北京市东城区2018-2019学年高二上学期期末检测数学试题（解析版）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
已知复数
为虚数单位，
在复平面内对应的点在第二象限，那么x的取值范围是
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】A
【解析】解：复数为虚数单位，在复平面内对应的点在第二象限，
则
，解得
．
那么x的取值范围是．
故选：A．
利用复数的几何意义、不等式的解法即可得出．
本题考查了复数的运算法则及其几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
已知
，
，那么下列不等式中一定成立的是
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】D
【解析】解：若，，则
，
则
，故A错误，
不一定成立，
，则C不成立，
，
，则
，成立，故D正确，
故选：D．
根据a，b飞符号和范围，结合不等式的关系进行判断即可．
本题主要考查不等式性质的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键
比较基础．
已知等差数列
的前15项和
，那么
等于
A. 6 B. 10 C. 12 D. 15
【答案】A
【解析】解：
等差数列的前15项和，
，
解得
．
故选：A．
推导出
，由此能求出的值．
本题考查等差数列中两项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
i是虚数单位，复数
等于
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】B
【解析】解：
．
故选：B．
直接利用复数的除法运算进行化简计算．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．
已知椭圆
的一个焦点是
，那么实数
A. 
B. 
C. 3 D. 5
【答案】D
【解析】解：因为椭圆的一个焦点是，
所以
，
所以
，
．
故选：D．
通过椭圆的焦点，确定，利用a，b，c的关系，求出k的值即可．
本题考查椭圆的标准方程及简单性质，属于基础题．
已知
为数列的前n项和，
，
，那么
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】C
【解析】解：
时，，
，可得：
，化为
．
时，
．
数列从第二项起为等比数列，公比为2，首项为
．
那么
．
故选：C．
利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出．
本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
“直线
平面
”是“直线在平面外”的
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】解：“直线l与平面平行”
“直线l在平面外”
“直线l在平面外”则直线l与平面平行或相交，故“直线l在平面外”不能推出“直线l与平面平行”
故“直线l与平面平行”是“直线l在平面外”的充分非必要条件
故选：A．
根据直线l在平面外则直线l与平面平行或相交可判定“直线l与平面平行”与“直线l在平面外”的关系．
本题主要考查了线面的位置关系，以及充要条件的判定，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．
已知
为直线l的方向向量，
，
分别为平面，
的法向量
不重合那么下列说法中：
；
；
；
正确的有
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】解：平面，不重合；
平面，的法向量平行垂直等价于平面，平行垂直；
正确；
直线l的方向向量平行垂直于平面的法向量等价于直线l垂直平行于平面；
都错误．
故选：B．
可以想象图形即可判断每个说法的正误．
考查平面法向量的概念，直线方向向量的概念．
三棱柱
的侧棱与底面垂直，
，
，N是BC的中点，点P在
上，且满足
，当直线PN与平面ABC所成的角取最大值时，
的值为
A. 
B. 
C. 
D. 
|
|
【答案】A
【解析】
解：如图，以AB，AC，
分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系
，
则
0，
，
，
平面ABC的一个法向量为
0，
，
当
时，
，此时角
最大为
．
故选：A．
建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，求出直线PN与平面ABC所成的角，即可求得结论．
本题考查使线面角的最大值的实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，
其中第一项是
，接下来的两项是，
，再接下来的三项是，，
，依此类推那么该数列的前50项和为
A. 1044 B. 1024 C. 1045 D. 1025
【答案】A
【解析】解：将已知数列分组，使每组第一项均为1，
即：第一组：，
第二组：，，
第三组：，，，
第k组：，，，，
，
根据等比数列前n项和公式，
求得每项和分别为：
，
，
，，
，
每项含有的项数为：1，2，3，，k，
总共的项数为
，
当
时，
，
故该数列的前50项和为
．
故选：A．
将已知数列分组，使每组第一项均为1，第一组：，第二组：，，第三组：，，，第k组：，，，，，根据等比数列前n项和公式，能求出该数列的前50项和．
本题考查类比推理，考查等比数列、分组求和等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，属于中档题．
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
命题
，
的否定是______．
【答案】
，
【解析】解：原命题为：，
原命题为全称命题
其否定为存在性命题，且不等号须改变
原命题的否定为：，
故答案为：，
根据全称命题的否定要改成存在性命题的原则，可写出原命题的否定
本题考查命题的否定的写法，常见的命题的三种形式写否定：
“若A，则B”的否定为“若
，则
”；
全称命题的否定为存在性命题，存在性命题的否定为全称命题；
切命题的否定为或命题，或命题的否定为切命题本题考查第二种形式，属简单题
当且仅当
______时，函数
取得最小值．
【答案】
【解析】解：由于
，由基本不等式可得
，
当且仅当
，即当
时，等号成立．
故答案为：．
利用基本不等式时，等号成立，即时，得出x的值．
本题考查基本不等式的应用，使用基本不等式注意三个条件“一正、二定、三相等”，考查计算能力，属于基础题．
已知抛物线C的顶点在原点，准线方程为
，则抛物线C的标准方程为______．
【答案】
