专题33 最值问题
在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要为以下几种：
1.二次函数的最值公式
二次函数
（a、b、c为常数且
）其性质中有
①若
当
时，y有最小值。
；
②若
当
时，y有最大值。
。
2.一次函数的增减性
一次函数
的自变量x的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当
时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。
3. 判别式法
根据题意构造一个关于未知数x的一元二次方程；再根据x是实数，推得
，进而求出y的取值范围，并由此得出y的最值。
4.构造函数法
“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。
5. 利用非负数的性质
在实数范围内，显然有
，当且仅当
时，等号成立，即
的最小值为k。
6. 零点区间讨论法
用“零点区间讨论法”消去函数y中绝对值符号，然后求出y在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。
7. 利用不等式与判别式求解
在不等式
中，
是最大值，在不等式
中，
是最小值。
8. “夹逼法”求最值
在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。
【例题1】（经典题）二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的最小值为 ．
【答案】﹣4．
【解析】题中所给的解析式为顶点式，可直接得到顶点坐标，从而得出解答．
二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的开口向上，顶点坐标为（3，﹣4），
所以最小值为﹣4．
【例题2】（2018江西）如图，AB是⊙O的弦，AB=5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是 ．
【答案】
．
【解析】根据中位线定理得到MN的最大时，BC最大，当BC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．
如图，∵点M，N分别是AB，AC的中点，
∴MN=
BC，
∴当BC取得最大值时，MN就取得最大值，当BC是直径时，BC最大，
连接BO并延长交⊙O于点C′，连接AC′，
∵BC′是⊙O的直径，
∴∠BAC′=90°．
∵∠ACB=45°，AB=5，
∴∠AC′B=45°，
∴BC′=
=
=5
，
∴MN最大=
．
【例题3】（2019湖南张家界）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过点A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，OC＝3．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；
（3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求P点坐标及最大面积的值；
（4）若点Q为线段OC上的一动点，问AQ＋
QC是否存在最小值?若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．
【思路分析】（1）将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式即可求出a、b、c的值（当然用两根式做更方便）；（2）先证四边形AMBD为矩形，再证该矩形有一组邻边相等，即可证明该四边形为正方形；（3）如答图2，过点P作PF⊥AB于点F，交BC于点E，令P(m，m2－4m＋3)，易知直线BC的解析式为y＝－x＋3，则E(m，－m＋3)，PE＝(－m＋3)－(m2－4m＋3)＝－m2＋3m．再由S△PBC＝S△PBE＋S△CPE，转化为
PE•OB＝
×3×(－m2＋3m)，最后将二次函数化为顶点式即可锁定S△PBC的最大值与点P坐标；（4）解决本问按两步走：一找（如答图3，设OQ＝t，则CQ＝3－t，AQ＋
QC＝
，取CQ的中点G，以点Q为圆心，QG的长为半径作⊙Q，则当⊙Q过点A时，AQ＋
QC＝⊙Q的直径最小）、二求（由 AQ＝
QC，解关于t的方程即可）．
【解题过程】（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过点A(1，0)，B(3，0)两点，
∴令抛物线解析为y＝a(x－1)(x－3)．
∵该抛物线过点C(0，3)，
∴3＝a×(0－1)×(0－3)，解得a＝1．
∴抛物线的解析式为y＝(x－1)(x－3)，即y＝x2－4x＋3．
∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，
∴抛物线的顶点D的坐标为(2，－1)．
综上，所求抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3，顶点坐标为(2，－1)．
（2）如答图1，连接AD、BD，易知DA＝DB．
∵OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴∠MBA＝45°．
∵D(2，－1)，A(3，0)，
∴∠DBA＝45°．
∴∠DBM＝90°．
同理，∠DAM＝90°．
又∵AM⊥BC，
∴四边形ADBM为矩形．
又∵DA＝DB，
∴四边形ADBM为正方形．
（3）如答图2，过点P作PF⊥AB于点F，交BC于点E，令P(m，m2－4m＋3)，易知直线BC的解析式为y＝－x＋3，则E(m，－m＋3)，PE＝(－m＋3)－(m2－4m＋3)＝－m2＋3m．
∵S△PBC＝S△PBE＋S△CPE＝
PE•BF＋
PE•OF＝
PE•OB＝
×3×(－m2＋3m)
＝－
(m－
)2＋
，
∴当m＝
时，S△PBC有最大值为
，此时P点的坐标为(
，－
)．
（4）如答图3，设OQ＝t，则CQ＝3－t，AQ＋
QC＝
，
取CQ的中点G，以点Q为圆心，QG的长为半径作⊙Q，则当⊙Q过点A时，AQ＋
QC＝⊙Q的直径最小，
此时，
，解得t＝
－1，
于是AQ＋
QC的最小值为3－t＝3－(
－1)＝4－
．
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