浦东新区第一学期教学质量
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高三数学试卷
注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚.
2. 本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.
一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.
1. 集合
,
，则
________.
2. 不等式
的解集为_________.[来源:学科网]
3. 已知函数
的反函数是
，则
_________.
4. 已知向量
，则向量
在向量
的方向上的投影为_________.
5. 已知
是虚数单位，复数
满足
，则
__________.
6. 在
的二项展开式中，
的系数是_________.
7. 某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，其中恰好有1个二等品的概率为_____________
_.
8. 已知函数
是定义在
上的偶函数，且在
上是增函数，若
，则实数
的取值范围是______________.
9. 已知等比数列
前
项和为
，则使得
的的最小值为_______.
10. 圆锥的底面半径为
，其侧面展开图是一个圆心角为
的扇形，则此圆锥的表面积为_______________.
11. 已知函数
，将
的图像向左平移
个单位得到函数
的图像，令
.如果存在实数
，使得对任意的实数
，都有
成立，则
的最小值为_________.
12. 在平面直角坐标系中，
为坐标原点，
是双曲线
上的两个动点，动点
满足：
，直线
与直线
斜率之积为
.已知平面内存在两定点
，使得
为定值，则该定值为____________.
二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.
13. 若实数
，则命题甲“
”是命题乙“
”的（ ）条件．
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分又非必要
14. 已知
中，
，
，点是
边上的动点，点
是
边上的动点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
15. 某食品的保鲜时间
（单位：小时）与储存温度（单位：
）满足函数关系
（
为自然对数的底数，
为常数）.若该食品在
的保鲜时间是
小时，在
的保鲜时间是
小时，则该食品在
的保鲜时间是( )小时．
A．
B．
C．
D．
16. 关于
的方程
恰有3个实数根
，则
（ ）．
A．
B． C．
D．
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤．
17. （本题满14分，第1小题7分，第2小题7分）
如图，在长方体
中，
，
，
.
（1）求异面直线
与
所成的角;
（2）求三棱锥
的体积.
18. （本题满14分，第1小题7分，第2小题7分）
在中，角
所对的边分别为
，已知：
，
，且
.
（1）求
；
（2）若
，且
，求
的值.
19. （本题满14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知等差数列
的公差为2，其前项和
.
（1）求
的值及的通项公式;
（2）在等比数列
中，
，令
，求数列
前
项和
.
20. （本题满16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
已知椭圆
的左、右焦点分别为
；设点
，在
中，
，周长为
.
（1）求椭圆
方程；
（2）设不经过点
的直线
与椭圆相交于
两点.若直线
与
的斜率之和为
，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；
（3）记第（2）问所求的定点为
，点
为椭圆上一个动点，试根据
面积
的不同取值范围，讨论
存在的个数，并说明理由.
21. （本题满18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知函数
的定义域为
，值域为
，即
.若
，则称在D上封闭.
（1）试分别判断函数
、
在
上是否封闭，并说明理由；
（2）函数
的定义域为
，且存在反函数
.若函数在D上封闭，且函数
在
上也封闭，求实数
的取值范围；
（3）已知函数的定义域是
，对任意
，若
，有
恒成立，则称在D上是单射.已知函数在D上封闭且单射，并且满足
，其中
.证明：存在D的真子集
，使得在所有
上封闭.
浦东新区第一学期教学质量检测
高三数学试卷 2017.12
注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚.
2. 本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.
一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.
1.集合,，则________.【答案】
2.不等式的解集为_________.【答案】
3.已知函数的反函数是，则_________.【答案】 
4.已知向量，则向量在向量上的投影为_________.【答案】
5. 已知是虚数单位，复数满足，则__________.【答案】
6. 在的二项展开式中，的系数是_________.【答案】
7. 某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从这批产品中抽取4个，其中恰好有1个二等品的概率为______________.【答案】 
8. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，则实数的取值范围是______________.【答案】
9.已知等比数列
前项和为，则使得的的最小值为________.【答案】10
10. 圆锥的底面圆半径，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的表面积为_________.【答案】
11. 已知函数，将向左平移个单位得，令，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为_________. 【答案】
12. 在平面直角坐标系中，为坐标原点.是双曲线上的两个动点，动点满足：，直线与直线斜率之积为.已知平面内存在两定点，使得为定值，则该定值大小为______.【答案】
二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.
