【试题调研-同步练】高一数学选择填空题
02 函数及其表示
知识点精讲
一、函数的有关概念
1. 函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作: y=f(x),x∈A。
(1)其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;
(2)与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域 。2. 函数的三要素:定义域、值域、对应法则
3. 函数的表示方法:
(1)解析法:明确函数的定义域
(2)图想像:确定函数图像是否连线,函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。
(3)列表法:选取的自变量要有代表性,可以反应定义域的特征。
4. 函数图象知识归纳
(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象。C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 。
(2)画法
A、描点法 B、图象变换法:平移变换;伸缩变换;对称变换。
(3)函数图像变换的特点:
1)函数y=f(x) 关于X轴对称y=-f(x)
2)函数y=f(x) 关于Y轴对称y=f(-x)
3)函数y=f(x) 关于原点对称y=-f(-x)
二、函数的解析表达式,及函数定义域的求法
1. 函数解析式子的求法
(1)函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域。
(2)求函数的解析式的主要方法有:
1)代入法
2)待定系数法
3)换元法
4)拼凑法
2.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1;
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的。那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合;
(6)指数为零底不可以等于零;
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。
3. 相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致 (两点必须同时具备)
4. 区间的概念:
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间
(2)无穷区间
(3)区间的数轴表示
5. 值域 : 先考虑其定义域
(1)观察法:直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域;
(2)反表示法:针对分式的类型,把Y关于X的函数关系式化成X关于Y的函数关系式,由X的范围类似求Y的范围。
(3)配方法:针对二次函数的类型,根据二次函数图像的性质来确定函数的值域,注意定义域的范围。
(4)代换法(换元法):作变量代换,针对根式的题型,转化成二次函数的类型。
三、分段函数
1. 分段函数定义
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况。
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集。
补充:复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。
(4)常用的分段函数
1)取整函数
2)符号函数
3)含绝对值的函数
四、映射
1. 定义:一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f(对应关系):A(原象)B(象)”
2. 对于映射f:A→B来说,则应满足:
(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;
(2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
注意:映射是针对自然界中的所有事物而言的,而函数仅仅是针对数字来说的。所以函数是映射,而映射不一定的函数。
同步测验
一、选择题
1. 下列各组函数中,是相等函数的是( )
A. 与
B. 与()
C. 与
D. 与
2. 已知函数,则( )
A. B. C. D.
3. 设函数对任意,满足,且,则等于( )
A.-2 B.
C. - D.2
4. 已知,用表示不小于的最小整数,如,,若,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5. 下列函数中,值域是(0,+∞)的函数是 ( )
B. C. D.
6. 函数y=3-的值域是( )
A.(-∞,2) B.[1,2] C.[1,3] D.[2,+∞)
7. 设a>1,函数f(x)=log ax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为,则a等于( )
A. B.2 C. D.4
8. 已知函数的最大值为M,最小值为m,则的值为( )
A. B. C. D.
已知(是常数),在上有最大值3,那么在上的最小值是
B. C. D.
10. 已知函数在区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是
A. [ 1,+∞) B. [0,2] C. (-∞,2] D. [1,2]
11. 函数f(x)=ex+3x的零点个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
12. 已知关于x的方程xln x=ax+1(a∈R),下列说法正确的是( )
A. 有两不等根 B. 只有一正根
C. 无实数根 D. 不能确定
二、填空题
13. 已知P={a,b},Q={-1,0,1},f是从P到Q的映射,则满足f(a)=0的映射个数为 。
14.设函数,若,则=___________。
15.在映射中,如果,那么称为的像.设,使,则中所有元素的像构成的集合是______ 。(用列举法表示)
已知函数,其中为常数,若,则 。
参考答案:
一、选择题
1. D 2. A 3. A 4. D 5. D 6. A 7. D 8. C 9. D 10. D
11. B 12. B
二、填空题
13. 3
14. 0
15.
16. -12
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