2019-2020学年高中数学必修知识讲学
专题09不等关系与不等式
1．【宿州市十三所重点中学2017—2018学年度第二学期期中质量检测】完成一项装修工程，请木工共需付工资每人400元，请瓦工共需付工资每人500元，现有工人工资预算不超过20 000元，设木工
人，瓦工
人，则工人满足的关系式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
由题意，可得
，化简得，故正确答案为A.2．【湖北省四校2018-2019学年高一下学期期中】下列命题中，正确的是（ ）
A．若
，则
B．若，
，则
C．若 ，，则
D．若
，则
【答案】D
【解析】
对于A，取
，则
，但，故A错；
对于B，取
，则
，
但
，
，故B错；
对于C，取
，则，
但
，
，故C错；
对于D，因为
，故
即，故D正确；
综上，选D.3．【河北省石家庄市第二中学2019-2020学年高二上学期开学考试】若
且，则下列不等式成立的是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
选项A: 
，符合，但不等式不成立，故本选项是错误的；
选项B:当符合已知条件，但零没有倒数，故不成立 ，故本选项是错误的；
选项C:当
时，不成立，故本选项是错误的；
选项D:因为
，所以根据不等式的性质，由能推出，故本选项是正确的，因此本题选D.4．已知
，给出下列不等式：①；②
；③
.其中一定成立的为（ ）
A．①② B．①③
C．①②③ D．②③
【答案】A
【解析】
由
，可得（也可由
在第一象限单增得出），①正确；
∵，∴
，∴
，∴
，②正确；
采用赋值法，若
，
，则
，
，
，③错误
选项①②正确
故选：A5．【四川省三台中学2017-2018学年高二上学期开学考试】已知下列四个条件：①
；②
；③
；④，能推出成立的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
①中，因为，所以
，因此①能推出成立；
②中，因为，所以
，所以
，所以
，因此②能推出成立；
③中，因为，所以
，所以③不能推出成立；
④中，因为，所以，所以④能推出成立；
故选C.6．若
、
、
，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
对
，
，因为
大小无法确定，故不一定成立；
对
，当
时，才能成立，故也不一定成立；
对
，当时不成立，故也不一定成立；
对
，
，故一定成立.
故选：D.7．设
，且
，则
，，
，
四个数中最小的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为 ，且，所以
，
，
又由
，得
，
所以
，
所以在，，，四个数中，最小.
故选：B.8．若，则下列不等式中一定成立的是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
令a=2,b=1，满足，
选项A中的不等式即：
，不成立；
选项D中的不等式即：
，不成立；
令a=,b=
，满足，
选项B中的不等式即：
，不成立；
对于选项C，由于，故，由不等式的性质可得：，不等式成立.
综上可得：不等式中一定成立的是.
故选C.9．已知、、，那么下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若，，则
【答案】B
【解析】
A.若
,不成立，错误
B.因为
在分母位置，即
，两边同乘
，得到，正确
C.
,不成立，错误
D. 
，不成立，错误
故选B10．已知
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
设
，
，解得
，
，
，，
，
由不等式的性质可得
，即
，
因此，的取值范围是，故选D.11．已知实数
满足
，
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
因为
所以
，
，即
，所以
，
∴
，∴
即
，
故答案选A．12．【辽宁省辽河油田第二高级中学高二上学期数学单元测试】设直角三角形两直角边的长分别为和，斜边长为，斜边上的高为
，则
和
的大小关系是 ( )
A．
B．
C．
D．不能确定
【答案】A
【解析】
由三角形的面积计算公式可得
，即
由勾股定理可得
即
故选13．已知
，且
，那么下列不等式中，一定成立的是________（填序号）.①
；②
；③
；④
.
【答案】①②④
【解析】
因为，且，所以
，
.
对于①，因为，
，所以
，即一定成立；
对于②，因为
，所以
，所以一定成立；
对于③，当
时，
，故不一定成立；
对于④，因为，，，所以
，一定成立.
故一定成立的是①②④.
故填：①②④.14．若
，若
，
，则与的大小关系是______．
【答案】
【解析】
因为，
所以
所以15．设
，，给出下列四个结论：
①
；
②
；
③
；
④
.
正确的结论有______.（写出所有正确的序号）
【答案】①②③
【解析】
①
，，
，
，故正确；
②
，
，
，
，故正确；
③，
，
，故正确；
④
，，
，故错误.
故答案为①②③.16．已知
，则
的取值范围为_______.
【答案】
【解析】
因为，所以
，
所以
，
.
将不等式,同乘以
,
则
，即
.
故答案为:.17．【陕西省黄陵中学2016-2017学年高二下学期期末】若
，则, 
, 
, 
按由小到大的顺序排列为_______.
【答案】
【解析】
−
==
∵a>b>0，m>0，n>0，
∴<0
∴
−=
∵a>b>0，m>0，n>0，
∴<0
∴−<0
∴
−
=
∵a>b>0，n>0，
∴−<0
∴
综上可知，
故答案为：18．已知x，y为正实数，满足1≤lg(xy)≤2,3≤lg
≤4，求lg(x4y2)的取值范围．
【答案】[6,10]
【解析】
设a=lgx,b=lgy,则lg(xy)=a+b,
lg
=a-b,lg(x4y2)=4a+2b,
设4a+2b=m(a+b)+n(a-b),
∴
解得
∴lg(x4y2)=3lg(xy)+lg,
∵3≤3lg(xy)≤6,3≤lg≤4,∴6≤lg(x4y2)≤10.19．试比较下列各组式子的大小：
（1）
与
，其中
；
（2）
与
，其中
.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）由题意，可得
，
，
因为
，
所以.
（2）由
，
∵，∴
，
，
，
∴
，即.20．已知，
，试比较
与
的大小；
【答案】
（当且仅当
时取等号）
【解析】
方法一：由题意
，
因为，，所以
，
，
，
所以
，当且仅当时等号成立，
所以
（当且仅当时取等号）.
方法二：由
，当且仅当时等号成立，
所以（当且仅当时取等号）.21．下面的问题与著名的柯西不等式有关，请你比较
与
的大小，并猜测更一般的结论（不必证明）．
【答案】
猜测
【解析】
所以，
猜测22．建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好．若同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了还是变差了？
【答案】采光条件变好了
【解析】
设窗户面积为n，地板面积为m，则
≤
＜1.
设增加的窗户面积和地板面积均为t，
由＜1.得m＞n.
∴mt＞nt.
∴mt＋mn＞nt＋mn，即m(n＋t)＞n(m＋t)．
∴
＞，即采光条件变好了．
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