2019-2020学年高一数学知识讲学（必修5）
专题01正弦定理
【知识导图】
【目标导航】
1.会推导正弦定理；
2．会用正弦定理解一些简单的三角形度量问题；
3．能用正弦定理判断三角形的形状.
【重难点精讲】
重点一、初中的三角形知识
(1)任意三角形的内角和为180°；三条边满足：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，并且大边对大角，小边对小角．
(2)直角三角形的三边长a、b、c(斜边)满足勾股定理，即a2＋b2＝c2．
重点二、正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sinA(a)＝sinB(b)＝sinC(c)．
重点三、由正弦定理导出的结论
(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC．
(2)由等比性质和圆的性质可知，sinA(a)＝sinB(b)＝sinC(c)＝sinA＋sinB＋sinC(a＋b＋c)＝2R.其中，R为△ABC外接圆的半径．
(3)A<B⇔a<b⇔sinA
重点四、解三角形
(1)一般地，把三角形三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
(2)用正弦定理可以解决怎样的解三角形问题？
①已知任意两角与一边，求其他两边和一角．
②已知任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)．
(3)两角和一边分别对应相等的两个三角形全等吗？两边和其中一边的对角分别对应相等的两个三角形全等吗？下图中，
AC＝AD；△ABC与△ABD的边角有何关系？你发现了什么？
(4)已知两边及其中一边对角，怎样判断三角形解的个数？①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数．
②在△ABC中，已知a、b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形的个数，解的个数见下表：
|
|
A为钝角 |
A为直角 |
A为锐角 |
|
|
a>b |
一解 |
一解 |
一解 |
|
|
a＝b |
无解 |
无解 |
一解 |
|
|
a<b |
无解 |
无解 |
a>bsinA |
两解 |
|
a＝bsinA |
一解 |
|||
|
a<bsinA |
无解 |
|||
已知a、b、A，△ABC解的情况如下图示．
(ⅰ)A为钝角或直角时解的情况如下：
(ⅱ)A为锐角时，解的情况如下：
【典题精练】
考点1、已知两角和一边解三角形
例1．在
中，
，
，
，求边长
和的面积.
【答案】
;
【解析】
因为在中，，，，
所以
；
由正弦定理可得：
，所以
，
所以
.考点点睛：已知任意两角和一边，解三角形的步骤：
①求角：根据三角形内角和定理求出第三个角；
②求边：根据正弦定理，求另外的两边．
已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解．
考点2、已知两边和其中一边的对角解三角形
例2．在中，
，
，分别根据下列条件，求
.
（1）
；（2）
；（3）
；（4）
.
【答案】（1）无解；（2）
；（3）
或
；（4）
.
【解析】
在中，，，
（1）因为，由正弦定理得，即
，
解得
，因此无解；
（2）因为，由正弦定理得，即
，
解得
，因此
；
（3）因为，由正弦定理得，即
，
解得
，因此
或；
（4）因为，由正弦定理得，即
，
解得
，因此
.
考点点睛：已知三角形两边及一边对角解三角形时利用正弦定理求解，但要注意判定解的情况．基本步骤是：(1)求正弦：根据正弦定理求另外一边所对角的正弦值．判断解的情况．(2)求角：先根据正弦值求角，再根据内角和定理求第三角．(3)求边：根据正弦定理求第三条边的长度．
考点3、运用正弦定理求三角形的面积
例3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，
．
（1）求A，C的大小．
（2）当
时，
的最大值为a，求的面积．
【答案】（1），；（2）
.
【解析】
（1）由条件知
，
得
，则，
（2）
．
，
．
当
时，
，
取得最大值
，得
，
．
；
当
时，
，取得最大值
，
，不符合，舍去；
当
时，
，取得最大值
，舍去．
综上所述，的面积为考点点睛：常用的三角形的面积公式有：(1)S△ABC＝2(1)×底×高；(2)S△ABC＝2(1)absinC＝2(1)acsinB＝2(1)bcsinA；要熟练掌握．
考点4、利用正弦定理判断三角形形状的方法
例4．在
中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若
，试判断的形状.
【答案】为等腰三角形或直角三角形.
【解析】
由正弦定理及
得
，
所以
因为
，
所以
或
所以
或
，
所以为等腰三角形或直角三角形．考点点睛：利用正弦定理判断三角形形状的方法：
(1)化边为角．将题目中的所有条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．
(2)化角为边．根据题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再利用代数恒等变换得到边的关系(如a＝b，a2＋b2＝c2)，进而确定三角形的形状．
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