初 三 数 学 试 卷 2019.12
（测试时间：100 分钟，满分：150 分）
1. 本试卷含三个大题，共 25 题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2. 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
1. 把抛物线 y = x 2 向左平移 1 个单位后得到的抛物线是
A． y =（x + 1）2 ； B． y =（x -1）2 ； C． y = x2 + 1； D． y = x2 -1.
2. 
在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=2， cos A = 3 ，那么AB的长是
4
A． 5 ； B． 8 ； C． 10 ； D． 2 7 ．
2 3 3 3
r r r r r
3. 已知 a 、b 和 c 都是非零向量，下列结论中不能判定 a // b 的是
r ur r r
r 1 r r r r r r r
A． a // c ，b // c ； B． a = 2 c ， b = 2c ； C． a = 2b ； D． a = b .
4. 如图，在 6×6 的正方形网格中，联结小正方形中两个顶点 A、B，如果线段 AB
与网格线的其中两个交点为 M、N，那么 AM∶MN∶NB 的值是
A．3∶5∶4； B．3∶6∶5；
C．1∶3∶2； D．1∶4∶2.
5. 广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上 水珠的高度 y（米）关于水珠和喷头的水平距离 x（米）的函数解析式是
y = - 3 x2 + 6x（0 £ x £ 4），那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是
2
第 4 题图
A．1 米； B．2 米； C．5 米； D．6 米．
6. 如图，在正方形 ABCD 中，△ABP 是等边三角形，AP、BP 的延长线分别交边 CD 于点 E、F，联结 AC、
CP，AC 与 BF 相交于点 H，下列结论中错误的是 A D
A．AE＝2DE； B．△CFP∽△APH；
F
C．△CFP∽△APC； D．CP2＝PH•PB． E
B C
7. 
如果cota=
3 ，那么锐角a= ▲ 度．
第 6 题图
8. 如果抛物线 y = -x2 + 3x - 1+ m 经过原点，那么 m = ▲ ．
9. 二次函数 y = 2x2 + 5x - 1 的图像与 y 轴的交点坐标为 ▲ ．
10. 已知点 A（x ，y ）、 B（x ，y ）为抛物线 y =（x - 2）2 上的两点，如果 x < x
< 2 ，那么 ▲ ．
1 1 2 2 1 2
（填“>”、“<”或“=”）
11. 在比例尺为 1：8 000 000 地图上测得甲、乙两地间的图上距离为 4 厘米，那么甲、乙两地间的实际距
离为 ▲ 千米．
12. 已知点 P 是线段 AB 上的一点，且 BP2 = AP × AB ，如果 AB=10cm，那么 BP= ▲ cm．
13. 
已知点 G 是△ABC 的重心，过点 G 作 MN∥BC 分别交边 AB、AC 于点 M、N，那么 SDAMN
SDABC
= ▲ ．
14. 如图，某小区门口的栏杆从水平位置 AB 绕固定点 O 旋转到位置 DC，已知栏杆 AB 的长为 3.5 米，OA
的长为 3 米，点 C 到 AB 的距离为 0.3 米，支柱 OE 的高为 0.6 米，那么栏杆端点 D 离地面的距离为▲ 米． 15．如图，某商店营业大厅自动扶梯 AB 的坡角为 31°，AB 的长为 12 米，那么大厅两层之间 BC 的高度
为 ▲ 米．（结果保留一位小数）【参考数据：sin31°＝0.515，cos31°＝0.867，tan31°＝0.601】
16. 如图，在四边形 ABCD 中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2， tan A = 4 ，那么 CD= ▲ ．
3
D A
A O B
C
E
第 14 题图
A C
第 15 题图
D
B
第 16 题图
17. 定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全 等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．在四边形 ABCD 中，对角线 BD 是它的相似对角线，∠ABC=70°，BD 平分∠ABC，那么∠ADC= ▲ 度．
18. 在 Rt△ABC 中，∠A=90°，AC=4，AB=a，将△ABC 沿着斜边 BC 翻折，点 A 落在点 A1 处，点 D、E 分别为边 AC、BC 的中点，联结 DE 并延长交 A1B 所在直线于点 F，联结 A1E，如果△A1EF 为直角三角形时，那么 a= ▲ ．
19．（本题满分 10 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 4 分）
抛物线 y＝ax2+bx+c 中，函数值 y 与自变量 x 之间的部分对应关系如下表：
|
x |
… |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
… |
|
y |
… |
-4 |
-1 |
0 |
-1 |
-4 |
… |
（1） 求该抛物线的表达式；
（2） 如果将该抛物线平移，使它的顶点移到点 M（2，4）的位置，那么其平移的方法是 ▲ .
