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上海市建平中学西校2018-2019学年九年级（上）月考数学试卷（12月份）

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）

1. 如果两个相似三角形对应中线之比是1：4，那么它们的周长之比是（　　）

   A. 1：2 B. 1：4 C. 1：8 D. 1：16

2. 在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判定DE∥BC的是（　　）

   A. B. C. D.

3. 在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，BC=1，AB=2，那么下列结论正确的是（　　）

   A. B. C. D.

4. 下列命题正确的是（　　）

   A. 三点确定一个圆
   B. 直角三角形外接圆的圆心在斜边上
   C. 相等的圆心角所对的弧相等
   D. 长度相等的弧是等弧

5. 已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　）

   A.
   B. 当时，
   C.
   D. 当时，函数值y随着x的增大而增大
   

1. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，如果AE：EC=1：4，那么S_△ADE：S_△EBC=（　　）

   A. 1：24
   B. 1：20
   C. 1：18
   D. 1：16
   
   

二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如果=，那么的值等于______．

2. 已知线段MN的长为2厘米，点P是线段MN的黄金分割点，那么较长的线段MP的长是______厘米．

3. 如图，直线AD∥BE∥CF，，DE=6，那么EF的值是______．
   
   
   

1. 抛物线y=2（x-1）²-1的顶点坐标是______．

2. 如果将抛物线y=x²+2x-1向上平移，使它经过原点，那么所得抛物线的表达式是______．

3. 二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=2，若此抛物线与x轴的一个交点为（6，0），则抛物线与x轴的另一个交点坐标是______．
   
   
   
   
   

1. 已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1：2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为______米．

2. 如图，正方形DEFG内接于Rt△ABC，∠C=90°，AC=2，BC=4，则正方形DEFG的边长为______．
   
   

1. 如图，已知DE∥BC，且DE经过△ABC的重心G，若=，那么=______．
   
   
   

1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，tan∠ACD=，AB=5，那么CD的长是______．
   
   
   

1. 在△ABC中，AB=AC=5，（如图）．如果圆O的半径为，且经过点B，C，那么线段AO的长等于______．
   
   
   

1. 如图，等边△ABC中，D是边BC上的一点，且BD：DC=1：3，把△ABC折叠，使点A落在边BC上的点D处，那么的值为______．
   
   

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

1. 计算：|1-sin30°|+cot30°•tan60°+．
   
   
   
   
   
   
   

2. 已知二次函数y=-2x²+bx+c的图象经过点A（0，4）和B（1，-2）．
   （1）求此函数的解析式；并运用配方法，将此抛物线解析式化为y=a（x+m）²+k的形式；
   （2）写出该抛物线顶点C的坐标，并求出△CAO的面积．
   
   
   
   
   
   
   

3. 已知：如图，⊙O的半径为5，P为O外一点，PB、PD与⊙O分别交于点A、B和点C、D，且PO平分∠BPD．
   （1）求证：CB=AD；
   （2）当PA=1，∠BPO=45°时，求PO的长．
   
   
   
   

1. 如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是26.6°，向前走30米到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是45°和33.7°，求该电线杆PQ的高度（结果精确到1米）
   （备用数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50，cot26.6°=2.00；sin33.7°=0.55，cos33.7°=0.83，tan33.7°=0.67，cot33.7°=1.50）

   
   

   
   
   
   
   
   
   
   

2. 如图，在△ABC中，AC=BC，∠BCA=90°，点E是斜边AB上的一个动点（不与A、B重合），作EF⊥AB交边BC于点F，联结AF、EC交于点G．
   （1）求证：△BEC∽△BFA；
   （2）若BE：EA=1：2，求∠ECF的余弦值．
   
   
   

1. 如图，抛物线y=x²+x+c与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB，点C（6，）在抛物线上，直线AC与y轴交于点D．
   （1）求c的值及直线AC的函数表达式；
   （2）点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点．
   ①求证：△APM∽△AON；
   ②设点M的横坐标为m，求AN的长（用含m的代数式表示）．
   
