上海中学高三上数学周测卷01
一. 填空题
1. 函数
的定义域为
2. 复数
的实部为
3. 计算：
4. 已知等比数列
各项均为正数，满足
，
，则公比
5. 已知
是定义在
上的周期为3的奇函数，且
，则
的值为
6. 已知向量
，
，则
在
上的投影为
7. 函数
（
）的单调递增区间为
8. 已知
为有理数集，设集合
，在下列集合中：
① 
；② 
；③ 
；④ 
；
与
相等的集合的序号是
9. 设函数
（
），若关于
的方程
在区间
上有且仅有两个不相等的实根，则
的最大整数值为
10. 已知正数、
满足
，若
恒成立，则实数
的取值范围是
11. 已知
，函数
的最小值为
，则
的取值范围是
12. 已知集合
，由集合
中
所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”，
给出下列结论：
①“水滴”图形与轴相交，最高点记为
，则点的坐标为
；
② 在集合中任取一点
，则到原点的距离的最大值为4；
③ 阴影部分与轴相交，最高点和最低点分别记为
、
，则
；
其中正确的序号是
二. 选择题
13. 设、是非零向量，则“、共线”是“
”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件
14. 设函数
，则“
”是“的最小正周期为
”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
15. 当急需住院人数超过医院所能收治的病人数量时就会发生“医疗资源挤兑”现象，在新冠肺炎爆发期间，境外某市每日下班后统计住院人数，从中发现：该市每日因新冠肺炎住院人数均比前一天下班后统计的住院人数增加约25%，但每日大约有200名新冠肺炎患者治愈出院，已知该市某天下班后有1000名新冠肺炎患者住院治疗，
该市的医院共可收治4000名新冠肺炎患者，若继续按照这样的规律发展，该市因新冠肺炎疫情发生“医疗资源
挤兑”现象只需要约（ ）A. 7天 B. 10天 C. 13天 D. 16天
16. 如图，
、
、
是由直线
引出的三个不重合的半平面，其中二面角
大小为60°，在二面角内绕直线旋转，圆在内，且圆在、内
的射影分别为椭圆
、
，记椭圆、的离心率分别为
、
，则
的
取值范围是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
三. 解答题
17. 如图，直四棱柱
的底面是菱形，
，
，
，
、、
分别
是
、
、
的中点.
（1）证明：
∥平面
；（2）求直线
与平面所成角的大小.
18. 已知函数
.
（1）求函数的最小正周期；（2）当
时，求函数的最大值与最小值.
19. 有一条长为120米的步行道
，是垃圾投放点
，若以
为原点，为轴正半轴建立直角坐标系，
设点
，现要建设另一座垃圾投放点
，函数
表示与
点距离最近的垃圾投放点的距离.
（1）若
，求
、
、
的值，并写出
的函数解析式；
（2）若可以通过与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利，问：垃圾投放点
建
在何处才能比建在中点时更加便利？
20. 已知椭圆
（
，
）的左右焦点分别为
、
，过的直线交椭圆于、
两点，其中△
的周长为16，且当
与轴垂直时，的长为2.（1）求椭圆的标准方程；
（2）当
时，点在轴上方，求点的坐标；
（3）若直线
交轴于，直线
交轴于，是否存在直线，使得△的面积与△
的面积
相等？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.
21. 设
为正整数，各项均为正整数的数列定义如下：
，
.
（1）若
，写出
、
、
；
（2）求证：数列单调递增的充要条件是为偶数；
（3）若为奇数，是否存在
满足
？请说明理由.
2020上海中学高三上数学周测卷01参考答案
一. 填空题
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. ①②④
9. 
10. 
11. 
12. ①③
二. 选择题
13. B 14. C 15. C 16. C
三. 解答题
17.（1）证明略；（2）
.
18.（1）
；（2）
，
.
19.（1）投放点
，
，
表示与
距离最近的投放点（即）的距离，∴
，同理分析，
，
. 由题意，
，∴分类讨论，
当
，即
时，
；当
，
即
时，
；综上，
（2）由题意，
，∴
，
与坐标轴围成的面积如阴影部分所示，
∴
，
由题意，
，即
，
解得
，即垃圾投放点建在
与
之间时，比建在中点时更加便利
20.（1）
；（2）
；（3）
.
21.（1）6、3、8；（2）证明略；（3）存在.
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