【解析】解：由题意可设抛物线C的方程为
，
，
准线方程为，
，解得
．
抛物线C的标准方程为．
故答案为：．
由题意可设抛物线C的方程为，，由已知准线方程为可解得p，则抛物线方程可求．
本题考查抛物线标准方程的求法，是基础的计算题．
不等式
的解集为______．
【答案】
【解析】解：不等式等价为
，
即
，即
，
则不等式的解集为，
故答案为：．
将分式不等式转化为一元二次不等式，进行求解即可．
本题主要考查分式不等式的求解，利用转化转化为一元二次不等式是解决本题的关键．
已知
，
是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若
是等边三角形，则这个椭圆的离心率是______．
【答案】
【解析】解：
是正三角形，
，
直线AB与椭圆长轴垂直，
是正三角形的高，
，
中，设
，
，
，
因此，椭圆的长轴
，焦距
椭圆的离心率为
．
故答案为：
根据是正三角形，且直线AB与椭圆长轴垂直，得到
是正三角形的高，
在中，设，可得
，所以
，用勾股定理算出
，得到椭圆的长轴，焦距，所以椭圆的离心率为
．
本题给出椭圆过焦点垂直于长轴的弦和另一焦点构成直角三角形，求椭圆的离心率着重考查了椭圆的基本概念和简单几何性质，属于基础题．
如图所示，四棱锥
中，
底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，
，E是棱PB的中点，M是棱PC上的动点，当直线PA与直线EM所成的角为
时，那么线段PM的长度是______．
|
|
【答案】
【解析】
解：如图建立空间直角坐标系，
则
0，
，
0，
，
2，，
，
是棱PB的中点，
1，，
设
m，
，则
，
，
解得
，
，
，
故答案为：．
建立空间直角坐标系，易得各点坐标，设出点M的坐标，可得向量
，代入异面直线所成角公式可得点M的坐标，问题得解．
此题考查了异面直线所成角，空间坐标系等，难度适中．
三、解答题（本大题共4小题，共36.0分）
等差数列中，
，
．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ若
，
分别是等比数列
的第4项和第5项，试求数列的通项公式．
【答案】解：Ⅰ在等差数列中，由，，
得
，
；
Ⅱ在等比数列中，有
，
，
公比
，
则
．
【解析】Ⅰ在等差数列中，由已知求得d，代入等差数列的通项公式即可；
Ⅱ在等比数列中，分别求得第4项和第5项，进一步求得公比，代入等比数列的通项公式得答案．
本题考查等差数列与等比数列的通项公式，是基础的计算题．
已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线C经过点
．
Ⅰ求抛物线C的标准方程；
Ⅱ经过抛物线C的焦点且斜率为2的直线l交抛物线C于A，B两点，求线段AB的长．
【答案】解：Ⅰ由题意设抛物线C的标准方程为
，
其图象经过点，
则
，
解得
，
抛物线C的标准方程为
；
Ⅱ抛物线C的标准方程为，焦点
，准线方程为
；
过焦点且斜率为2的直线l方程为
，
由
，
消去y，整理得
，
由根与系数的关系得
，
线段AB的长为
．
【解析】Ⅰ利用待定系数法求出p的值，写出抛物线C的标准方程；
Ⅱ写出抛物线C的焦点坐标和准线方程，写出过焦点且斜率为2的直线方程，与抛物线方程联立，消去y得关于x的方程，利用根与系数的关系求得
的值，再求线段AB的长．
本题考查了抛物线的标准方程与弦长问题，是中档题．
如图，在三棱锥
中，
底面ABC，
点D，E分别为棱PA，PC的中点，M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，
，
．
Ⅰ求证：
平面BDE；
Ⅱ求直线MN到平面BDE的距离；
Ⅲ求二面角
的大小．
|
|
【答案】证明：Ⅰ在三棱锥中，底面ABC，点D，E分别为棱PA，PC的中点，
M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，，
．
以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
0，，0，，
4，，
2，，
0，，0，
，
2，，
2，
，
0，，
2，，
设平面BDE的法向量
y，
，
则
，取
，得
0，，
，
平面BDE，
平面BDE．
Ⅱ
，0，，
直线MN到平面BDE的距离：
．
Ⅲ
平面BDE的法向量0，，
平面DEP的法向量
0，，
设二面角的大小为，
则
．
．
二面角的大小为
．
【解析】Ⅰ以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面BDE．
Ⅱ求出
0，，利用向量法得直线MN到平面BDE的距离
．
Ⅲ求出平面BDE的法向量和平面DEP的法向量，利用向量法能求出二面角的大小．
本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为
，离心率为．
Ⅰ求椭圆C的方程；
Ⅱ若过点
的直线与椭圆C交于A，B两点，且P点平分线段AB，求直线AB的方程；
Ⅲ一条动直线l与椭圆C交于不同两点M，N，O为坐标原点，
的面积为
求证：
为定值．
【答案】解：Ⅰ设椭圆方程为
，
即有
，即
，
，即
，
由
，可得
，
则椭圆方程为
；
Ⅱ设
，
，点为AB的中点，可得
，
，
由
，
，相减可得
，
可得
，
即有直线AB的方程为
，化为
；
Ⅲ证明：设
，
，则
，
当直线l的斜率不存在时，M，N关于x轴对称，即
，
，
由
，的面积为
，可得
，
即有
，
，可得
；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为
，
代入椭圆方程
，可得
，
可得
，
，
，可得
，
，
O到直线l的距离为
，
则
，
化为
，
即有
，
，
则
，
综上可得，为定值5．
【解析】Ⅰ设椭圆方程为，由题意可得b，运用离心率公式和a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；
Ⅱ设，，运用中点坐标公式和点满足椭圆方程，作差，由直线的斜率公式可得AB的斜率，进而得到所求直线方程；
Ⅲ设，，则，分别讨论直线MN的斜率是否存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，点到直线的距离公式，三角形的面积公式，化简整理即可得到所求定值．
本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线方程的求法和两点距离的平方和为定值的证明，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式和点差法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
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