华东师大二附中2019届高二数学10月月考试卷
时间：90分钟满分：100分
一、填空题
1、直线
的单位方向向量为 ．
2、已知
，且
与
的夹角为锐角，则实数
的取值范围是 ．
3、若直线l过点
，且与直线
的夹角为
，则直直线l的方程是 ．
4、若直线
与直线
的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是 ．
5、已知直线
．若直线
与
关于
对称，则的方程为 ．
6、函数
的最小值为 ．
7、在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，M是直线DE上的动点.若△ABC的面积为1，则
的最小值 ．
8、如图同心圆中，大、小圆的半径分别为2和1，点P在大圆上，PA与小圆相切于点A，Q为小圆上的点，则
的取值范围是 ．
9、已知平面上三个不同的单位向量
满足
，若
为平面内的任意单位向量，则
的最大值为 ．
10、在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x，y)为整点，下列命题中正确的是 （写出所有正确命题的编号）．
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；
②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点；
③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；
④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数；
⑤存在恰经过一个整点的直线．
二、选择题
11.已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，O为△ABC内一点，则满足下列四个条件：
①
；② 
；
③
；④
的点O依次为△ABC的（ ）
A. 外心、内心、垂心、重心 B. 内心、外心、垂心、重心
C. 垂心、内心、重心、外心 D. 内心、垂心、外心、重心
12.如图，在同一平面内，点P位于两平行直线
同侧，且P到的距离分别为1，3．点M，N分别在上，
，则
的最大值为（ ）
A.15 B.12 C.10 D.9
13.如图所示，∠BAC=
，圆M与AB，AC分别相切于点D，E，AD=1，点P是圆M及其内部任意一点，且
，则
的取值范围是（ ）
A.
B. 
Ｃ. 
Ｃ. 
14、已知点M(a，b)与点N(0，-1)在直线3x-4y+5=0的两侧，给出以下结论：①
：②当a>0时，a+b有最小值，无最大值；③
；④当a>0且a≠1时，
的取值范围是
．正确的个数是（ ）
A. 1 B.2 C.3 D.4
15、在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为
；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为
.若
分别为
的最小值、最大值，其中
,
,则满足（ ）.
A. 
B. 
C. 
D. 
三、解答题
16、已知直线
及点P(3，4)，问：
(1)直线l是否经过某个定点？若经过，求该定点的坐标；若不经过，说明理由；
(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程．
17、如图所示，∠PAQ是某海湾旅游区的一角，其中∠PAQ=120°，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸AP和AQ上分别修建观光长廊AB和AC，其中AB是宽长廊，造价是800元/米，AC是窄长廊，造价是400元/米，两段长廊的总造价为 120万元，同时在线段BC上靠近点B的三等分点D处建一个观光平台，并建水上直线通道AD（平台大小忽略不计），水上通道的造价是1000元/米
(1)若规划在三角形ABC区域内开发水上游乐项目，要求△ABC的面积最大，那么AB和AC的长度分别为多少米？
(2)在(1)的条件下，建直线通道AD还需要多少钱？
18、定义“矩阵”的一种运算
,该运算的意义为点(x，y)在矩阵的变换下成点
.设矩阵
(1)已知点P在矩阵A的变换后得到的点Q的坐标为
，试求点P的坐标；
(2)是否存在这样的直线：它上面的任一点经矩阵A变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这样的直线；若不存在，说明理由．
19小郭是一位热爱临睡前探究数学问题的同学，在学习向量三点共线定理时，我们知道当P、A、B三点共线，O为直线外一点，且
时，x+y=1（如图1)第二天，小郭提出了如下三个问题，请同学帮助小郭解答.
(1)当x+y>1或x+y<1时，O、P两点的位置与AB所在直线之间存在什么关系？写出你的结论，并说明理由
(2)如图2，射线OM∥AB，点P在由射线OM、线段OA及BA的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且，求实数x的取值范围，并求当
时，实数y的取值范围.
(3)过O作AB的平行线，延长AO、BO，将平面分成如图3所示的六个区域，且，请分别写出点P在每个区域内运动（不含边界）时，实数x，y应满足的条件.（不必证明）
参考答案：
一、填空题
1、
；2、
；3、
或
；4、
；
5、
；6、
；7、
；8、
；9、
；10、①③⑤．
二、选择题
11、D；12、A；13、B；14、B；15、D．
三、解答题
16、（1）
（2）
.
17、（1）AB长为750m，AC长为1500m；（2）50万．
18、（1）
；（2）
或
．
19、（1）若
，则O、P异侧；若
，则O、P同侧；
（2）
（3）Ⅰ：
；Ⅱ：
；Ⅲ：
；Ⅳ：
；Ⅴ：
；Ⅵ：
．
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