   

1. 如图，△ABC中，BA=BC=10，BF⊥AC，垂足为F，tan∠ABF=，点D为射线BC上的点（不与点B重合），联结AD交射线BF于点E，联结CE．
   （1）求∠ABC的余弦值；
   （2）当点D在线段BC上时，设BD=x，△DEC面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
   （3）若△DEC为直角三角形，求线段BD长度（直接写出答案）

   
   

   
   
   
   
   
   
   
   
   

   答案和解析

   1.【答案】B
   【解析】

   解：∵两个相似三角形对应中线之比是1：4， 
   ∴它们的相似比为1：4， 
   ∴它们的周长之比是1：4． 
   故选：B．
   由两个相似三角形对应中线之比是1：4，根据相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比，可求得其相似比，又由相似三角形的周长比等于相似比，求得答案．
   此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比．

   2.【答案】D
   【解析】

   解：∵=，∴DE∥BC，选项A不符合题意；
   ∵=，∴DE∥BC，选项B不符合题意；
   ∵=，∴DE∥BC，选项C不符合题意；
   =，DE∥BC不一定成立，选项D符合题意．
   故选：D．
   根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．
   本题考查平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边

   3.【答案】D
   【解析】

   解：如图所示：
   ∵∠ACB=90°，BC=1，AB=2，
   ∴AC=，
   ∴sinA=，故选项A错误；
   tanA==，故选项B错误；
   cosB=，故选项C错误；
   cotB=，正确．
   故选：D．
   直接利用锐角三角函数关系分别求出即可．
   此题主要考查了锐角三角函数关系，正确记忆相关比例关系是解题关键．

   4.【答案】B
   【解析】

   解：A不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误； 
   B、直角三角形外接圆的圆心在斜边上，正确； 
   C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误； 
   D、长度相等的弧不一定是等弧，故错误， 
   故选：B．
   利用等弧的定义、确定圆的条件、圆周角定理及直角三角形外接圆的知识分别判断后即可确定正确的选项．
   本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够了解等弧的定义、确定圆的条件、圆周角定理及直角三角形外接圆的知识，难度不大．

   5.【答案】D
   【解析】

   解：（A）由图象可知a＞0，c＜0，
   ∴ac＜0，故A错误；
   （B）x＞-1时，y不一定小于0，故B错误；
   （C）由对称轴可知：，
   ∴b=-2a，故（C）错误；
   （D）当x＞1时，
   由图象可知：y随着x的增大而增大，故D正确；
   故选：D．
   根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
   本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．

   6.【答案】B
   【解析】

   解：∵=，
   ∴=，
   ∴S_△ABE=S_△EBC，
   ∵DE∥BC，
   ∴==，
   ∴=，
   ∴S_△BDE=4S_△ADE，
   又∵S_△BDE=S_△ABE-S_△ADE，
   ∴4S_△ADE=S_△EBC-S_△ADE，
   ∴=，
   故选：B．
   由已知条件可求得，又由平行线分线段成比例可求得，结合S_△BDE=S_△ABE-S_△ADE可求得答案．
   本题主要考查平行线分线段成比例的性质及三角形的面积，掌握同高三角形的面积比即为底的比是解题的关键．

   7.【答案】
   【解析】

   解：由=，得a=．
   当a=时，===，
   故答案为：．
   根据比例的性质，可用b表示a，根据分式的性质，可得答案．
   本题考查了比例的性质，利用了比例的性质，分式的性质．

   8.【答案】（-1）
   【解析】

   解：∵点P是线段MN的黄金分割点，
   ∴较长的线段MP的长=MN=×2=（-1）cm．
   故答案为（-1）．
   直接根据黄金分割的定义求解．
   本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．

   9.【答案】4
   【解析】

   解：∵AD∥BE∥CF，，
   ∴=，
   即，
   解得：EF=4
   故答案为：4．
   根据平行线分线段成比例定理得到，即可得出结果．
   本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

