北京市东城区2017-2018学年初二第二学期期末考试
数学试卷
2018.07
一、选择题
1．函数
中自变量
的取值范围是
A．x≥3 B．x≠-3 C．x≤3 D．x≠3
2．下列四组线段中，能作为直角三角形三条边的是
A．3.4.5 B．6.8.9 C．1.2.
D．5.12.14
3．如图，A.B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到AC，BC的中点D，E，并且测出DE的长为10m，则A，B间的距离为
A．15m B．20m C．25m D．30m
4．某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下：
|
尺码 |
39 |
40 |
41 |
42 |
43 |
|
平均每天销售数量（件） |
10 |
12 |
20 |
12 |
12 |
该店主决定本周进货时，增加了一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是
A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数
A．
B．
C．
D．
6．矩形、菱形、正方形都具有的性质是
A．对角线相等 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D． 对角线平分对角
7．函数
的图象如图所示，则关于x的不等式
的解集是
A．x＞0 B．x＜0 C．x＞2 D．x＜2
第3题图 第7题图
8. 如图，某工厂有甲.乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是
A．
B．
C．
D．
二、填空题
9．在某次七年级期末测试中，甲乙两个班的数学平均成绩都是89分，且方差分别为
，
，则成绩比较稳定的是 班.
10．如图，□ABCD中两个邻角的度数比为1：3，则其中较小的内角的度数为 .
11．写出一个图象经过第二、四象限的正比例函数的解析式 .
12．将一次函数
的图像向上平移2个单位长度后得到的解析是
13. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，分别以BC，AB，AC为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S2=4，S3=6，则S1= ．
14.如图，菱形ABCD的边长是2cm，
则菱形ABCD的面积为 
10题图 13题图 14题图
15．若关于的一元二次方程
有两个不相等的实数根，则
的取值范围是 .
16．阅读下面材料
在数学课上，老师提出如下问题：
小敏的作法如下：
老师说：“小敏的作法正确．”
请回答：小敏的作法正确的理由是
三、解答题
17．（5分）解方程
18．（5分）一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(-1,1)和点B(1,5),求一次函数的解析式.
19．（5分）如图，在□ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF,求证：BE=DF
20．（5分）已知关于的一元二次方程
.
（1）证明：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为-2，求的值．
21. （5分）每年的4月23日是“世界图书日”.某班鼓励同学们到阅览室借阅图书，并统计图书借阅总量.该班在2015年图书借阅总量是1000本，2017年图书借阅总量是1440本，该班的图书借阅总量的年平均增长率是多少？
22．（5分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝9，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．
（1）求证：BE＝BF；
（2）求BE的长．
23.（6分）某村深入贯彻落实习近平新时代中国特色社会主义思想，认真践行“绿水青山就是金山银山”理念.在外打工的王大叔返回江南创业，承包了甲.乙两座荒山，各栽100棵小枣树，发现成活率均为97%，现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了4棵树上的小枣，每棵的产量如折线统计图所示.
（1）直接写出甲山4棵小枣树产量的中位数
（2）分别计算甲.乙两座山小枣样本的平均数，并判断那座山的样本的产量高
（3）用样本平均数估计甲乙两座山小枣的产量总和.
24．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线
与x轴，y轴分别交于点A，点B。
（1）求点A和点B的坐标；
（2）若点P在y轴上，且
求点P的坐标．
25．（6分）有这样一个问题：如图，在四边形
中，
，
，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究筝形的性质．
小南根据学习平行四边形.菱形.矩形.正方形的经验，对筝形的性质进行了探究．
下面是小南的探究过程：
（1）根据筝形的定义，写出一种你学过的满足筝形的定义的四边形是 ；
（2）由筝形的定义可知，筝形的边的性质是：筝形的两组邻边分别相等，关于筝形的角的性质，通过测量，折纸的方法，猜想：筝形有一组对角相等，请你帮小南说明理由；
已知：如图，在筝形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD．
求证：∠B＝∠D．
证明：
（3）连接筝形的两条对角线，探究发现筝形的另一条性质：筝形的一条对角线平分另一条对角线．结合图形，请从边，角，对角线等方面写出筝形的其他性质（一条即可）：
__________________________________________________．
26．（6分）小俊奶茶店厂生产
.
