第一学期高二数学质量抽查试卷
一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1、方程组
的增广矩阵为____________
2、抛物线
的准线方程是_______
3、计算：
=_______
4、已知直线
过点
，则行列式
的值为__________
5、（宝山中学学生做）在直角坐标系
中，已知曲线
（
为参数）与曲线
（
为参数，
）有一个公共点在
轴上，则
等于_____
（外校学生做）已知复数：
（
为虚数单位），复数
满足
，则
=______
6、已知双曲线与椭圆
有相同的焦点，且双曲线的渐进线方程为
，则此双曲线方程为_________
7、若抛物线
的焦点与双曲线
的焦点重合，则=_____
8、设
是双曲线
的两个焦点，
在双曲线上，且
，则
=______
9、设
，圆
的面积为
，则
=______
10、在
中，
，
，
，
为线段
上任一点（包含端点），则
的最大值为______
11、（宝山中学学生做）直线
与圆
相交于
两点，且两点关于直线
对称，则关于
不等式组
所表示平面区域的面积是______
（外校学生做）直线与圆相交于两点，且两点关于直线对称，则
的值是_____
12、椭圆
上任意两点，若
，则乘积
的最小值为______
二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13、已知直线
与直线
，“
”是“
的方向向量是
的法向量”的（ ）
A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件
14、已知点
和点
，动点
满足
，则点的轨迹方程是（ ）
A、
B、
C、
D、
15、若数列
的通项公式
，前n项和为，则下列结论中（ ）
A、
不存在 B、
C、
或
D、
16、已知抛物线
的焦点
为双曲线
的焦点
，经过这两条曲线的交点的直线恰好过点，则
的值为（ ）
A、
B、
C、
D、
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17、已知
，
，其中
分别为轴正方向单位向量
（1）若
，求
与
的夹角
（2）若
，求实数的值
18、在直角坐标系中，动点到两点
的距离之和等于4，设动点的轨迹为曲线
（1）写出曲线的方程
（2）若直线
与曲线有交点，求实数的取值范围
19、已知数列的前n项和为，
（
且
，）
（1）求证：数列是等比数列
（2）若
，求实数的取值范围
20、已知双曲线
的一个焦点是
，且
（1）求双曲线的方程
（2）设经过焦点
的直线
的一个法向量为
，当直线与双曲线的右支相交于不同的两点
时，求实数的取值范围
（3）设（2）中直线与双曲线的右支相交于两点，问是否存在实数，使得
为锐角？若存在，请求出的范围；若不存在，请说明理由
21、已知椭圆
的焦点和上顶点分别为
，定义：
为椭圆的“特征三角形”，如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，那么称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比，已知点
是椭圆
的一个焦点，且
上任意一点到它的两焦点的距离之和为4
（1）若椭圆
与椭圆相似，且与的相似比为2：1，求椭圆的方程（5分）
（2）已知点
是椭圆上的任意一点，若点
是直线
与抛物线
异于原点的交点，证明：点一定在双曲线
上（6分）
（3）已知直线
，与椭圆相似且短半轴长为
的椭圆为
，是否存在正方形
，（设其面积为
），使得
在直线上，
在曲线上？若存在，求出函数
的解析式及定义域；若不存在，请说明理由（7分）
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