   10.【答案】（1，-1）
   【解析】

   解：∵y=2（x-1）²+1， 
   ∴抛物线顶点坐标为（1，-1）， 
   故答案为：（1，-1）．
   由抛物线解析式可求得其顶点坐标．
   本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）²+k中，对称轴为直线x=h，顶点坐标为（h，k）．

   11.【答案】y=x²+2x
   【解析】

   解：y=x²+2x-1向上平移，使它经过原点y=x²+2x， 
   故答案为：y=x²+2x．
   根据图象向上平移加，可得答案．
   本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．

   12.【答案】（-2，0）
   【解析】

   解：（6，0）关于x=2的对称点是（-2，0）． 
   故答案是（-2，0）．
   求出点（6，0）关于x=2的对称点即可．
   本题考查了二次函数的性质，理解二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称是关键．

   13.【答案】26
   【解析】

   解：如图，由题意得：斜坡AB的坡度：i=1：2.4，AE=10米，AE⊥BD，
   ∵i==，
   ∴BE=24米，
   ∴在Rt△ABE中，AB==26（米）．
   故答案为：26．
   首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案．
   此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解坡度的定义．

   14.【答案】
   【解析】

   解：过C作 CM⊥AB于M交DG于N，
   ∵∠C=90°，AC=2，BC=4，
   ∴AB=2，
   ∴CM===，
   ∵四边形DEFG是正方形，
   ∴DG∥AB，
   ∴△CDG∽△CAB，
   ∴=，
   ∴=，
   ∴DG=，
   故答案为：．
   过C作CM⊥AB于M交DG于N，根据勾股定理得到AB=2，根据三角形的面积公式得到CM===，根据相似三角形的性质即可得到结论．
   本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．

   15.【答案】
   【解析】

   解：如图，连接AG，延长AG交BC于H．
   
   ∵G是△ABC的重心，
   ∴AG=2GH，
   ∴AG：AH=2：3，
   ∵DE∥BC，
   ∴===，
   ∴DE=BC，
   ∴=，
   ∴DE=，
   故答案为．
   如图，连接AG，延长AG交BC于H．利用重心的性质，由DE∥BC，可得===，由此即可解决问题．
   本题考查三角形的重心，平面向量，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

   16.【答案】
   【解析】

   解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
   ∴∠ACD+∠BCD=∠BCD+∠B=90°，
   ∴∠B=∠ACD，
   ∵tan∠ACD=，
   ∴tan∠B==，
   设AC=3x，BC=4x，
   ∵AC²+BC²=AB²，
   ∴（3x）²+（4x）²=5²，
   解得：x=1，
   ∴AC=3，BC=4，
   ∵S_△ABC=，
   ∴CD==，
   故答案为：．
   根据余角的性质得到∠B=∠ACD，由tan∠ACD=，得到tan∠B==，设AC=3x，BC=4x，根据勾股定理得到AC=3，BC=4，根据三角形的面积公式即可得到结论．．
   本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积公式，熟记三角形的面积公式是解题的关键．

   17.【答案】3或5
   【解析】

   解：分两种情况考虑：
   
   （i）如图1所示，
   ∵AB=AC，OB=OC，
   ∴AO垂直平分BC，
   ∴OA⊥BC，D为BC的中点，
   在Rt△ABD中，AB=5，cos∠ABC=，
   ∴BD=3，
   根据勾股定理得：AD==4，
   在Rt△BDO中，OB=，BD=3，
   根据勾股定理得：OD==1，
   则AO=AD+OD=4+1=5；
   （ii）如图2所示，
   ∵AB=AC，OB=OC，
   ∴AO垂直平分BC，
   ∴OD⊥BC，D为BC的中点，
   在Rt△ABD中，AB=5，cos∠ABC=，
   ∴BD=3，
   根据勾股定理得：AD==4，
   在Rt△BDO中，OB=，BD=3，
   根据勾股定理得：OD==1，
   则OA=AD-OD=4-1=3，
   综上，OA的长为3或5．
   故答案为：3或5
   分两种情况考虑：（i）如图1所示，由AB=AC，OB=OC，利用线段垂直平分线逆定理得到AO垂直平分BC，在直角三角形ABD中，由AB及cos∠ABC的值，利用锐角三角函数定义求出BD的长，再利用勾股定理求出AD的长，在直角三角形OBD中，由OB与BD的长，利用勾股定理求出OD的长，由AD+DO即可求出AO的长；（ii）同理由AD-OD即可求出AO的长，综上，得到所有满足题意的AO的长．
   此题考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，以及直角三角形的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．

