专题06图形面积计算
【例1】（2019·南阳模拟）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，半径OA＝6，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上点D处，折痕交OA于点C，则整个阴影部分的面积为（ ）
A．9π﹣9 B．9π﹣6
C．9π﹣18 D．9π﹣12
【答案】D.
【解析】解：连接OD，
由折叠的性质知：CD＝CO，BD＝BO，∠DBC＝∠OBC，
∴OB＝OD＝BD，
即△OBD是等边三角形，
∴∠DBO＝60°，
∴∠CBO＝30°，
∴OC＝
OB＝2
，
∴S阴影=S扇形AOB﹣S△BDC﹣S△OBC
S△BDC＝S△OBC＝
×OB×OC＝
×6×2
＝6
，
S扇形AOB＝9π，
∴S阴影=S扇形AOB﹣S△BDC﹣S△OBC
=9π﹣6
﹣6
＝9π﹣12
．
所以答案为：D．
【变式1-1】（2019·开封模拟）如图，把半径为2的⊙O沿弦AB，AC折叠，使弧AB和弧BC都经过圆心O，则阴影部分的面积为（ ）
A．
B．
C．2
D．4
【答案】C．
【解析】解：过O作OD⊥AC于D，连接AO、BO、CO，
∴OD＝
AO＝1，AD＝
AC＝
，
∴∠OAD＝30°，
∴∠AOC＝2∠AOD＝120°，
同理∠AOB＝120°，∠BOC＝120°，
∴S阴＝2S△AOC
＝2×
×22＝2
，
所以答案为：C．
【变式1-2】（2017·郑州一模）如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
．
【解析】解：设折痕为AB，连接OM交AB于点C，连接OA、OB，
由题意知，OM⊥AB，且OC=MC=
，
在RT△AOC中，OA=1，OC=
，
∴∠AOC=60°，AC=
，AB=2AC=
，
∴∠AOB=2∠AOC=120°，
S阴影=S半圆﹣2S弓形ABM
=
π×12﹣2（
）
=
．
故答案为：
．
【例2】（2019·郑州外外国语测试）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，若图中阴影部分面积为
，则AB=
【答案】2.
【解析】S阴影=S△ADE+S扇形BAD－S△ABC
∵S△ADE= S△ABC
∴S阴影= S扇形BAD=
，
∴
=
,
解得：AB=2，
故答案为：2.
【变式2-1】（2019·河南南阳一模）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点M在CD边上，且DM=1，△AEM与△ADM关于AM所在直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为（ ）
A. 3 B. 
C. 
D. 
【分析】求线段的长度，常用方法是将所求线段放在直角三角形中借助勾股定理求解，如图作出辅助线，通过分析可知，△ADM≌△ABF≌△AEM，可得DM=EM=1，AE=AD=AB=3，进而利用△AEK∽△EMH，求得EH，MH的长，再计算出EG，FG的长，在Rt△EFG中，利用勾股定理求EF的长度即可.
【解析】过点E作EG⊥BC于G，作EH⊥CD于H，延长HE交AB于K，如图所示，
由题意知，△ADM≌△ABF≌△AEM，
∴DM=EM=1，AE=AD=AB=3，
由△AEK∽△EMH，
得：
=3，
∴设EH=x，则AK=3x，即DH=3x，MH=3x－1，
在Rt△EMH中，由勾股定理得：
，
解得：x=0（舍）或x=
，
∴MH=
，AK=DH=
，CH=3－DH=
，
KE=BG=3MH=
，
∴FG=BF+BG=
，EG=CH=
，
在Rt△EFG中，由勾股定理得：
EF=
,
故答案为：C.
【变式2-2】（2019·洛阳二模）如图，矩形 ABCD 中，AB=2，BC=1，将矩形 ABCD 绕点 A 旋转得到矩形AB′C′D′，点 C 的运动路径为弧 CC′，当点 B′落在 CD 上时，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
.
