圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值
例1：
为椭圆
上两个动点，且
，过原点
作直线
的垂线
，求
的轨迹方程.
解法一（常规方法）：设
，
,设直线方程为
，联立
化简可得:
，所以
因为
所以
又因为直线方程等价于为
，即
对比于，则
代入
中，化简可得：
.
解法二（齐次式）：
设直线方程为
，联立
化简可得:
整理成关于
的齐次式：
，进而两边同时除以
，则
因为所以
，
又因为直线方程等价于为，即对比于，则
代入中，化简可得：.
例2：已知椭圆
，设直线
不经过点
的直线交于
两点，若直线
的斜率之和为
，证明：直线恒过定点.
解：以点
为坐标原点，建立新的直角坐标系
，如图所示：
旧坐标 新坐标
即
所以
原来
则转换到新坐标就成为：
设直线方程为：
原方程：
则转换到新坐标就成为：
展开得：
构造齐次式：
整理为：
两边同时除以
，则
所以
所以
而
对于任意
都成立.
则：
，故对应原坐标为
所以恒过定点
.
例3：已知椭圆
，过其上一定点
作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭圆于两点，证明：直线
斜率为定值.
解：以点为坐标原点，建立新的直角坐标系，如图所示：
旧坐标 新坐标
即
所以
原来
则转换到新坐标就成为：
设直线方程为：
原方程：
则转换到新坐标就成为：
展开得：
构造齐次式：
整理为：
两边同时除以，则
所以
所以
而
.所以
平移变换，斜率不变，所以直线斜率为定值
.
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