重庆市江南新区联盟2018届九年级上学期期末检测数学试题
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）
下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】A
【解析】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A正确；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误．
故选：A．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
下列说法正确的是
A. 掷一枚硬币，正面一定朝上
B. 某种彩票中奖概率为
，是指买100张彩票一定有1张中奖
C. 旅客上飞机前的安检应采用抽样调查
D. 方差越大，数据的波动越大
【答案】D
【解析】解：A、掷一枚硬币，正面不一定朝上，故错误；
B、某种彩票中奖概率为
，但买100张彩票不一定有1张中奖，故错误；
C、旅客上飞机前的安检应采用全面调查，故错误；
D、方差越大，数据的波动越大，正确，
故选：D．
利用概率的意义、全面调查与抽样调查、方差及随机事件分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了概率的意义、全面调查与抽样调查、方差及随机事件的知识，属于基础题，比较简单．
如图，一个正六边形转盘被分成6个全等的正三角形，任意旋转这个转盘1次，当旋转停止时，指针指向阴影区域的概率是
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】B
【解析】解：如图：转动转盘被均匀分成6部分，阴影部分占2份，转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率是
；
故选：B．
确定阴影部分的面积在整个转盘中占的比例，根据这个比例即可求出转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率．
本题考查了几何概率用到的知识点为：概率
相应的面积与总面积之比．
将二次函数
的图象向下平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】A
【解析】解：将二次函数的图象向下平移1个单位，
则平移后的二次函数的解析式为：
．
故选：A．
直接利用二次函数平移的性质，上加下减进而得出答案．
此题主要考查了二次函数的性质，正确记忆平移规律是解题关键．
如图，在
中，弦
半径OB，
，则
的度数为
A. 
B. 
C. 
D. 
|
|
【答案】A
【解析】解：
，
，
，
，
，
．
故选：A．
利用平行线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理求出
，
即可解决问题；
本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长为方程
的一个根，则菱形ABCD的周长为
A. 8 B. 20 C. 8或20 D. 10
【答案】B
【解析】解：
解方程得：
或5
对角线长为6，
，不能构成三角形；
菱形的边长为5．
菱形ABCD的周长为
．
故选：B．
边AB的长是方程的一个根，解方程求得y的值，根据菱形ABCD的一条对角线长为6，根据三角形的三边关系可得出菱形的边长，即可求得菱形ABCD的周长．
本题考查菱形的性质，由于菱形的对角线和两边组成了一个三角形，根据三角形三边的关系来判断出菱形的边长是多少，然后根据题目中的要求进行解答即可．
如图，观察二次函数
的图象，下列结论：
，
，
，
．
其中正确的是
A. 
B. 
C. 
D. 
|
|
【答案】C
【解析】解：由图象可知当
时，
，
，
故
不正确；
由图象可知
，
，
又开口向上，
，
，
，
故
正确；
由图象可知二次函数与x轴有两个交点，
方程
有两个不相等的实数根，
，即
，
故
正确；
由图象可知抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴的下方，
，
，
，
故
不正确；
综上可知正确的为
，
故选：C．
令代入可判断；由对称轴
的范围可判断；由图象与x轴有两个交点可判断；由开口方向及与x轴的交点可分别得出a、c的符号，可判断．
本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴、与x轴的交点等知识是解题的关键．
华润万家超市某服装专柜在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌童装平均每天可售出20件为了迎接“六一”，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利经调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，要想平均每天销售这种童装盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠，设降价x元，根据题意列方程得
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】A
【解析】解：设每件童装应降价x元，
由题意，得
，
即：
，
故选：A．
设每件童装应降价x元，根据题意列出方程，即每件童装的利润
销售量总盈利，从而列出方程．
考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是了解销售量、销售利润之间的关系．