如图，已知在梯形 ABCD 中，AB//CD，AB=12，CD=7，点 E 在边 AD 上， DE = 2 ，过点 E 作 EF//AB
交边 BC 于点 F.
（1） 求线段 EF 的长；
AE 3
D C
uuur r
uuur r
r r uuur E F
（2） 设 AB = a ， AD = b ，联结 AF，请用向量 a 、b 表示向量 AF ．
A B
第 20 题图
如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90º， sin B = 3 ，延长边 BA 至点 D，使 AD=AC，联结 CD.
5
（1） 求∠D 的正切值；
（2） 
取边 AC 的中点 E，联结 BE 并延长交边 CD 于点 F，求 CF 的值．
FD
22．（本题满分 10 分）
A 第 21 题图 B
某校九年级数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量教学楼的高度，他们先在点 D 处用测角仪测得楼顶 M 的仰角为30° ，再沿 DF 方向前行 40 米到达点 E 处，在点 E
处测得楼顶 M 的仰角为45°，已知测角仪的高 AD 为 1.5 米．请根据他们的测量数据求此楼 MF 的高．（结
M
果精确到 0.1m，参考数据： » 1.414 ， » 1.732 ， »
D E F
第 22 题图
如图，已知在△ABC 中， AD 是△ABC 的中线， ÐDAC = ÐB ，点 E 在边 AD 上， CE = CD .
（1） 
求证： AC = BD ； A
AB AD
（2） 求证： AC 2 = 2 AE × AD .
第 3 页 共 8 页
B
D C
第 23 题图
已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = mx2 - 2mx + 4 ( m ¹ 0 ) 与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），且 AB=6．
（1） 求这条抛物线的对称轴及表达式；
（2） 在 y 轴上取点 E（0，2），点 F 为第一象限内抛物线上一点，联结 BF、EF，如果 S四边形OEFB =10 ，求点 F 的坐标；
（3） 在第（2）小题的条件下，点 F 在抛物线对称轴右侧，点 P 在 x 轴上且在点 B 左侧，如果直线 PF 与
y 轴的夹角等于∠EBF，求点 P 的坐标.
第 24 题图
已知在菱形 ABCD 中，AB=4， ÐBAD = 120° ，点 P 是直线 AB 上任意一点，联结 PC，在∠PCD 内部作射线 CQ 与对角线 BD 交于点 Q（与 B、D 不重合），且∠PCQ= 30°．
（1） 如图，当点 P 在边 AB 上时，如果 BP = 3 ，求线段 PC 的长；
（2） 当点 P 在射线 BA 上时，设 BP=x，CQ=y，求 y 关于 x 的函数解析式及定义域；
（3） 联结 PQ，直线 PQ 与直线 BC 交于点 E，如果△QCE 与△BCP 相似，求线段 BP 的长．
A D A D
B C B C
第 25 题图 备用图
2019.12
1．A； 2．B； 3．D； 4．C； 5．B； 6．C
7．30； 8．1； 9．（0，-1）； 10．>； 11．320； 12． 5
13． 4 ； 14．2.4； 15．6.2； 16． 6 ； 17．145； 18． 4
- 5 ；
、 4
19．解：（1）∵二次函数 y = ax 2 + bx + c 图像过点（-1，0）、 (0，-1) 和(1，- 4) ，
ìa - b + c = 0，
∴ ïc = -1， （3 分）
ïa + b + c = -4.
