2019-2020学年高一数学知识讲学（必修5）
专题09不等关系与不等式
【知识导图】
【目标导航】
1.会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系；
2．掌握不等式的有关性质；
3．能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式证明.
【重难点精讲】
重点一、实数的大小
(1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.
(2)对于任意两个实数a和b，如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b是负数，那么a<b；如果a－b等于零，那么a＝b.
重点二、不等关系与不等式
我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，叫做不等式.
重点三、不等式的性质
(1)性质1：如果a>b，那么b<a；
如果b<a，那么a>b.
即a>b⇔b<a.
(2)性质2：如果a>b，b>c，那么a>c.
即a>b，b>c⇒a>c.
(3)性质3：如果a>b，那么a＋c>b＋c.
(4)性质4：①如果a>b，c>0那么ac>bc.
②如果a>b，c<0，那么ac<bc.
(5)性质5：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
(6)性质6：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
(7)性质7：如果a>b>0，那么an>bn，(n∈N，n≥2)．
(8)性质8：如果a>b>0，那么a(n)>b(n)，(n∈N，n≥2)．
【典题精练】
考点1、用不等式表示不等关系
例1．盐水溶液的浓度公式为
，向盐水中再加入
克盐，那么盐水将变得更咸，下面哪一个式子可以说明这一事实（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
向盐水溶液中加入克盐，盐水的浓度变为
，此时浓度变大，盐水更咸，即
，
故选：A.
考点点睛：用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤：
①审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量．找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．
②列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示．
考点2、比较数或式子的大小
例2．设0＜x＜1，a＞0且a≠1，试比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小．
【答案】|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|
【解析】
解法一：作差法
|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|=|
|－|
|=
(|lg(1－x)|－|lg(1＋x)|)
∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1＜1＋x
∴上式=－[(lg(1－x)＋lg(1＋x)]=－·lg(1－x2)
由0＜x＜1，得，lg(1－x2)＜0，∴－·lg(1－x2)＞0，
∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|
解法二：作商法
=|log(1－x)(1＋x)|
∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1＋x，∴|log(1－x)(1＋x)|=－log(1－x)(1＋x)=log(1－x)
由0＜x＜1，∴1＋x＞1，0＜1－x2＜1
∴0＜(1－x)(1＋x)＜1，∴＞1－x＞0
∴0＜log(1－x)＜log(1－x)(1－x)=1
∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|
解法三：平方后比较大小
∵loga2(1－x)－loga2(1＋x)=[loga(1－x)＋loga(1＋x)][loga(1－x)－loga(1＋x)]
=loga(1－x2)·loga
=
·lg(1－x2)·lg
∵0＜x＜1，∴0＜1－x2＜1，0＜＜1
∴lg(1－x2)＜0，lg＜0
∴loga2(1－x)＞loga2(1＋x)，即|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|
解法四：分类讨论去掉绝对值
当a＞1时，|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|=－loga(1－x)－loga(1＋x)=－loga(1－x2)
∵0＜1－x＜1＜1＋x，∴0＜1－x2＜1
∴loga(1－x2)＜0，∴－loga(1－x2)＞0
当0＜a＜1时，由0＜x＜1，则有loga(1－x)＞0，loga(1＋x)＜0
∴|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|=|loga(1－x)＋loga(1＋x)|=loga(1－x2)＞0
∴当a＞0且a≠1时，总有|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|
考点点睛：比较两个实数(或代数式)大小的步骤
(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；
(2)变形：对差进行变形(因式分解、通分、配方等)；
(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；
(4)作出结论．
这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程：作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提．
考点3、不等式性质的应用
例3．若
，则下列命题正确的是
A．
和
均不成立 B．
和均不成立
C．和
均不成立 D．和
均不成立
【答案】B
【解析】
因为，所以
，，所以
，A不正确；
因为
，所以
，所以
，又
，
，所以
，B正确；
因为，
，
，所以
，所以
,C不正确；
因为
与
的大小关系不确定，故
与
的大小关系不确定，D不正确．
综上，可知B选项正确，故选B．
考点点睛：不等式性质的应用主要有：判断不等式的真假，证明不等式，求参数的取值范围等．
1．判断不等式的真假．
(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件．
(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
(3)若要判断某结论正确，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，若要说明某结论错误，只需举一反例．
2．证明不等式
(1)要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推证时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
3．求取值范围
(1)建立待求范围的代数式与已知范围的代数式的关系，利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围．
(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．
4．掌握各性质的条件和结论．在各性质中，乘法性质的应用最易出错，即在不等式的两边同时乘(除)以一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定．
考点4、不等式的证明
例4．已知下列三个不等式：
①
；
②
；
③
，
以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成几个正确命题？
【答案】可组成3个正确命题．
【解析】
（1）对②变形得
，
由
得②成立，即①③
②．
（2）若
，则
，即①②③．
（3）若
，则，即②③①．
综上所述，可组成3个正确命题．
考点点睛：证明不等式的常用方法有：
(1)作差法．
(2)作商法．比较a与b的大小时，先判断a与b的符号，利用a>b>0⇒b(a)>1,0>a>b⇒b(a)<1.
根据待求不等式的形式，多项式形式适用于作差法，比值形式、指数形式适用于作商法．
考点5、利用不等式的性质求取值范围
例5．【安徽省六安市第一中学2017-2018学年高一下学期期末】已知
，
满足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
设α+3β=λ（α+β）+v（α+2β）
=（λ+v）α+（λ+2v）β．
比较α、β的系数，得
，
从而解出λ=﹣1，v=2．
分别由①、②得﹣1≤﹣α﹣β≤1，2≤2α+4β≤6，
两式相加，得1≤α+3β≤7．
故α+3β的取值范围是[1，7]．
故选：A
考点点睛：求取值范围的问题要注意解题方法是否符合不等式的性质，是否使范围扩大或缩小．
考点6、不等式的实际应用
例6．某人带着500元去买单价分别为60元、70元的计算机软件和盒装磁带，根据需要，软件至少买3份，磁带至少买2盒，则不同的选购方式共有（ ）
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
【答案】C
【解析】
设买软件的数量为
，买磁带的数量为
则
，
所以有
，得到
，即
所以可取的值为
，
当
时，得
，所以可取
，
当
时，得
，所以可取
，
当
时，得
，所以可取
，
当
时，得
，所以可取，
故符合要求的情况共有7种，故选
项.
考点点睛：“最优方案”问题，首先要设出未知量，搞清楚比较的对象，然后把这个未知量用其他的已知量表示出来，通过比较即可得出结论．
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