义乌国际小商品博览会某志愿小组有五名翻译，其中一名只会翻译阿拉伯语，三名只会翻译英语，还有一名两种语言都会翻译若从中随机挑选两名组成一组，则该组能够翻译上述两种语言的概率是
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】B
【解析】
解：将一名只会翻译阿拉伯语用A表示，三名只会翻译英语都用B表示，一名两种语言都会翻译用C表示，
画树状图得：
共有20种等可能的结果，该组能够翻译上述两种语言的有14种情况，
该组能够翻译上述两种语言的概率为：
．
故选：B．
首先将一名只会翻译阿拉伯语用A表示，三名只会翻译英语都用B表示，一名两种语言都会翻译用C表示，即可画树状图，由树状图即可求得所有等可能的结果与能够翻译上述两种语言的情况，利用概率公式即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件，注意概率所求情况数与总情况数之比．
如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，当蚂蚁运动的时间为t时，蚂蚁与O点的距离为s，则s关于t的函数图象大致是
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】B
【解析】解：一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行，在开始时经过半径OA这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间t的增大而增大；
到弧AB这一段，蚂蚁到O点的距离S不变，图象是与x轴平行的线段；走另一条半径OB时，S随t的增大而减小；
故选：B．
根据蚂蚁在
上运动时，随着时间的变化，距离不发生变化，得出图象是与x轴平行的线段，即可得出结论．
本题主要考查动点问题的函数图象；根据随着时间的变化，到弧AB这一段，蚂蚁到O点的距离S不变，得到图象的特点是解决本题的关键．
如图
是一个水平摆放的小正方体木块，图
，
是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第六个叠放的图形中，小正方体木块总数应是
|
A. 25 B. 66 C. 91 D. 120
【答案】B
【解析】解：根据题意可得知：
图中有
个小正方体；
图中有
个小正方体；
图中有
个小正方体；
以此类推第六个叠放的图形中，小正方体木块总数应是
个．
故选：B．
本题可用逐条分析的方法，从最高的那条开始计数根据所给图形可知，从上到下逐层条是添加四个小正方体，通过计算得出结果．
此题考查了学生由特殊到一般的归纳能力注意此题中第六个叠放的图形中，小正方体木块总数应是个．
如图，O是正
内一点，
，
，
，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转
得到线段
，下列结论：
可以由
绕点B逆时针旋转得到；
点O与
的距离为4；
；
；
其中正确的结论是
A. 
B. 
C. 
D.
【答案】A
【解析】解：如图，
由题意可知，
，
，
又
，
，
≌，
又
，
可以由绕点B逆时针旋转得到，
故结论正确；
如图，连接
，
，且
，
是等边三角形，
．
故结论正确；
≌，
．
在
中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，
是直角三角形，
，
，
故结论正确；
，
故结论错误；
故选：A．
证明
≌，又，所以可以由绕点B逆时针旋转得到，故结论正确；
由
是等边三角形，可知结论正确；
在中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故是直角三角形；进而求得
，故结论正确；
，故结论错误．
本题考查了旋转变换中等边三角形，直角三角形的性质利用勾股定理的逆定理，判定勾股数3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点．
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
抛物线
顶点坐标是______；对称轴是______．
【答案】
【解析】解：由题意可知：
顶点坐标为：，对称轴为，
故答案为：，
将抛物线配方后即可求出顶点坐标，以及对称轴．
本题考查二次函数的性质，解题的关键是将一般是配方为顶点式，本题属于基础题型．
一个扇形的半径为3cm，面积为
，则此扇形的圆心角为______度
【答案】40
【解析】解：设扇形的圆心角是
，
根据题意可知：
，
解得
，
故答案为40．
设扇形的圆心角是，根据扇形的面积公式即可得到一个关于n的方程，解方程即可求解．
本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式
是解题的关键，此题难度不大．
用符号
定义一种新运算：
，则方程
的解是______．
【答案】
，
【解析】解：根据题意可得方程
，
则
或
，
解得：，，
故答案为：，．
根据新定义列出关于x的方程，再进一步求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
若
是关于x的一元二次方程
的一个根，则代数式
的值为______．
【答案】2011
【解析】解：
是关于x的一元二次方程的一个根，
，
，
．
故答案为：2011．
把代入方程即可求得
的值，然后将其整体代入所求的代数式并求值即可．
本题考查了一元二次方程的解解题时，逆用一元二次方程解的定义易得出所求式子的值，在解题时要重视解题思路的逆向分析．