ìa = -1，
∴ ïb = -2，∴二次函数解析式为 y = -x2 - 2x -1 （3 分）
ïc = -1.
（2）平移的方法是先向右平移 3 个单位再向上平移 4 个单位
或先向上平移 4 个单位再向右平移 3 个单位 （4 分）
20. 解：（1）过 D 作 DH//BC 交 AB 于 H，交 EF 于 G.
∵DH//BC，AB//DC，∴四边形 DHBC 是平行四边形 （1 分）
∴BH=CD，∵CD=7，∴BH=7 （1 分）
同理 GF=7 （1 分）
又 AB=12，∴AH=5 （1 分）
∵EF//AB， ∴ EG = DE （1 分）
AH DA
∵ DE = 2 ，∴ DE = 2 .
AE 3 DA 5
∴ EG = 2 ， EG = 2 ，∴ EF = 9 （1 分）
（2） 3 ®+ 3 ® （4 分）
21. 解：（1）过 C 作 CH⊥AB 于 H．
在 Rt△ABC 中，∵ sin B= 3 ，∴ AC = 3 （1 分）
5 AB 5
∴设 AC=3k，AB=5k，则 BC=4k.
∵ S = 1 AC × BC = 1 AB × CH ，∴ CH = AC × BC = 12 k . （1 分）
DABC 2 2
AB 5
∴ AH = 9 k
.················································································· （1 分）
∵AD=AC，∴DH= 3k + 9 k = 24 k . （1 分）
在 Rt△CDH 中， tan ÐCDH = CH
（2）过点 A 作 AH//CD 交 BE 于点 H.
12 k
= 5
24 k
= 1 （1 分）
2
∵AH//CD，∴ AH = AE （1 分）
∵点 E 为边 AC 的中点，∴ AE = CE .∴ AH = CF （1 分）
∵AH//CD，∴ AH = AB （1 分）
∵AB=5k，BD=3k，∴ AB = 5 .∴ AH = 5 （1 分）
BD 8 DF 8
∴ CF = 5 （1 分）
DF 8
22．解：由题意可知∠MCA=90°，∠MAC=30°，∠MBC=45°，AB=40，CF=1.5.
设 MC=x 米，则在 Rt△MBC 中，由 tan ÐMBC = MC 得 BC= x （2 分）
又 Rt△ACM 中，由cot ÐMAC = AC 得 AC= 3x . （2 分）
MC
∴ 3x - x = 40 . （2 分）
∴x= 20
+ 20 . （1 分）
∴MF=MC+CF= 20 3+21.5 » 56.1米 （2 分）
答：此楼 MF 的高度是 56.1 米 （1 分）
23．证明：（1）∵CD=CE，∴∠CED=∠CDA. （1 分）
∴∠AEC=∠BDA. （1 分）
又∵∠DAC=∠B，∴△ACE∽△BAD （1 分）
∴ AC =
CE （1 分）
AB AD
∵ AD 是△ABC 的中线，∴ BD = CD （1 分）
∵CD=CE，∴ BD = CE .∴ AC = BD （1 分）
（2）∵∠DAC=∠B，又∠ACD=∠BCA，∴△ACD∽△BCA （1 分）
∴ AC =
CD ，∴ AC2 = CD ×CB （1 分）
BC AC
∵ AD 是△ABC 的中线，∴ BC =
2CD ，∴ AC2 =
2CD2 （1 分）
∵△ACE∽△BAD，∴ CE = AE （1 分）
又∵CD=CE=BD，∴ CD2 = AD ×AE （1 分）
∴ AC2 = 2 AD ×AE （1 分）
24．解：（1）抛物线对称轴 x = - - 2m = 1 （1 分）
2m
∵AB=6，∴抛物线与 x 轴的交点 A 为(- 2，0) ，B (4，0) （1 分）
∴ 4m + 4m + 4 =
0 （或16m - 8m + 4 =
0 ） （1 分）
∴ m = - 1 .∴抛物线的表达式为 y = - 1 x2 +
x + 4 （1 分）
（2） 设点 F
(x，-
1 x2 +
2
2
x + 4) （1 分）
∵点 E（0，- 2），点 B（4，0），∴OE= 2，OB= 4.
