一、公式法进阶.
乘法公式进阶版，现将其反向使用.
(a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；
(a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．
a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；
【例1】分解下列因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【例2】（1）已知
，求
的值。
（2）若正数
，
，
为三角形的三边，且满足
，试确定三角形的形状.
二、十字相乘法
（1）第一类十字相乘：二次项系数为1【口诀：尾项分拆，凑中间项】
形如： 
（其中p、q为常数）可以因式分解为
（2）第二类十字相乘：二次项系数不为1【口诀：首尾分拆，十字相乘，凑中间项】
形如： 
（其中k、m、n为常数），若
，
且
时，原式可以转化为：
【例3】因式分解：
（1）
（2）
（3）
（4）
【例4】因式分解：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）分解因式：
（6）若
，则
。
【例5】因式分解：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【例6】因式分解：
（2）
（3）
（4）
【例7】因式分解：
（1）
（2）
（3）
（4）
【例8】（1）已知：
为三角形的三条边，且
，
求证：
.
（2）若
，求
的值.
【练习1】
（1）下列各式因式分解正确的是
、
、
、
、
（2）下列多项式能用十字相乘法分解因式的是
、
、
、
、
（3）若
，则
的值可能为
、
、
、
、
【练习2】因式分解
（1）
（2）
（3）
【练习3】（1）
（2）
（3）
【练习4】（1）
（2）
【练习5】若代数式
能分解为两个一次因式，且
为整数，那么所有取的值可能是
【练习6】（1）
（2）
（3）
【练习7】长方形的周长为
，它的两边
，
是整数，且满足
，求它的面积.
解析版
一、公式法Ⅱ.
乘法公式进阶版，现将其反向使用.
(a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；
(a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．
a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；
【例1】分解下列因式：
（1） （2）
（3）
（4） （5）
【解析】（1）原式=
（2）原式
（3）原式
（4）原式
（5）原式
【例2】（1）已知，求的值。
（2）若正数，，为三角形的三边，且满足，试确定三角形的形状.
【解析】（1）根据公式：
由条件得：
，因此
中至少一个是
所以
（2）由 ，得 
故 
即 
，得 
,
,
即 
，又由，，为正数，即得
故此三角形为等边三角形.
二、十字相乘法
（1）第一类十字相乘：二次项系数为1【口诀：尾项分拆，凑中间项】
形如： （其中p、q为常数）可以因式分解为
（2）第二类十字相乘：二次项系数不为1【口诀：首尾分拆，十字相乘，凑中间项】
形如： （其中k、m、n为常数），若，且时，原式可以转化为：
【例3】因式分解：
（1） （2）
（3） （4）
【解析】（1）原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
【例4】因式分解：
（1） （2）
（3） （4）
（5）分解因式：
（6）若，则。
【解析】（1）原式
； （2）原式
；
（3）原式
（4）原式
（5）
（6）
【例5】因式分解：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
【解析】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）原式
（6）原式
【例6】因式分解：
（2）
（3） （4）
【解析】（1）
（2）
（3）原式
（4）原式
【例7】因式分解：
（1） （2）
（3） （4）
【解析】（1）
（2）
（3）
（4）
【例8】（1）已知：为三角形的三条边，且，
求证：.
【解析】
，因为三角形的两条边的和大于第三条边，所以
.
（2）若，求的值.
【解析】
【解析】
【解析】原式
【练习1】
（1）下列各式因式分解正确的是
、 、
、 、
（2）下列多项式能用十字相乘法分解因式的是
、 、
、 、
（3）若，则的值可能为
、 、 、 、
【解析】（1） （2）
（3）
【练习2】因式分解
（1） （2）
（3）
【解析】（1）原式
（2）原式
（3）原式
【练习3】（1） （2） （3）
【解析】（1）
（2）
（3）
【练习4】（1） （2）
【解析】（1）
（2）
【练习5】若代数式能分解为两个一次因式，且为整数，那么所有取的值可能是
【解析】
，有
个值。
【练习6】（1） （2）
（3）
【解析】（1）
（2）
（3）
。
【练习7】长方形的周长为，它的两边，是整数，且满足，求它的面积.
【解析】∵
∴
，
或
或
，
或
∴
因为两边长都是整数， 所以长方形的面积为
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