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2019年高考真题——文科数学(全国卷Ⅰ)含答案

2019年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

注意事项:

1.答卷前,考生务必将自己的姓名考生号填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,选涂其答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.设,则=

A2 B C D1

2.已知集合,则

A B C D

3.已知,则

A B C D

4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是0.618称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是

 

A165 cm B175 cm C185 cm D190cm

5.函数f(x)=[ππ]的图像大致为

A B

C D

6某学校为了解1 000名新生的身体素质,将这些学生编号为12,…,1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是

A8号学生 B200号学生 C616号学生 D815号学生

7tan255°=

A.-2 B.-2+ C2 D2+

8已知非零向量ab满足=2且(abbab的夹角为

A B C D

9.如图是求的程序框图,图中空白框中应填入

 

AA= BA= CA= DA=

10.双曲线C的一条渐近线的倾斜角为130°,则C的离心率为

A2sin40° B2cos40° C D

11ABC的内角ABC的对边分别为abc,已知asinAbsinB=4csinCcosA=,则=

A6 B5 C4 D3

12已知椭圆C的焦点为F2的直线与C交于AB两点.C的方程为

A B C D

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13.曲线在点处的切线方程为___________

14.记Sn为等比数列{an}的前n项和.,则S4=___________

15.函数的最小值为___________

16已知ACB=90°,P为平面ABC外一点,PC=2,点PACB两边ACBC的距离均为,那么P到平面ABC的距离为___________

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第2223题为选考题,考生根据要求作答。

(一)必考题:60分。

1712分)

某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表:

 

满意

不满意

男顾客

40

10

女顾客

30

20

1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率;

2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?

附:

PK2k

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

18.(12分)

Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S9=a5

1)若a3=4,求{an}的通项公式;

2)若a1>0,求使得Snann的取值范围.

19.(12分)

如图,直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4AB=2,∠BAD=60°,EMN分别是BCBB1A1D的中点.

 

1)证明:MN∥平面C1DE

2)求点C到平面C1DE的距离.

20.(12分)

已知函数fx=2sinxxcosxxf′x)为fx)的导数

1)证明:f′x)在区间(0π)存在唯一零点;

2)若x[0π]时,fxax,求a的取值范围

21.12分)

已知点AB关于坐标原点O对称,AB=4M过点AB且与直线x+2=0相切

1)若A在直线x+y=0上,求M的半径

2)是否存在定点P,使得当A运动时,MAMP为定值?并说明理由

(二)选考题:共10分。请考生在第2223题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一题计分。

22[选修44:坐标系与参数方程]10分)

在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为

1)求Cl的直角坐标方程;

2)求C上的点到l距离的最小值.

23[选修45:不等式选讲]10分)

已知abc为正数,且满足abc=1.证明:

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2019年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学·参考答案

一、选择题

1C 2C 3B 4B 5D 6C

7D 8B 9A 10D 11A 12B

二、填空题

13y=3x 14 15−4 16

三、解答题

17.解:

1)由调查数据,男顾客中对该商场服务满意的比率为,因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8

女顾客中对该商场服务满意的比率为,因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6

2

由于,故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.

18.解:

1)设的公差为d

a3=4

于是

因此的通项公式为

2)由(1)得,故.

,故等价于,解得1≤n≤10

所以n的取值范围是

19.解:

1)连结.因为ME分别为的中点,所以.又因为N的中点,所以.

由题设知,可得,故,因此四边形MNDE为平行四边形,.平面,所以MN平面.

2)过CC1E的垂线,垂足为H.

由已知可得,所以DE平面,故DECH.

从而CH平面,故CH的长即为C到平面的距离,

由已知可得CE=1C1C=4,所以,故.

从而C到平面的距离为.

 

20.解:

1)设,则.

时,;当时,,所以单调递增,在单调递减.

,故存在唯一零点.

所以存在唯一零点.

2)由题设知,可得a≤0.

由(1)知,只有一个零点,设为,且当时,;当时,,所以单调递增,在单调递减.

,所以,当时,.

又当时,ax≤0,故.

因此,a的取值范围是.

21解:(1)因为过点,所以圆心MAB的垂直平分线上.由已知A在直线上,且关于坐标原点O对称,所以M在直线上,故可设.

因为与直线x+2=0相切,所以的半径为.

由已知得,又,故可得,解得.

的半径.

2)存在定点,使得为定值.

理由如下:

由已知得的半径为.

由于,故可得,化简得M的轨迹方程为.

因为曲线是以点为焦点,以直线为准线的抛物线,所以.

因为,所以存在满足条件的定点P.

22解:(1)因为,所以C的直角坐标方程为.

的直角坐标方程为.

2)由(1)可设C的参数方程为为参数,.

C上的点到的距离为.

时,取得最小值7,故C上的点到距离的最小值为.

23解:(1)因为,又,故有

.

所以.

2)因为为正数且,故有

=24.

所以.


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