两种奶茶，由于地处旅游景点区域，每天都供不应求．经过数学计算，小俊发现种奶茶每杯生产时间为4分钟，种奶茶每杯生产时间为1分钟，由于原料和运营时间限制，每天生产的总时间为300分钟．
（1）设A种奶茶生产x杯，B种奶茶生产y杯,则y与x之间的函数关系式y= ．
（2）由于A种奶茶比较受顾客青睐，小俊决定每天生产A种奶茶不少于73杯，那么不同的生产方案有多少种？并写出每种生产方案．
（3）在（2）情况下，若A种奶茶每杯利润为3元，B种奶茶每杯利润为1元,直接写出小俊每天获得的最大利润为
27．（7分）正方形ABCD中，点P是边CD上的任意一点，连接BP，O为BP的中点，作PE⊥BD于E，连接EO，AE．
（1）若∠PBC＝α，求∠POE的大小（用含α的式子表示）；
（2）用等式表示线段AE与BP之间的数量关系，并证明．
28．（7分）定义：若关于x的一元二次方程
的两个实数根为
（
），分别以
为横坐标和纵坐标得到点M
,则称点M为该一元二次方程的衍生点．
（1）若方程为
，写出该方程的衍生点M的坐标．
（2）若关于
的一元二次方程
的衍生点为M，过点M向轴和
轴做垂线，两条垂线与坐标轴恰好围城一个正方形，求的值．
（3）是否存在b，c，使得不论
为何值，关于的方程
的衍生点M始终在直线
的图像上，若有请直接写出b，c的值，若没有说明理由．
评分标准及参考答案
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
|
题号 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
答案 |
D |
A |
B |
A |
B |
C |
C |
D |
二、填空题（本题共16分，每小题 2分）
9. 甲 10. 
11.答案不唯一，
即可如
12. 
13. 2 14. 
15. 
16．两组对边分别相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形
三、解答题（本题共68分，17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28题每题7分）
17.
……1分
……3分
……5分
18. 
19.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD. AB//CD. ……2分
∴
……3分
在△AEB和△CFD中
∴ △AEB≌△CFD ……4分
∴BE=DF．……5分
21.解：设年平均增长率为，
根据题意列方程，得 
解得
所以x=0.2=20%.
答：社区的图书借阅总量从2015年至2017年的年平均增长率是20%.
22.（1）在矩形ABCD中,AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB………………………1分
由折叠可知
∠BEF＝∠DEF………………………2分
∴∠BEF＝∠EFB.
∴BE＝BF.………………………3分
（2）在矩形ABCD中，∠A＝90°
由折叠知BE=ED,
23.
（1）38…………………………1分
（2）
,且两山抽取的样本一样多，
…………………………4分
（3）总产量为：
（千克）
答：甲乙两山小枣的产量总和为
千克………….6分
25．（1）菱形或正方形……………………………………1分
（2）连接AC
在△ABC和△ADC中
∴△ABC≌△ADC……………………………………3分
∴∠B＝∠D……………………………………4分
（3）（答案不唯一）筝形的对角线互相垂直；……………………………6分
26.（1）因为每天生产的时间为300分钟，所以
，
………..1分
方案一：种73杯，种8杯
方案二：种74杯，种4杯
方案三：种75杯，种0杯 ……………………………..5分
（3）利润为：
故生产种奶茶73杯，种奶茶8杯时，利润最大为227元
…………………………………………..6分
27．（1）在正方形ABCD中，
BC＝DC；∠C＝90°
∴∠DBC＝∠CDB＝45°
∵∠PBC＝α
∴∠DBP＝45°－α……………………………………1分
∵PE⊥BD，且O为BP的中点
∴EO＝BO……………………………………2分
∴∠EBO＝∠BEO
∴∠EOP＝∠EBO＋∠BEO＝90°－2 α……………………………………3分
（2）连接OC，EC
在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，BE=BE,
∴△ABE≌△CBE
∴AE＝CE……………………………………4分
在Rt△BPC中，O为BP的中点
∴CO＝BO＝
∴∠OBC＝∠OCB
∴∠COP＝2 α……………………………………5分
由（1）知∠EOP＝90°－2α
∴∠EOC＝∠COP＋∠EOP＝90°
又由（1）知BO＝EO，
∴EO＝CO.
∴△EOC是等腰直角三角形……………………………………6分
∴EO2＋OC2＝EC2
∴EC＝
OC
即BP＝
∴BP＝
……………………………………7分
28．（1）
解得：
故方程
的衍生点为M
……………………………………………….2分
（2）
解得：
………………………………………..3分
方程的衍生点为
………………………………..4分
点M在第二象限内且纵坐标为1，由于过点M向两坐标轴做垂线，两条垂线与x轴y轴恰好围城一个正方形，所以
，解得
…………………………………………………..5分
（3）存在.
直线
，过定点
…………………………………………………..6分
两个根为
解得：
………………………………………..7分
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