高三数学拓展课01
一、填空题（1-6题每题4分，7-12题每题5分）
1. 已知全集
，集合
，则集合
____________.
2. 已知函数
，则方程
的解
____________.
3. 已知线性方程组的增广矩阵为
，若该线性方程组的解为
，则实数
____________.
4. 无穷等比数列
的前
项的和是
，且
，则首项
的取值范围是____________.
5. 已知虚数
满足
，则
____________.
6. 
展开式的二项式系数之和为256，则展开式中
的系数为____________.
7. 已知
的内角
、
、
所对应边的长度分别为
、
、
，若
，则角的大小是____________.
8. 学校有两个食堂，现有3名学生前往就餐，则三个人不在同一个食堂就餐的概率是____________.
9. 若数
的标准差为2，则数
的方差为____________.
10. 如图，在矩形
中，点
、
分别在线段
、
上，且满足
，若
，则
____________.
11. 已知
，当
时不等式
恒成立，则实数的最大值是____________.
12. 已知
是定义在
上的奇函数，当
时，
，当
时，
，若直线
与函数
的图像恰有11个不同的公共点，则实数
的取值范围为____________.
二、选择题（每题5分）
13. 下列四个命题中，为真命题的是（ ）
A. 若
，则
B. 若
，则
C. 若
，则
D. 若，则
14. 下列函数中，既是奇函数，又在区间
上递增的是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
15. 设
是两个单位向量，其夹角为
，则“
”是“
”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
16. 设
是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
三、解答题
17. （本题满分14分，第1小题8分，第2小题6分）
如图，某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型，先用木料搭边框，再用其他材料填充。已知金字塔的每一条棱和边都相等。
（1）求证：直线
垂直于直线
；
（2）若搭边框共使用木料24米，则需要多少立方米的填充材料才能将整个金字塔内部填满？
18. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知函数
，其中
；
（1）根据的不同取值，讨论的奇偶性，并说明理由；
（2）已知
，函数的反函数为
，若函数
在区间
上的最小值为
，求函数在区间上的最大值
19. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知椭圆
的焦距为
，且右焦点与短轴的两个端点组成一个正三角形。若直线
与椭圆交于
、
，且在椭圆上存在点
，使得
（其中
为坐标原点），则称直线具有性质
。
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线垂直于轴，且具有性质，求直线的方程
20. （本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
已知，函数
；
（1）当
时，解不等式
；
（2）若关于的方程
的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；
（3）设，若对任意
，函数在区间
上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围
21. （本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知函数
，若存在常数
，对任意
都有
，则称函数为
倍周期函数；
（1）判断
是否是倍周期函数，说明理由；
（2）证明
是倍周期函数，且的值是唯一的；
（3）若
是2倍周期函数，
，表示
的前项和，
，若
恒成立，求的取值范围
参考答案
1、
2、1
3、2
4、
5、
6、-56
7、
8、
9、36
10、
11、-2
12、
13-16、CCAC
17、（1）证明略；（2）
18、（1）当
时，为偶函数，当
时，为非奇非偶函数；（2）
19、（1）
；（2）
或
20、（1）
；（2）
或
或
；（3）
21、（1）不是；（2）
；（3）
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