   18.【答案】
   【解析】

   解：∵BD：DC=1：3，
   ∴设BD=a，则CD=3a，
   ∵△ABC是等边三角形，
   ∴AB=BC=AC=4a，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
   由折叠的性质可知：MN是线段AD的垂直平分线，
   ∴AM=DM，AN=DN，
   ∴BM+MD+BD=5a，DN+NC+DC=7a，
   ∵∠MDN=∠BAC=∠ABC=60°，
   ∴∠NDC+∠MDB=∠BMD+∠MBD=120°，
   ∴∠NDC=∠BMD，
   ∵∠ABC=∠ACB=60°，
   ∴△BMD∽△CDN，
   ∴（BM+MD+BD）：（DN+NC+CD）=AM：AN，
   即AM：AN=5：7，
   故答案为．
   由BD：DC=1：3，可设BD=a，则CD=3a，根据等边三角形的性质和折叠的性质可得：BM+MD+BD=5a，DN+NC+DC=7a，再通过证明△BMD∽△CDN即可证明AM：AN的值．
   本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

   19.【答案】解：|1-sin30°|+cot30°•tan60°+．
   =|1-|+××+，
   =++，
   =-2．
   【解析】

   
   利用特殊角的三角函数值及二次根式的混合运算的顺序求解即可．
   本题主要考查了二次根式的混合运算及特殊角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值及二次根式的混合运算的顺序．

   20.【答案】解：（1）将A（0，4）和B（1，-2）代入y=-2x²+bx+c，
   得，
   解得，
   所以此函数的解析式为y=-2x²-4x+4；
   y=-2x²-4x+4=-2（x²+2x+1）+2+4=-2（x+1）²+6；
   
   （2）∵y=-2（x+1）²+6，
   ∴C（-1，6），
   ∴△CAO的面积=×4×1=2．
   【解析】

   
   （1）将A（0，4）和B（1，-2）代入y=-2x²+bx+c求得b，c的值，得到此函数的解析式；再利用配方法先提出二次项系数，然后加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式； 
   （2）由顶点式可得顶点C的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△CAO的面积．
   本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数解析式的三种形式，二次函数的性质以及三角形的面积，难度适中．正确求出函数的解析式是解题的关键．

   21.【答案】解：（1）如图，作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA，OC．
   
   ∵OP平分∠BPD，OM⊥PB．ON⊥PD，
   ∵OM=ON，
   ∵∠OMA=∠ONC=90°，OA=OC，OM=ON，
   ∴Rt△ONA≌Rt△ONC（HL），
   ∵AM=CN，
   ∵OM⊥AB，ON⊥CD，
   ∴AM=MB，CN=DN，
   ∴AB=CD．
   
   （2）在Rt△OPM中，∵∠OMP=90°，∠OPB=45°，
   ∴∠MPO=∠OPOM=45°，
   ∴OM=PM，设OM=PM=x，
   在Rt△OAM中，∵OA²=AM²+OM²，
   ∴5²=（x-1）²+x²，
   ∴x=4或-3（舍弃），
   ∴OM=PM=4，OP=4．
   【解析】