13. 若实数
，命题甲“”是命题乙“”的（ B ）条件．
A．充分非必要 B．必要非充分
C．既充分又必要 D．既非充分又非必要
14. 已知中，，，点是边上的动点，点是边上的动点，则的最小值为（ B ）
A． B． C． D．
15. 某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系 （为自然对数的底数，
为常数），若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是( C )小时．
A． B． C． D．
16. 关于的方程恰有3个实数根
，则 （ B ）．
A． B． C． D．
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤．
17. （满分14分，第1小题7分，第2小题7分）
如图，在长方体中，
，，.
（1）求异面直线与所成的角；
（2）求三棱锥的体积.
解：（1）
是异面直线与所成的角或其补角.………2分
在等腰
中，
易得
……………………4分
即：异面直线与所成的角
……………………1分
（2）
……………………4分
……………………3分
18. （满分14分，第1小问7分，第2小问7分）
在中，角所对的边分别为，已知：，
，且；
（1）求角；
（2）若，且，求的值.
解：（1）由，∴
，……………………2分
由正弦定理得：
，……2分
∴
；
；
由
，∴
，……………………2分
∴
；……………………1分
（2）由
，∴
，∴
，∴
；……………………4分
由知，
，∴
，……………2分
∴
.……………………1分
19. （满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知等差数列的公差为2，其前项和
.
（1）求的值及的通项公式;
（2）在等比数列中，，令
，求数列
前项和。
解：（1）
[来源:Zxxk.Com][来源:学科网]
……………………3分
， 
……………………3分
（2）∵
，
∴
，
，……………………2分
当
时，
[来源:学.科.网Z.X.X.K]
……………………3分
当
时，
是偶数，
……………………3分
20. （满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
已知椭圆
的左、右焦点分别为；设点，在中，，周长为.
（2）设不经过点的直线与椭圆相交于
两点。若直线与的斜率之和为，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；
（3）记第（2）问所求的定点为，点为椭圆上一个动点，试根据
面积的不同取值范围，讨论存在的个数，并说明理由.
解：（1）由得：
，所以
………①
又周长为，所以
………②
解①②方程组，得
所以椭圆方程为
………………………4分
（2）设直线方程：
，交点
………………………1分
…………………………1分
………………………………………1分
依题：
即：
…………………………1分
……………………………………………………………1分
过定点
…………………………………………1分
（3）
，
………………………1分
设直线
与椭圆相切，
……………………1分
得两切线到的距离分别为
………………………1分
当
时，个数为0个
当
时，个数为1个
当
时，个数为2个
当
时，个数为3个
当
时，个数为4个……………………3分
21. （满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知函数的定义域为，值域为，即.
若，则称在D上封闭.
（1）试分别判断函数
、函数
在上是否封闭，并说明理由；
（2）函数的定义域为，且存在反函数.若函数在D上封闭，且函数在上也封闭，求的取值范围；
（3）已知函数的定义域是，对任意
，若，有恒成立，则称在D上是单射.已知函数在D上封闭且单射，并且满足,其中
.证明：存在D的真子集，使得在所有
上封闭.
解：（1）因为函数
的定义域为
，值域为
，（取一个具体例子也可），所以
在上不封闭.…………………………（结论和理由各1分）
在上封闭。……………………（结论和理由各1分）
（2）函数在D上封闭，则
.
函数在
上封闭，则
，
得到：
.…………………………………………（2分）
在单调递增.
则
在
两不等实根．…………（1分）[来源:学*科*网Z*X*X*K]
，
故
，解得
． …………（3分）
另解：在两不等实根．
令
在
有两个不等根，画图，由数形结合可知，
解得．
（3）如果
，则
，与题干矛盾.
因此
。取
，则
.…………………………（2分）
接下来证明
。
因为是单射，因此取一个
，则
是唯一的使得
的根，换句话说
.……………………………………………………（2分）
考虑到，即
，
因为是单射，则
这样就有了.………………………………………………（3分）
接着令
，并重复上述论证证明
.…………（1分）
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