从
，0，1，2，3这五个数中，随机抽取一个数记为m，则使关于x的不等式组
有解，并且使函数
与x轴有交点的概率为______．
【答案】
【解析】解：
，解得；
，
，解得：
，
使关于x的不等式组有解，则
，
解得：
，
使函数与x轴有交点，
，
解得：
，
的取值范围是：
，
从，0，1，2，3这五个数中，随机抽取一个数记为m，符合题意的有1，2，
故使关于x的不等式组有解，并且使函数与x轴有交点的概率为．
故答案为：．
首先解不等式以及利用二次函数与x轴交点个数和
的关系分别得出m的取值范围，进而利用概率公式求出即可．
此题主要考查了不等式组的解法以及二次函数与x轴交点和概率公式等知识，正确求出m的取值范围是解题关键．
如图，在四边形ABCD中，，
，
于点E，且四边形ABCD的面积为12，则BE的长为______．
|
|
【答案】
【解析】解：过点B作
交DC的延长线交于点F，如右图所示，
，
，
，
，
，
，
，
≌
，
，
，
即
，
，
故答案为．
过点B作交DC的延长线交于点F，证明
≌推出
，，可得
，由此即可解决问题；
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
三、计算题（本大题共2小题，共20.0分）
先化简，再求值：
，其中a是方程
的根．
【答案】解：原式
，
是方程的根，
，即
，
则原式
．
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由一元二次方程的解的概念得出，代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则及一元二次方程的解的概念．
某校九年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“汉字听写”大赛预赛各参赛选手的成绩如图：
九班：88，91，92，93，93，93，94，98，98，100
九班：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99
通过整理，得到数据分析表如下：
|
班级 |
最高分 |
平均分 |
中位数 |
众数 |
方差 |
|
九 |
100 |
m |
93 |
93 |
12 |
|
九 |
99 |
95 |
n |
93 |
|
直接写出表中m、n的值；
依据数据分析表，有人说：“最高分在班，班的成绩比班好”，但也有人说班的成绩要好，请给出两条支持九班成绩好的理由；
若从两班的参赛选手中选四名同学参加决赛，其中两个班的第一名直接进入决赛，另外两个名额在四个“98分”的学生中任选二个，试求另外两个决赛名额落在同一个班的概率．
【答案】解：
；
把九班成绩排列为：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99，
则中位数
；
九班平均分高于九班；九班的成绩比九班稳定；九班的成绩集中在中上游，故支持九班成绩好任意选两个即可；
用
，
表示九班两名98分的同学，
，
表示九班两名98分的同学，
画树状图，如图所示：
所有等可能的情况有12种，其中另外两个决赛名额落在同一个班的情况有4种，
则
另外两个决赛名额落在同一个班
．
【解析】求出九班的平均分确定出m的值，求出九班的中位数确定出n的值即可；
分别从平均分，方差，以及中位数方面考虑，写出支持九班成绩好的原因；
画树状图得出所有等可能的情况数，找出另外两个决赛名额落在同一个班的情况数，即可求出所求的概率．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
四、解答题（本大题共6小题，共58.0分）
已知：关于x的方程
不解方程，判别方程根的情况；
若方程有一个根为3，求m的值．
【答案】解：由题意得，
，
，
，
，
方程有两个不相等的实数根；
有一个根是3，
，
解得，
或
．
【解析】找出方程a，b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断；
将
代入已知方程中，列出关于系数m的新方程，通过解新方程即可求得m的值．
此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根也考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
如图，三个顶点的坐标分别为
，
，
．
请画出关于x轴对称的
，并写出点的坐标；
请画出绕点B逆时针旋转
后的
；
求出中C点旋转到点所经过的路径长结果保留根号和
．
|
【答案】解：根据关于x轴对称点的坐标特点可知：
，
，
，
如图下图：连接、、
即可得到．
如图：
由两点间的距离公式可知：
，
点C旋转到点的路径长
．
【解析】利用关于x轴对称点的横坐标相等，纵坐标化为相反数可先找出点、、的坐标，然后画出图形即可；
利用旋转的性质可确定出点
、的坐标；
利用弧长公式进行计算即可．
本题主要考查的是图形的对称、图形的旋转以及扇形的弧长公式，掌握相关性质是解题的关键．
在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元．
求每张门票的原定票价；
根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率．
【答案】解：设每张门票的原定票价为x元，则现在每张门票的票价为
元，根据题意得
，
解得
．
经检验，是原方程的根．
答：每张门票的原定票价为400元；
设平均每次降价的百分率为y，根据题意得
，
解得：
，
不合题意，舍去．
答：平均每次降价
．