   
   （1）作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA，OC．由Rt△ONA≌Rt△ONC（HL），推出AM=CN，再利用垂径定理即可证明． 
   （2）设OM=PM=x，在Rt△OAM中，根据OA²=AM²+OM²，构建方程即可解决问题．
   本题考查圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．

   22.【答案】解：延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米．
   在直角△ABE中，∠PBE=45°，
   则BE=PE=x米；
   ∵∠PAE=26.6°
   在直角△APE中，AE=PE•cot∠PAE≈2x，
   ∵AB=AE-BE=30米，
   则2x-x=30，
   解得：x=30．
   则BE=PE=30米．
   在直角△BEQ中，QE=BE•tan∠QBE=30×tan33.7°=30×0.67≈20.1米．
   ∴PQ=PE-QE=30-20=10（米）．
   答：电线杆PQ的高度是10米．
   【解析】

   
   延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．
   本题考查解直角三角形的应用，注意掌握当两个直角三角形有公共边时，先求出这条公共边的长是解答此类题的一般思路．

   23.【答案】解：（1）∵在△ABC中，AC=BC，∠BCA=90°，
   ∵EF⊥AB，
   ∴∠BEF=90°，
   ∵∠B=∠B，
   ∴△BEF∽△ABC，
   ∴，
   ∴△△BEC∽△BFA；
   
   （2）∵BE=EF，BE：EA=1：2，
   ∴，
   ∴tan∠EAF=，
   设EF=k，AE=2k，
   ∴AF=，
   ∵△BEC∽△BFA，
   ∴∠BAF=∠BCE，
   ∴cos∠ECF=cos∠EAF==．
   【解析】

   
   （1）根据已知条件得到△BEF∽△ABC，根据相似三角形的性质得到，根据相似三角形判定定理即可得到结论；
   （2）由已知条件的，根据三角函数的定义得到tan∠EAF=，根据相似三角形的性质得到∠BAF=∠BCE，即可得到结论．
   本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．

   24.【答案】解：
   （1）把C点坐标代入抛物线解析式可得=9++c，解得c=-3，
   ∴抛物线解析式为y=x²+x-3，
   令y=0可得x²+x-3=0，解得x=-4或x=3，
   ∴A（-4，0），
   设直线AC的函数表达式为y=kx+b（k≠0），
   把A、C坐标代入可得，解得，
   ∴直线AC的函数表达式为y=x+3；
   
   （2）①∵在Rt△AOB中，tan∠OAB==，在RtAOD中，tan∠OAD==，
   ∴∠OAB=∠OAD，
   ∵在Rt△POQ中，M为PQ的中点，
   ∴OM=MP，
   ∴∠MOP=∠MPO，且∠MOP=∠AON，
   ∴∠APM=∠AON，
   ∴△APM∽△AON；
   ②如图，过点M作ME⊥x轴于点E，则OE=EP，
   
   ∵点M的横坐标为m，
   ∴AE=m+4，AP=2m+4，
   ∵tan∠OAD=，
   ∴cos∠EAM=cos∠OAD=，
   ∴=，
   ∴AM=AE=，
   ∵△APM∽△AON，
   ∴=，即=，
   ∴AN=．
   【解析】

   
   （1）把C点坐标代入抛物线解析式可求得c的值，令y=0可求得A点坐标，利用待定系数法可求得直线AC的函数表达式； 
   （2）①在Rt△AOB和Rt△AOD中可求得∠OAB=∠OAD，在Rt△OPQ中可求得MP=MO，可求得∠MPO=∠MOP=∠AON，则可证得△APM∽△AON； 
   ②过M作ME⊥x轴于点E，用m可表示出AE和AP，进一步可表示出AM，利用△APM∽△AON可表示出AN．
   本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角函数的定义、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质及方程思想等知识．在（1）中注意函数图象上的点的坐标满足函数解析式，以及待定系数法的应用，在（2）①中确定出两对对应角相等是解题的关键，在（2）②中用m表示出AP的长是解题的关键，注意利用相似三角形的性质．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．