∵ S四边形OEFB
=SDOEF
+SDOBF
=10 ， ∴ 1 ´ 2 ´ x + 1 ´ 4 ´ (- 1 x 2 + x + 4) = 10 （1 分）
2 2 2
∴ x = 1或2 ，∴点 F（1 9
、（2，4） （2 分）
（3） ∵ S
，）
=S +S
=10 ，又 S
= 1 OB × OE = 1 ´ 4´ 2 = 4 ，∴ S
= 6 .
四边形OEFB
DOBE D BEF
DOBE 2 2
D BEF
过 F 作 FH ^ BE ，垂足为点 H.
∵ SD BEF
= 1 BE × FH = 6 ，又 BE =
2
= 2 ，∴ FH = 6 5 （1 分）
5
又 BF =
= 2 ，∴ BH = 8 5 .
5
6 5
∴在 RtDBFH 中，tan∠EBF= FH = 5
= 3 （1 分）
BH 8 5 4
5
设直线 PF 与 y 轴的交点为 M，则∠PMO=∠EBF，过 F 作 FG ^ x轴，垂足为点 G.
∵FG//y 轴，∴∠PMO=∠PFG. ∴tan∠PFG=tan∠EBF （1 分）
∴tan∠PFG= PG = 3 .
FG 4
又 FG=4，∴PG=3.
∴点 P 的坐标（-1，0） （1 分）
25．解：（1）过 P 作 PH ^ BC ，垂足为点 H.
在 RtDBPH 中，∵BP=3，∠ABC=60°，∴ BH = 3，PH = 3 3 （2 分）
2 2
在 RtDPCH 中， CH = 4 - 3 = 5 ，PC =
（2）过 P 作 PH ^ BC ，垂足为点 H.
= （1 分）
在 RtDBPH 中， BH = 1 x，PH = 3 x .
2 2
∴在 RtDPCH 中， CH = 4 - 1 x，PC =
设 PC 与对角线 BD 交于点 G.
∵AB//CD，∴ BP = PG = BG = x .
= （1 分）
∴ BG =
x + 4
，CG =
x + 4
.····················································· （1 分）
∵∠ABD=∠PCQ，又∠PGC=∠QGC，∴△PBG∽△QCG.
∴ PB = BG ，∴ x =
4 3x
x + 4
.····················································· （1 分）
y 4 x2 - 4x + 16
x + 4
∴ y = （ 0 £ x < 8 ） （2 分）
（3）i）当点 P 在射线 BA 上，点 E 在边 BC 的延长线时.
∵BD 是菱形 ABCD 的对角线，∴∠PBQ=∠QBC= 1 ÐABC = 30° .
∵△PBG∽△QCG，∴ PG = BG ，又∠PGQ=∠BGC，∴△PGQ∽△BGC.
∴∠QPG=∠QBC = 30° ， 又∠PBQ=∠PCQ = 30° ，∴ ÐCQE = ÐQPC + ÐQCP = 60° .
∴ ÐCQE = ÐPBC = 60° （1 分）
∵ ÐPCB > ÐE ，∴ ÐPCB = ÐQCE .
又ÐPCB + ÐQCE + ÐPCQ = 180° ，∠PCQ = 30° ，∴ ÐPCB = ÐQCE = 75° .
过 C 作CN ^ BP ，垂足为点 N，∴在 RtDCBN 中， BN = 2，CN = 2 .
∴在 RtDPCN 中， PN = CN = 2 3 .
∴ BP = 2 + 2 （2 分）
ii）当点 P 在边 AB 的延长线上，点 E 在边 BC 上时，同理可得 BP = 2 - 2 （3 分）
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