03 万有引力与航天
一、选择题3～4个
1．(单选+原创)2017年3月16日消息，高景一号卫星发回清晰影像图，可区分单个树冠。若该卫星在地面上未发射时的质量为m，重力为G0，它在离地面的距离等于地球半径R的圆形轨道上运行时的 ( )
A．线速度为
B．角速度为
C．周期为4π
D．向心加速度
1．B 解析：由万有引力提供向心力，则有Gr2(Mm)＝mr(v2)＝mT2(4π2)r＝ma，由题意可知，r＝2R，该卫星在地面上未发射时的质量为m，重力为G0，根据万有引力等于重力得GM＝gR2＝m(G0)R2，分别解得线速度为 
，角速度为 
，周期T＝4π
，向心加速度
，故B正确，A、C、D错误。
2．(多选+原创)2019年1月15日，中央电视台发布的一张照片显示，停留在月球上的“嫦娥四号”月球探测器上的一颗棉花籽已经发芽，这标志着人类首次在月球上进行生物实验。如图所示，前期“嫦娥四号”在环月圆轨道Ⅰ上的A点实施变轨，接着进入近月的椭圆轨道Ⅱ，再由近月点B成功落月，下列说法正确的是 ( )
A．“嫦娥四号”沿轨道Ⅱ运行的周期大于沿轨道Ⅰ运行的周期
B．“嫦娥四号”沿轨道Ⅰ运动至A时，需制动减速才能进入轨道Ⅱ
C．“嫦娥四号”沿轨道Ⅱ运行时，在A点的加速度大于在B点的加速度
D．“嫦娥四号”在轨道Ⅱ上由A点运行到B点的过程，速度逐渐增大
2．BD 解析：轨道Ⅱ的半长轴小于轨道I的半径，根据开普勒第三定律可知嫦娥四号沿轨道Ⅱ运行的周期小于沿轨道I运行的周期，选项A错误；在轨道I上运动，从A点开始变轨，可知嫦娥四号做向心运动，在A点应该制动减速，以减小运动所需要的向心力，通过做向心运动减小轨道半径，选项B正确；在轨道Ⅱ上运动时，卫星只受万有引力作用，在A点时的万有引力比B点的小，故A点的加速度小于在B点的加速度，选项C错误；根据开普勒第二定律可知，知在轨道Ⅱ上由A点运行到B点的过程中，速度逐渐增大，选项D正确。
A．“开普勒452b”的第一宇宙速度
B．“开普勒452b”环绕的恒星质量
C．“开普勒452b”的自转周期
D．“开普勒452b”平均密度与地球平均密度之比
3．AD 解析：根据题设条件可求得地球的第一宇宙速度为
，因为已知“开普勒452b”与地球的半径之比为1.6，表面重力加速度之比为2，故可求得“开普勒452b”的第一宇宙速度
，A正确；根据牛顿第二定律和万有引力定律知
，整理后有
，只知道周期，而轨道半径未知，故无法求出“开普勒452b”环绕中心恒星的质量，B错误；由于题设条件不足，故无法求出“开普勒452b”的自转周期，C错误；根据平均密度公式有
，在星球表面有
,即
，可得“开普勒452b”平均密度与地球平均密度之比
，D正确。
4．(多选+原创)2019年1月3日“嫦娥四号”成功实现月球背面软着陆，执行人类首次巡视月球背面的任务。“嫦娥四号”经过发射入轨、地月转移、近月制动、环月飞行等四个阶段，最后着陆月球。关于“嫦娥四号”的说法正确的是 （ ）
A．在地球表面的发射速度应该大于第二宇宙速度
B．若在环月段圆轨道的半径r、周期T和引力常量G，可以求出月球的密度
C．从环月段椭圆轨道进入环月段圆轨道时，“嫦娥四号”的减速变轨，机械能减小
D．根据开普勒第三定律，“嫦娥四号”先后绕月球和做地球椭圆圆轨道运行时，其轨道半长轴的三次方与周期平方的比值不同
4．CD 解析：“嫦娥四号”在地球表面发射后绕地球运行，则“嫦娥四号”在地球表面的发射速度应该大于第一宇宙速度而小于第二宇宙速度。A错误；据可得，月球的质量。但是月球的半径未知，求不出月球的密度。B错误；“嫦娥四号”从环月段椭圆轨道进入环月段圆轨道时，应减速变轨，则探测器的机械能减小。C正确；由可得
，“嫦娥四号”绕不同的中心天体运动时，其轨道半长轴的三次方与周期平方的比值是不同的，D正确。
5．(单选+改编)北京时间2019年4月10日，事件视界望远镜（EHT）国际合作项目宣布：首张黑洞照片面世，如图所示。科学研究表明，当天体的逃逸速度（即第二宇宙速度，为第一宇宙
倍）超过光速时，该天体就是黑洞。已知某天体与地球的质量之比为k，地球的半径为R．地球卫星的环绕速度（即第一宇宙速度）为
，光速为c。则要使该天体成为黑洞，其半径应小于 （ ）
A．
B．
C．
D．
5．A 解析：地球的第一宇宙速度为
，该天体成为黑洞时其半径为r，第一宇宙速度为v2，为
， 而c=v2，联立解得
，故A正确。
6．(多选+原创)我国控制“天舟一号”飞船离轨并让它进入地球大气层烧毁，残骸坠入南太平洋一处号称“航天器坟场”的远离大陆的深海区。在受控坠落前，“天舟一号”位于离地面380km的圆轨道上飞行，下列说法中正确的是 （ ）
A．在轨运行时，“天舟一号”受到平衡力的作用
B．在轨运行时，“天舟一号”的角速度小于同步卫星的角速度
C．“天舟一号”离轨后受控坠落的过程中，其动能将不断减小
D． 若测得“天舟一号”环绕地球近地轨道的运行周期，可求出地球的密度
6．D 解析：“天舟一号”进入预定轨道后做圆周运动，运动方向不断发生变化，故受到的力不是平衡力，A错误；
，因轨道半径小于同步卫星的半径，则“天舟一号”的角速度大于同步卫星的角速度，B错误；“天舟一号”离轨后，在进入大气层前，因只有引力做功，机械能守恒，那么减小的重力势能转化为增加的动能，其运行速度不断增大，C错误；
，而 
，可得
，即若测得“天舟一号”环绕地球近地轨道的运行周期，即可求出地球的密度，D正确。
二、计算题
7．(改编)宇宙中两颗靠的较近天体叫双星，它们是以两者连线上的某点为圆心做周期相同的匀速圆周运动，因而不至于因引力作用而吸引到一起，人们称之为“双星系统”。若忽略其它星体的影响，天体A和B可看做“双星系统”，如图所示。已知天体A、B的质量分别为m1、m2，它们绕O点运动的周期均为T，引力常量为G。求：
(1)天体A、B的线速度之比；
(2)天体A、B之间的距离。
7．（1）
；（2）
解析：（1）设天体A、B距离为L，已知它们绕O点运动的周期均为T，所以它们运动的角速度也相同。根据万有引力提供天体运动的向心力有
整理后解得天体A、B的线速度之比；
（2）设天体A、B的半径分别为r1、r2。
对天体A有：
对天体B有：
距离关系有：L=r1+r2
由以上三式得：
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