   25.【答案】解：（1）作AN⊥BC于N，如图1所示：
   ∵tan∠ABF==，
   ∴BF=2AF，设AF=x，则BF=2x，
   ∵BF⊥AC，BA=BC=10，
   ∴AF=CF，
   由勾股定理得：x²+（2x）²=10²，
   解得：x=2，
   ∴AF=2，BF=4，AC=4，
   ∵△ABC的面积=BC×AN=AC×BF，
   ∴10AN=4×4，
   ∴AN=8，
   在Rt△ABN中，由勾股定理得：BN===6，
   ∴∠ABC的余弦值为cos∠ABC===；
   （2）延长BF至G，使GF=BF=4，连接AG、CG，过点A作AN⊥BC于N，过点E作EM⊥BC于M，如图2所示：
   则EM∥AN，
   ∴=，
   ∴=，即=①，
   ∵AF=CF，BF=GF，
   ∴四边形ABCG是平行四边形，
   ∵BF⊥AC，
   ∴四边形ABCG是菱形，
   ∴AG=BC=10，AG∥BC，
   ∴=②，
   由①②得：=，
   即=，
   解得：EM=，
   ∴△DEC面积为y=CD×EM=（10-x）×=，
   即△DEC面积y关于x的函数解析式为y=（0＜x＜10）；
   （3）分两种情况：①点D在线段BC上，
   当∠CDE=90°时，
   由（1）得：BD=6；
   当∠CED=90°时，延长BF至G，使GF=BF=4，连接AG、CG，如图2所示：
   则∠AEC=90°，
   同（2）得：四边形ABCG是菱形，
   ∴AG=BC=10，AG∥BC，AE=CE，GF=BF=4，
   ∴EG=EF+GF=6，
   ∴=，△AEF是等腰直角三角形，
   ∴EF=AF=2，
   ∴BE=BF-EF=2，
   ∴==，
   解得：BD=；
   ②当点P在线段BC的延长线上，
   当∠ECD=90°时，延长BF至G，使GF=BF=4，连接CG，如图3所示：
   则四边形ABCG是菱形，∠BCE=90°，
   ∴AG=BC=10，
   ∵菱形是轴对称图形，
   ∴△ABE≌△CBE，
   ∴∠BAE=∠BCE=90°，
   由（1）得：cos∠ABC==，即=，
   ∴BD=；
   当∠CED=90°时，如图4所示：
   同①得：AG=10，BE=6，GE=2，=，
   即=，
   解得：BD=30；
   综上所述，当△DEC是直角三角形时，线段BD的长为6或或或30．
   【解析】

   
   （1）作AN⊥BC于N，由三角函数得出BF=2AF，设AF=x，则BF=2x，关键勾股定理去AF=2，BF=4，AC=4，由三角形面积求出AN=8，由勾股定理求出BN=6，即可得出结果；
   （2）延长BF至G，使GF=BF=4，连接AG、CG，过点A作AN⊥BC于N，过点E作EM⊥BC于M，则EM∥AN，由平行线分线段成比例定理得出=①，证出四边形ABCG是菱形，得出AG=BC=10，AG∥BC，得出=②，由①②得出=，求出EM=，即可得出结果；
   （3）分两种情况：①点D在线段BC上，当∠CDE=90°时，由（1）得出BD=6；当∠CED=90°时，延长BF至G，使GF=BF=4，连接CG，则∠AEC=90°，同（2），由平行线得出=，在△AEF是等腰直角三角形，得出EF=AF=2，BE=BF-EF=2，即可求出BD的长；
   ②当点P在线段BC的延长线上，当∠ECD=90°时，延长BF至G，使GF=BF=4，连接CG，则四边形ABCG是菱形，结合三角函数求出BD的长；当∠CED=90°时，同①得：AG=10，BE=6，GE=2，=，代入比例式计算即可．
   本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、三角函数、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形面积公式等知识；本题综合性强，注意分类讨论．