上海中学高二上期末数学试卷
2020.01
一、填空题
1. 若复数
，则
______.
2. 抛物线
的准线方程是______.
3. 椭圆
的焦距是______.
4. 已知复数
，
满足集合
，则
______.
5. 计算：
______.
6. 已知抛物线
：
，过焦点
作直线
与抛物线交于
、
两点，则
的取值范围是______.
7. 已知为双曲线
右支上的一个动点，若点到直线
的距离大于
恒成立，则实数的取值范围是______.
8. 平面上一台机器人在运行中始终保持到点
的距离比到点
的距离大2，若机器人接触不到过点
且斜率为
的直线，则的取值范围是______.
9. 
，
分别为椭圆：
的左右焦点，为椭圆上一点，且
，若关于
平分线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是______.
10. 已知一族双曲线
：
，设直线
与在第一象限内的交点为
，在的两条渐近线上的射影分别是
，
，记
的面积是
，则
______.
11. 已知点
，椭圆
上两点
，
满足
，当
______时，点横坐标的绝对值最大.
12. 已知椭圆：
左、右焦点分别为，，短轴的两个端点分别为
，
，点在椭圆上，且满足
，当变化时，给出下列四个命题：①点的轨迹关于
轴对称；②存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个；③
的最小值为2；④最大值为
，其中正确命题的序号是______.
二、选择题
13. “
”是“方程
表示焦点在
轴上的椭圆”的（ ）条件
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要
14. 双曲线
的一条渐近线与直线
垂直，则此双曲线的离心率是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
15. 给出下列四个命题：①若复数
，
满足
，则
；②若复数，满足
，则
；③若复数
满足
，则是纯虚数；④若复数满足
，则是实数，其中真命题的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
16. 已知为抛物线的焦点，点，在抛物线上且位于轴的两侧，且
（其中
是坐标原点），则
与
的面积之和的最小值是（ ）
A. 2 B. 3 C. 
D. 
三、解答题
17. 已知复数满足
，求.
18. 已知复数
（其中
是虚数单位，
）.
（1）若复数是纯虚数，求的值；
（2）求
的取值范围.
19. 假定一个弹珠（设为质点，半径忽略不计）的运行轨迹是以小球（半径
）的中心为右焦点的椭圆，已知椭圆的右端点到小球表面最近的距离是1，椭圆的左端点到小球表面最近的距离是5.
.
（1）求如图给定的坐标系下椭圆的标准方程；
（2）弹珠由点开始绕椭圆轨道逆时针运行，第一次与轨道中心的距离是
时，弹珠由于外力作用发生变轨，变轨后的轨道是一条直线，称该直线的斜率为“变轨系数”，求的取值范围，使弹珠和小球不会发生碰撞.
20. 已知曲线的参数方程是
（参数
）.
（1）曲线的普通方程；
（2）过点
的直线与该曲线交于，两点，求线段
中点
的轨迹方程.
21. 由半圆
和部分抛物线
合成的曲线称为“羽毛球形线”，且曲线经过点
.
（1）求的值；
（2）设
，
，过且斜率为的直线与“羽毛球形线”相交于，，三点，是否存在实数，使得
，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
22. 已知椭圆：经过点
，
，直线：
与椭圆相交于，两点，与圆
相切与点
.
（1）求椭圆的方程；
（2）以线段
，
为邻边作平行四边形
，若点在椭圆上，且满足
（是坐标原点），求实数
的取值范围；
（3）线段
是否为定值，如果是，求的值；如果不是，求的取值范围.
参考答案
一、填空题
1. 
2. 
3. 4 4. 1 5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 5 12. ①③
【第9题解析】设关于平分线的对称点为
，
由题意及椭圆对称性，可知
为等边三角形，
轴且经过，
∵
，∴
.
【第10题解析】设
，其中
，
为等轴双曲线，其渐近线方程为
，∴
，
∴
，
∴
.
【第11题解析】
设直线
的方程为
，
，
，
由，知
，
，
∴
，
①当
时，
，
；
②当
时，
，
此时
，
当
时，
取得最大值2；
综上，.
【第12题解析】由题意，点为椭圆：
与椭圆
：
的交点（共4个），①正确；②错误；点靠近坐标轴时（
或
），越大，点远离坐标轴时，越小，易得
时，取得最小值，此时：
，：
，两方程相加得
，即的最小值为2，③正确；椭圆上的点到中心的距离小于等于，由于点不在坐标轴上，∴
，④错误.
二、选择题
13-16：BCBB
【第15题解析】①④正确，②可利用向量理解，设、在复平面上对应点
、
，则
，反例可以是
，
；③的反例
.
【第16题解析】
，设，
，其中
，
，
，
，
，
∴
.
三、解答题
17. 
或
.
18. 
，
（1）
；（2）
.
19.（1）由题意，
：
；
（2）设
，联立与
，可求出
，
设直线方程为
，即
，
弹珠和小球不会发生碰撞，说明圆心
到直线
的距离大于圆半径1，
∴
，解得
.
20.（1）
；
（2）点差法：设
，
，
，其中
，
，
，
，由
，可得的轨迹方程为
.
21.（1）
.
（2）由题意得方程为
，代入
得：
，
所以
或
，所以点的坐标为
.
方程代入
得
，
所以或
，所以点的坐标为
.
因为，所以
，即
，即
，
解得
（负值舍去）.
因此存在实数
，使.
22. 椭圆的内准圆
（1）
；
（2）由直线与圆相切，可得
，即
，
设，，
，
，
由向量的平行四边形法则，知
且
.
（
，即
时，，关于原点对称，无法构成平行四边形）
∴
，
∵点在椭圆上，∴
，化简得
①
由，得
，代入①式，得
，
由
，得
，∴
，即
②
又
，得
③，
由①③，得
，∵
，∴
④，
由②④，得，解得
；
（3）由（2）知，
，
而
，
∴
，∴
，
∴
.
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