝6+（n﹣1） q．

又当且仅当 n＝4 时前 n 项和最大，

∴ ，

∴﹣2＜ q＜﹣ ，即 2＜q＜4，

故答案为：（2，4）．

【点评】本题考查了等差数列的判定，前 n 项和最值情况．本题得出数列{b_n}是以 q

为公差，以 a1＝6 为首项的等差数列为关键．

9．（3 分）（理）对于任意，不等式 psin2x+cos4x≥2sin2x 恒成立，则实数 p 的范围为 [2，+∞） ．

【分析】先化简不等式，然后将 p 分离出来，再根据基本不等式求出不等式一侧的最大值，使 p 大于不等式一侧的最大值即可使不等式恒成立．

【解答】解：∵psin²x+cos⁴x≥2sin²x

∴psin²x≥2sin²x﹣1﹣sin⁴x+2sin²x＝4sin²x﹣sin⁴x﹣1

∴p≥4﹣（sin2x+ ）

而 sin2x+ ≥2

∴4﹣（sin2x+ ）的最大值为 2 则 p≥2

故答案为：[2，+∞）

【点评】本题主要考查了正弦函数的定义域和值域，以及函数恒成立问题和基本不等式的应用，属于中档题．

10．（3 分）已知函数在区间[a，b]上至少含有 20 个零点时，b﹣

a 的最小值是  ．

【分析】利用辅助角公式进行化简得到 f（x）的表达式，计算出函数的周期结合图象得到一个周期内含有 2 个零点，根据图象建立 b﹣a 的最小值时对应的周期关系即可．

【解答】解： ＝ sin2x+1+cos2x＝2sin（2x+  ）+1，

则函数的最小周期 T＝＝π， 作出 f（x）的图象如图：

则在一个周期内函数 f（x）含有两个零点，

若 f（x）在区间[a，b]上至少含有 20 个零点时，

则至少需要 9 个整周期外加一个周期内的两个零点长度即可，

即 b﹣a 的最小值为 9π+（﹣ ）＝9π+ ＝ ， 故答案为： ．

【点评】本题主要考查三角函数性质的应用，利用辅助角公式求出函数的 解析式结合图象判断一个周期内零点个数是解决本题的关键．

11．（3 分）已知函数 y＝f（x）存在反函数 y＝f﹣1（x），且 f（x）+f（﹣x）＝2017，则 f﹣1

（x）+f﹣1（2017﹣x）＝ 0 ．

【分析】由反函数性质得互为反函数的函数定义域值域互换，所以 f﹣1（x）+f﹣1（2017

﹣x）＝0．

【解答】解：由反函数性质得互为反函数的函数定义域值域互换，  由于 f﹣1（x）+f﹣1（2017﹣x）中 x+（2017﹣x）＝2017，

且 f（x）+f（﹣x）＝2017，所以 f﹣1（x）+f﹣1（2017﹣x）＝x+（﹣x）＝0． 故答案为 0．

【点评】本题考查反函数性质，属于简单题．

12．（3 分）已知等差数列{a_n}的首项为 a，公差为 b；等比数列{b_n}的首项为 b，公比为 a，其中 a，b 均为正整数，且 a1＜b1＜a2＜b2＜a3，若存在关系式 a_m+1＝b_n，则 b＝ 3 ．

【分析】由题设可求，a_n，b_n，结合已知 a1＜b1＜a2＜b2＜a3．可得 a＜3，由 a 为正整数可求 a 由 a_m+1＝b_n，a＝2 可求得 ，由 b＞a＝2 且 b 为正整数 可求出结

果．

【解答】解：由题设知，a_n＝a+（n﹣1）b， ， 由已知可得，a＜b＜a+b＜ab＜a+2b

∴b＜ab，a＞1，∴ab＜a+2b＜3b，

又∵b＞0∴a＜3，∵a 为正整数，∴a＝2，

∵a_m+1＝b_n，∴a+（m﹣1）b+1＝b•aⁿ﹣1，

∵a＝2，∴3+（m﹣1）b＝b•2n﹣1，

∴ ，

∵b＞a＝2 且 b 为正整数，∴2n﹣1﹣（m﹣1）＝1，

∴b＝3．

故答案为：3．

【点评】本题考查等比数列的首项的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，   考查运算求解能力，是中档题．

