2019-2020学年度八年级上学期数学第一次月考试题
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．在0.458，4.2，
，
，
，
，这几个数中无理数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
2．下列运算中错误的是（ ）
A．
+
＝
B．×＝
C．
÷
＝2 D．
＝3
3．若点A（﹣
，2）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．下列二次根式中最简二次根式是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．要使
有意义，a能取的最小整数值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣4
6．下列说法正确的是（ ）
A．平方根和立方根都等于本身的数是0和1
B．无理数与数轴上的点一对应
C．﹣2是4的平方根
D．两个无理数的和一定是无理数
7．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（ ）
（1）a＝b，∠A＝45°
（2）∠A＝32°，∠B＝58°，
（3）a＝5，b＝12，c＝13，
（4）a＝52，b＝122，c＝132，
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，数轴上与1、
两个实数对应的点分别为A、B，点C与点B关于点A对称（即AB＝AC），则点C表示的数是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．如图，长方体的底面边长为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要（ ）
A．12cm B．11cm C．10cm D．9cm
10．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、细心填空（每小题3分，共18分）
11．2﹣
的绝对值是 ；
的算术平方根是 ；﹣
的倒数是 ．
12．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为 ．
13．已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB＝5，则图中阴影部分的面积为 ．
14．如图，长为8厘米的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C竖直往上拉橡皮筋被拉长了2厘米到D，则此时D点的坐标为 ．
15．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是
的整数部分，则a+2b+c的算术平方根为 ．
16．如图．在Rt△ABC中，AC＝3，∠ABC＝90°，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥BD交BC边于点E．若AD＝1，则图中阴影部分的面积为
三、认真做一做（本题共52分.请写出必要的过程）
17．计算：
（1）（
﹣3
）﹣（
﹣
）
（2）
+2
（3）（
+
）（
﹣）+（2+3）2
（4）（4﹣2
+3
）÷
．
18．解方程：
（1）2（x﹣1）2＝
（2）（x﹣1）3＝﹣27
19．一个正数x的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，求a的值和这个正数x的值．
20．若|a+3|+
+49﹣14c+c2＝0，求﹣2a﹣b﹣c的立方根．
21．如图四边形ABCD，已知∠A＝90°，AB＝3，BC＝13，CD＝12，DA＝4．求四边形的面积．
22．如图，将矩形ABCD（AB＜AD）沿BD折叠后，点C落在点E处，且BE交AD于点F，若AB＝4，BC＝8．
（1）求DF的长；
（2）求△DBF和△DEF的面积；
（3）求△DBF中F点到BD边上的距离．
23．（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：①∠AEB的度数为 ；②线段AD、BE之间的数量关系是 ．
（2）拓展研究：
如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，若AE＝15，DE＝7，求AB的长度．
（3）探究发现：
图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在0.458，4.2，
，
，
，
，这几个数中无理数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数．
【解答】解：
＝
，
＝﹣0.1，
则无理数为：
，，共2个．
故选：C．
2．下列运算中错误的是（ ）
A．
+
＝
B．×＝
C．
÷＝2 D．
＝3
【分析】利用二次根式乘除运算法则以及加减运算法则分别判断得出即可．
【解答】解：A、+
无法计算，故此选项正确；
B、
×＝
，正确，不合题意；
C、
÷＝2，正确，不合题意；
D、
＝3，正确，不合题意．
故选：A．
3．若点A（﹣，2）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】依据不同象限内点的坐标特征进行判断即可．
【解答】解：∵点A（﹣
，2），
∴点A在第二象限，
故选：B．
4．下列二次根式中最简二次根式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、＝
＝
，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、
＝2
，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、
是最简二次根式，故本选项符合题意；
D、
＝
，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：C．