【解析】设每张门票的原定票价为x元，则现在每张门票的票价为元，根据“按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元”建立方程，解方程即可；
设平均每次降价的百分率为y，根据“原定票价经过连续二次降价后降为324元”建立方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程与分式方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
已知是等腰直角三角形，
，过点B在
内作线段BD交AC于点E，过点C作
．
如图1所示，若
，
，求ED．
如图2所示，若线段BD平分，连接AD，求证：
．
如图3所示，连接AD，求证：
．
|
【答案】解：如图1，在
中，
，
，
，
，
，
，
，
如图2，延长CD和BA交于点G，
平分，，
，
，
又
，
≌
，
，
，
如图，过点A作
，交BD于点F，
，
，
，
，
，
，
，
，且
，
，
≌
，
，
，
，，
，
【解析】根据锐角三角函数可求
，，根据直角三角形中
所对的直角边等于斜边一半可求DE的长；
延长CD和BA交于点G，由题意可证
≌
，可得，根据直角三角形的性质可得；
过点A作，交BD于点F，由题意可证
≌
，可得
，，根据勾股定理可得
，则结论可得．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
综合与实践：制作无盖盒子
任务一：如图1，有一块矩形纸板，长是宽的2倍，要将其四角各剪去一个正方形，折成高为4cm，容积为
的无盖长方体盒子纸板厚度忽略不计．
请在图1的矩形纸板中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕．
请求出这块矩形纸板的长和宽．
任务二：图2是一个高为4cm的无盖的五棱柱盒子直棱柱，图3是其底面，在五边形ABCDE中，
，
，
，
．
试判断图3中AE与DE的数量关系，并加以证明．
图2中的五棱柱盒子可按图4所示的示意图，将矩形纸板剪切折合而成，那么这个矩形纸板的长和宽至少各为多少cm？请直接写出结果图中实线表示剪切线，虚线表示折痕纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计．
|
【答案】
解：任务一：如图1所示：
设矩形纸板的宽为xcm，则长为2xcm，
由题意得：
，解得：
，
舍去，
，
答：矩形纸板的长为30cm，宽为15cm；
任务二：解：
，证明如下：
如图4，延长EA，ED分别交直线BC于M，N，
，
，
，
，
，
在
与
中，
，
≌，
，
，
；
如图5，过B，C分别作
于P，
于Q，
于点F，
则KH即为矩形纸板的长，GI即为矩形纸板的宽，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
矩形纸板的长至少为
，矩形纸板的宽至少为
．
【解析】任务一：按要求画出示意图即可；
设矩形纸板的宽为xcm，则长为2xcm，根据题意列出方程，解之即可．
任务二：
，延长EA、ED分别交直线BC于点M、N，先证明
，再证明≌，得到
即可；
如图4，由得；
，
，
由已知得，
，连接AD，GF，
过B，C分别作
于M，
于N，过E作
于P，
则GF即为矩形纸板的长，
，
得到
，
求出
，
，
然后通过三角形相似即可得到结果．
本题考查了长方体的平面图，全等三角形的判定和性质，一元二次方程的应用，相似三角形的判定和性质，正确的画出图形是解题的关键．
如图1，抛物线
与x轴交于A，B，与y轴交于C，抛物线的顶点为D，直线l过C交x轴于
．
写出D的坐标和直线l的解析式；
是线段BD上的动点不与B，D重合，
轴于F，设四边形OFPC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值；
点Q在x轴的正半轴上运动，过Q作y轴的平行线，交直线l于M，交抛物线于N，连接CN，将
沿CN翻转，M的对应点为
在图2中探究：是否存在点Q，使得
恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．
|
【答案】
解：
，
，
当时，
，则
，
设直线l的解析式为
，
把，分别代入得
，解得
，
直线l的解析式为
；
如图，当
时，
，解得
，
，则
，
设直线BD的解析式为
，
把，
分别代入得
，解得
，
直线BD的解析式为
，
则
，
，
，
当
时，S有最大值，最大值为
；
存在．
如图2，设
，则
，
，
，
，
沿CN翻转，M的对应点为，落在y轴上，
而
轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当
，解得
舍去，
，此时Q点坐标为
；
当
，解得舍去，
，此时Q点坐标为
，
综上所述，点Q的坐标为或．
【解析】先把抛物线解析式配成顶点式即可得到D点坐标，再求出C点坐标，然后利用待定系数法求直线l的解析式；
先根据抛物线与x轴的交点问题求出，再利用待定系数法求出直线BD的解析式为，则，然后根据梯形的面积公式可得
，再利用而此函数的性质求S的最大值；
如图2，设，则可表示出，，利用两点间的距离公式得到
，
，然后证明
得到
，再解绝对值方程求满足条件的t的值，从而得到点Q的坐标．
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和轴对称的性质；会利用待定系数法求一次函数解析式；理解坐标与图形性质；能利用两点间的距离公式计算线段的长．
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