二、选择题（共 4 小题，每小题 3 分，满分 12 分）

13．（3 分）设 0＜b＜1+a，若关于 x 的不等式（x﹣b）²＞（ax）² 的解集中的整数解恰有 3

个，则（ ）

A．﹣1＜a＜0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜3 D．3＜a＜6

【分析】将不等式变形为[（a+1）x﹣b]•[（a﹣1）x+b]＜0 的解集中的整数恰有 3 个，再

由 0＜b＜1+a 可得，a＞1，不等式的解集为 ＜x＜ ＜1，考查解集端点的范围， 解出 a 的取值范围．

【解答】解：关于 x 的不等式（x﹣b）²＞（ax）² 即 （a²﹣1）x²+2bx﹣b²＜0，∵0＜b

＜1+a，

[（a+1）x﹣b]•[（a﹣1）x+b]＜0 的解集中的整数恰有 3 个，∴a＞1，

∴不等式的解集为 ＜x＜ ＜1，所以解集里的整数是﹣2，﹣1，0  三个．

∴﹣3≤﹣ ＜﹣2，

∴2＜ ≤3，2a﹣2＜b≤3a﹣3，

∵b＜1+a，

∴2a﹣2＜1+a，

∴a＜3，

综上，1＜a＜3， 故选：C．

【点评】本题考查一元二次不等式的应用，注意二次项系数的符号，解区间的端点就是对应一元二次方程的根．

14．（3 分）先将函数 y＝sin2x 的图象向右平移个单位长度，再作所得的图象关于 y 轴的

对称图形，则最后函数图象的解析式为（ ）

A．                                       B．

C．                                       D．

【分析】由条件利用函数 y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得的图象对应的函数解析式，再根据所得的图象关于 y 轴的对称图形，求得所得函数图象对应的解析式．

【解答】解：先将函数 y＝sin2x 的图象向右平移个单位长度，可得 y＝sin2（x﹣）

的图象；

再作所得的图象关于 y 轴的对称图形，可得函数 y＝sin2（﹣x﹣）＝sin（﹣2x﹣ ） 的图象，

故选：A．

【点评】本题主要考查函数 y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，根据图象的对称性求函

数的解析式，属于基础题．

15．（3 分）设 f（x）＝x³+log₂（x+），则对任意实数 a，b，a+b≥0 是 f（a）+f（b）

≥0 的（ ）

A．充分必要条件 B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】由 f（﹣x）＝﹣x³+log₂（﹣x+ ）＝﹣x³+log₂ ＝﹣x³﹣log₂

（x+）＝﹣f（x），知 f（x）是奇函数．所以 f（x）在 R 上是增函数，a+b≥0 可得 af（a）+f（b）≥0 成立；若 f（a）+f（b）≥0 则 f（a）≥﹣f（b）＝f（﹣b）由函数是增函数知 a+b≥0 成立 a+b＞＝0 是 f（a）+f（b）＞＝0 的充要条件．

【解答】解：f（x）＝x3+log2（x+），f（x）的定义域为 R

∵f（﹣x）＝﹣x³+log₂（﹣x+  ）＝﹣x³+log₂

＝﹣x³﹣log₂（x+）＝﹣f（x）．

∴f（x）是奇函数

∵f（x）在（0，+∞）上是增函数

∴f（x）在 R 上是增函数

a+b≥0 可得 a≥﹣b

∴f（a）≥f（﹣b）＝﹣f（b）

∴f（a）+f（b）≥0 成立

若 f（a）+f（b）≥0 则 f（a）≥﹣f（b）＝f（﹣b）由函数是增函数知a≥﹣b

∴a+b≥0 成立

∴a+b≥0 是 f（a）+f（b）≥0 的充要条件．

【点评】本题考查充要条件的判断，解题时要注意单调性的合理运用．

16．（3 分）已知集合 M＝{0，2}，无穷数列{a_n}满足 a_n∈M，且，则实数 t 一定不属于（ ）

A．[0，1） B．（0，1] C．             D．

【分析】用特殊值验证法判定

【解答】解：当 a1＝a2＝…＝a_n＝0 时，t＝0 当 a1＝2，a2＝a3＝..＝a_n＝0 时，t＝．

于是可以判定实数 t 一定不属于[） 故选：C．

【点评】本题考查了数列的取值范围问题，特殊值验证法是做客观题的一种有效办法， 属于中档题．

三、解答题

17．已知集合 A＝{x|x²+（a﹣1）x﹣a＞0}，B＝{x|（x+a）（x+b）＞0}，a≠b，全集为 U＝ R．

（1）若 a＞b＞﹣1，求 A∩B；