5．要使
有意义，a能取的最小整数值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣4
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．
【解答】解：根据题意可知，当4a+1≥0时，二次根式有意义，即a≥﹣
．
∴a能取的最小整数值为0．故选A．
6．下列说法正确的是（ ）
A．平方根和立方根都等于本身的数是0和1
B．无理数与数轴上的点一对应
C．﹣2是4的平方根
D．两个无理数的和一定是无理数
【分析】利用有理数、无理数的性质，以及平方根定义判断即可．
【解答】解：A、平方根和立方根都等于本身的数是0，不符合题意；
B、实数与数轴上的点一一对应，不符合题意；
C、﹣2是4的一个平方根，符合题意；
D、两个无理数的和不一定是无理数，不符合题意．
故选：C．
7．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（ ）
（1）a＝b，∠A＝45°
（2）∠A＝32°，∠B＝58°，
（3）a＝5，b＝12，c＝13，
（4）a＝52，b＝122，c＝132，
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】先根据三角形的内角和是180°对（1）（2）中△ABC的形状作出判断，再根据勾股定理的逆定理对（3）（4）中△ABC的形状进行判断即可．
【解答】解：（1）∵a＝b，∠A＝45°，
∴∠A＝∠B＝45°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（2）∵∠A＝32°，∠B＝58°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）a＝5，b＝12，c＝13，
∴a2+b2＝c2，
∴∠C＝90°，△ABC是直角三角形；
（4）a＝52，b＝122，c＝132，
∴a2+b2≠c2，
∴△ABC不是直角三角形．
∴是直角三角形的有（1）（2）（3）．
故选：C．
8．如图，数轴上与1、两个实数对应的点分别为A、B，点C与点B关于点A对称（即AB＝AC），则点C表示的数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由于与1、
两个实数对应的点分别为A、B，所以得到AB＝﹣1，而点C与点B关于点A对称（即AB＝AC），由此得到AC＝﹣1，又A对应的数为1，由此即可求出点C表示的数．
【解答】解：∵数轴上与1、两个实数对应的点分别为A、B，
∴AB＝﹣1，
而点C与点B关于点A对称（即AB＝AC），
∴AC＝﹣1，
而A对应的数为1，
∴点C表示的数是1﹣（﹣1）＝2﹣．
故选：A．
9．如图，长方体的底面边长为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要（ ）
A．12cm B．11cm C．10cm D．9cm
【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【解答】解：将长方体展开，连接A、B′，
则AA′＝1+3+1+3＝8（cm），A′B′＝6cm，
根据两点之间线段最短，AB′＝
＝10cm．
故选：C．
10．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据勾股定理列式求出BC，再利用三角形的面积求出点A到BC上的高，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点D到AB、AC上的距离相等，然后利用三角形的面积求出点D到AB的长，再利用△ABD的面积列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝
＝
＝5，
∴BC边上的高＝3×4÷5＝
，
∵AD平分∠BAC，
∴点D到AB、AC上的距离相等，设为h，
则S△ABC＝
×3h+×4h＝×5×，
解得h＝
，
S△ABD＝×3×＝BD•
，
解得BD＝
．
故选：A．
二．填空题（共6小题）
11．2﹣
的绝对值是 ﹣2 ；
的算术平方根是 2 ；﹣
的倒数是 ﹣
．
【分析】根据绝对值、算术平方根的定义，倒数的定义进行解答．
【解答】解：由于＞2，所以|2﹣|＝﹣2．
由于
＝4，所以的算术平方根是 2；
由于
＝﹣
，所以﹣
的倒数是﹣．
故答案是：
﹣2；2；﹣．
12．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为 
．
【分析】本题可先用勾股定理求出斜边长，然后再根据直角三角形面积的两种公式求解即可．
【解答】解：由勾股定理可得：斜边长2＝52+122，
则斜边长＝13，
直角三角形面积S＝
×5×12＝×13×斜边的高，
可得：斜边的高＝
．
故答案为：．
13．已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB＝5，则图中阴影部分的面积为 
．
【分析】根据勾股定理和等腰直角三角形的面积公式，可以证明：以直角三角形的两条直角边为斜边的等腰直角三角形的面积和等于以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积．则阴影部分的面积即为以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积的2倍．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，AB＝5，
S阴影＝S△AHC+S△BFC+S△AEB＝
×
+×
+×
，
＝
（AC2+BC2+AB2），
＝AB2，
＝×52
＝
．
故答案为 
．
14．如图，长为8厘米的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C竖直往上拉橡皮筋被拉长了2厘米到D，则此时D点的坐标为 （4，2） ．
