专题15最短路径问题
模型一. 两点之间，线段最短
模型二. “将军饮马”
模型三. 双动点
模型四. 垂线段最短
【例1】（2019·河南南阳一模）如图，已知一次函数y=
x+2的图象与x轴、y轴交于点A、C，与反比例函数y=
的图象在第一象限内交于点P，过点P作PB⊥x轴，垂足为B，且△ABP的面积为9.
（1）点A的坐标为 ，点C的坐标为 ，点P的坐标为 ；
（2）已知点Q在反比例函数y=
的图象上，其横坐标为6，在x轴上确定一点M，是的△PQM的周长最小，求出点M的坐标.
【分析】（1）根据一次函数的解析式求得A、C坐标，由S△ABP=
·AB·BP=9，设P点坐标为（m，
m+2），代入得到点P坐标；（2）先根据反比例函数解析式求得Q点坐标，作Q点（或P点）关于x轴的对称点Q’（P’），连接PQ’（QP’）与x轴的交点即为点M，用待定系数法求出直线PQ’（QP’的解析式）.
【解析】解：（1）在y=
x+2中，当x=0时，y=2；y=0时，x=－4，
∴A点坐标为（－4,0），C点坐标为（0,2），
设P点坐标为（m，
m+2），m>0，
则AB=m+4，BP=
m+2,
∵S△ABP=
·AB·BP=9，
即
×（m+4）（
m+2）=9，
解得：m=2或m=－10（舍），
∴点P的坐标为（2,3）；
（2）如图，作点Q关于x轴的对称点Q’，连接PQ’交x轴于点M，此时，△PQM的周长最小，
由（1）知，P(2,3)在反比例函数图象上，
∴k=6，
点Q的坐标为（6,1），点Q’的坐标为（6，－1），
设直线PQ’的解析式为：y=mx+b，
得：
，
解得：
，
即直线PQ’的解析式为：y=－x+5，
当y=0时，x=5，即M点坐标为（5,0），
∴当△PQM的周长最小时，M点坐标为（5,0）.
【变式1-1】（2017·新野一模）已知抛物线y=ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（2，0），C三点．直线y=mx+
交抛物线于A，Q两点，点P是抛物线上直线AQ上方的一个动点，作PF⊥x轴，垂足为F，交AQ于点N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，当点P运动到什么位置时，线段PN=2NF，求出此时点P的坐标；
（3）如图②，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，点M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析．
【解析】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（2，0），
∴
，
解得a=﹣1，b=1，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．
（2）直线y=mx+
交抛物线与A、Q两点，
将A（﹣1，0）代入得：m=
，
∴直线AQ的解析式为y=
x+
．
设点P的横坐标为n，则P（n，﹣n2+n+2），N（n，
n+
），F（n，0），
∴PN=﹣n2+n+2﹣（
n+
）
=﹣n2+
n+
，
NF=
n+
，
∵PN=2NF，即﹣n2+
n+
=2×（
n+
），
解得：n=﹣1或
．
当n=﹣1时，点P与点A重合，舍去．
故点P的坐标为（
，
）．
（3）∵y=﹣x2+x+2，=﹣（x﹣
）2+
，
∴M（
，
）．
∵A、C关于直线DE对称，
∴连接AM交直线DE与点G，连接CG、CM，此时，△CMG的周长最小，
设直线AM的函数解析式为y=kx+b，
将A（﹣1，0），M（
，
）代入并解得：
k=
，b=
，
∴直线AM的函数解析式为y=
x+
，
∵D为AC的中点，
∴D（﹣
，1）．
可得直线AC的解析式为：y=2x+2，直线DE的解析式为y=﹣
x+
．
将y=﹣
x+
与y=
x+
联立，
解得：x=﹣
，y=
．
∴在直线DE上存在点G，使△CMG的周长最小，G（﹣
，
）．
【变式1-2】（2019·三门峡二模）已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE，设OD＝m．
（1）问题发现
如图1，△CDE的形状是 三角形．
（2）探究证明
如图2，当6＜m＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．
图1 图2
【答案】见解析．
【解析】解：（1）证明：
由旋转性质，得：∠DCE＝60°，DC＝EC，
∴△CDE是等边三角形；
故答案为：等边；
（2）存在，当6＜t＜10时，
由旋转的性质得，BE＝AD，
∴C△DBE＝BE+DB+DE
＝AB+DE
＝4+DE，
由（1）知，△CDE是等边三角形，
∴DE＝CD，
∴C△DBE＝CD+4，
由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，
此时，CD＝2
，
∴△BDE的周长最小值为：2
+4.
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