【解析】解：连接AC’，AC，过点B’作B’E⊥AB于E，如图图所示，
由旋转性质，得：AC=AC’， AB’=AB=2，∠CAB=∠C’AB’，
∵BC=B’E=1，
∴∠B’AB=30°，
∴∠C’AC=30°，
∴AE=
，B’C=2－
，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=
,
∴S阴影=S扇形C’AC－S△AB’C’－S△B’CA
=
=
.
故答案为：
.
【例3】（2019·河南南阳一模）如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，CA=4，D为AC的中点，以D为圆心，以DB的长为半径作圆心角为90°的扇形EDF，则图中阴影部分的面积为 .
【分析】设DE与BC交于M，DF与AB交于N，S阴影=S扇形EDF－S四边形DMBN，根据△DBM≌△DAN，得S四边形DMBN=S△BDA，再利用扇形面积公式及三角形面积公式求解即可.
【解析】解：设DE与BC交于M，DF与AB交于N，
∵AB=BC，∠ABC=90°，D是AC中点，
∴∠A=∠C=∠CBD=∠DBA=45°，AD=BD=2，∠BDA=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠BDM=∠ADF，
∴△DBM≌△DAN，
即S△DBM=S△DAN，
∴S四边形DMBN=S△BDA，
S阴影=S扇形EDF－S四边形DMBN
=
=
=π－2，
故答案为：π－2.
【变式3-1】（2018·洛阳三模）如图，在扇形OAB中，C是OA的中点，CD⊥OA，CD与弧AB交于点D，以O为圆心，OC的长为半径作弧CE交OB于点E，若OA=6，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积为 .
【答案】
.
【解析】解：连接OD，交弧CE于F，连接AD，
∵OC=AC=3，CD⊥OA，
∴CD是线段OA的垂直平分线，
∴OD=AD，
∵OD=OA，
∴△OAD是等边三角形，
∵∠AOB=120°，
∴∠DOA=∠BOD=60°，
∴CD=
OC=3
，
∴S阴影=S扇形BOD－S扇形EOF+S△COD－S扇形COF
=
=3π+
.
即答案为：3π+
.
【变式3-2】（2018·河南第一次大联考）如图，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长、圆心为直角的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板的圆心绕O旋转，则正方形ABCD被纸板覆盖部分的面积为（ ）
A．
a2 B．
a2 C．
a2 D．
a
【答案】B.
【解析】解：如图，过O作OE⊥AD于E，OF⊥CD于F，
∴OE=OF，∠EOF=90°，
∴四边形OEDF是正方形，OF=
，
∵扇形的圆心角为直角，
∴△OME≌△ONF，
∴S阴影=S正方形OEDF=
，
故答案为：B．
1.（2018·河南师大附中模拟）如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，则图中阴影部分（△BDF）的面积等于 .
【答案】
.
【解析】解：由题意得：S△BDF=S菱形ABCD+S菱形ECGF－S△BGF－S△EDF－S△ABD
菱形ECGF边CG边上的高为：GF·sin60°=
，
菱形ECGF边CE边上的高为：EF·sin60°=
，
∴S△BDF=
=
，
故答案为：
.
2.（2019·济源一模）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，中间的小正方形 ABCD 的边长为 1，分别以A，C为圆心，1为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积为
【答案】
.
【解析】解：连接BD，
S阴影=2（S扇形BAD－S△ABD）
=2（
）
=
，
故答案为：
.
3.（2019·偃师一模）如图，正方形ABCD 中，AB=1，将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90°得到线段CE，线段 BD 绕点 B 顺时针旋转 90°得到线段 BF，连接 EF，则图中阴影部分的面积是
【答案】
－
.
【解析】解：
过F作FM⊥BE于M，则∠FME=∠FMB=90°，
∵四边形ABCD是正方形，AB=1，
∴∠DCB=90°，DC=BC=AB=1，∠DCB=45°，
由勾股定理得：BD=
，
由旋转性质得：
∠DCE=90°，BF=BD=
，∠FBE=90°－45°=45°，
∴BM=FM=1，即C点与M点重合，ME=1，
∴阴影部分的面积：S=S△BCD+S△BFE+S扇形DCE－S扇形DBF
=
+1+
－
=
－
，
故答案为：
－
．
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