【分析】过D作DH⊥AB于H，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：过D作DH⊥AB于H，
由题意得，AD＝BD，DH＝2，
∴AH＝
AB＝4，
∴D点的坐标为（4，2），
故答案为：（4，2）．
15．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是
的整数部分，则a+2b+c的算术平方根为 4 ．
【分析】首先根据平方根与立方根的概念可得2a﹣1与3a+b﹣9的值，进而可得a、b的值；接着估计的大小，可得c的值；进而可得a+2b+c，根据算术平方根的求法可得答案．
【解答】解：根据题意，可得2a﹣1＝9，3a+b﹣9＝8；
故a＝5，b＝2；
又有7＜＜8，
可得c＝7；
则a+2b+c＝16；
则16的算术平方根为4．
故答案为：4
16．如图．在Rt△ABC中，AC＝3，∠ABC＝90°，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥BD交BC边于点E．若AD＝1，则图中阴影部分的面积为 1
【分析】作DH⊥BC于H，由题意可得，△BDE是等腰直角三角形，设DH＝BH＝EH＝a，证明△CDH∽△CAB，可得AB＝
a，CE＝a，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB2+BC2＝AC2，即
，
，根据阴影部分的面积＝三角形ABC的面积﹣三角形BDE的面积，即可得出图中阴影部分的面积．
【解答】解：如图，作DH⊥BC于H，
∵∠ABC＝90°，BD是△ABC的角平分线，
∠DBC＝∠ABD＝45°，
∵DE⊥BD，
∴∠DEB＝45°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
设DH＝BH＝EH＝a，
∵DH∥AB
∴△CDH∽△CAB，
∴
，
∵AD＝1，AC＝3，
∴
，
∴AB＝
a，CE＝a，
∵AB2+BC2＝AC2，
∴
，
，
∴图中阴影部分的面积＝
．
故答案为：1．
三．解答题（共7小题）
17．计算：
（1）（
﹣3
）﹣（
﹣
）
（2）
+2
（3）（
+
）（﹣）+（2+3
）2
（4）（4﹣2
+3
）÷
．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后去括号合并即可；
（2）先进行二次根式的除法运算，然后化简后合并即可；
（3）利用平方差各完全平方公式计算；
（4）先把各二次根式化为最简二次根式和除法运算化为乘法运算，然后把括号内合并后进行二次根式的乘法运算．
【解答】解：（1）原式＝2﹣﹣
+3
＝
+
；
（2）原式＝
﹣
+2
＝3﹣2+2
＝3；
（3）原式＝2﹣3+8+12
+27
＝34+12；
（4）原式＝（4
﹣4+9
）÷
＝9•
＝9
．
18．解方程：
（1）2（x﹣1）2＝
（2）（x﹣1）3＝﹣27
【分析】（1）先系数化为1，再利用平方根定义开方即可求出x的值；
（2）利用立方根定义开立方即可求出x的值．
【解答】解：（1）2（x﹣1）2＝
，
（x﹣1）2＝3，
x﹣1＝±
，
x＝1﹣或1+；
（2）（x﹣1）3＝﹣27，
x﹣1＝﹣3，
x＝﹣2．
19．一个正数x的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，求a的值和这个正数x的值．
【分析】正数x有两个平方根，分别是﹣a+2与2a﹣11，所以﹣a+2与2a﹣1互为相反数；即﹣a+2+2a﹣1＝0解答可求出a；根据x＝（﹣a+2）2，代入可求出x的值．
【解答】解：∵正数x有两个平方根，分别是﹣a+2与2a﹣1，
∴﹣a+2+2a﹣1＝0
解得a＝﹣1．
所以x＝（﹣a+2）2＝（1+2）2＝9．
20．若|a+3|+
+49﹣14c+c2＝0，求﹣2a﹣b﹣c的立方根．
【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b，c的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：∵|a+3|++49﹣14c+c2＝0，即|a+3|++（7﹣c）2＝0，
∴a+3＝0，3b﹣6＝0，7﹣c＝0，
解得a＝﹣3，b＝2，c＝7，
∴﹣2a﹣b﹣c＝6﹣2﹣7＝﹣3，
∴﹣2a﹣b﹣c的立方根为
．
21．如图四边形ABCD，已知∠A＝90°，AB＝3，BC＝13，CD＝12，DA＝4．求四边形的面积．
【分析】连接BD，先根据勾股定理求出BD的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△BCD的形状，根据S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD即可得出结论．
【解答】解：连接BD．
∵∠A＝90°，AB＝3，DA＝4，
∴BD＝
＝5．
在△BCD中，
∵BD＝5，CD＝12，BC＝13，52+122＝132，即BD2+CD2＝BC2，
∴△BCD是直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD
＝
×3×4+×5×12
＝6+30
＝36．
22．如图，将矩形ABCD（AB＜AD）沿BD折叠后，点C落在点E处，且BE交AD于点F，若AB＝4，BC＝8．
（1）求DF的长；
（2）求△DBF和△DEF的面积；
（3）求△DBF中F点到BD边上的距离．
【分析】（1）易证BF＝FD，在直角△ABF中，根据勾股定理就可以求出DF的长；
（2）由折叠的性质得BE＝BC＝8，DE＝CD＝4，∠E＝90°，EF＝BE﹣BF＝3，由S△DEF＝
EF•DE，S△DBF＝S△BDE﹣S△DEF即可得出结果；
（3）由勾股定理得出BD＝
＝4，设F到BD边上的距离为h，则S△DBF＝BD•h，即可得出结果．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形
∴AD＝BC＝8，AB＝CD＝4，∠A＝90°，AD∥BC，
∴∠DBC＝∠FDB，
由折叠性质得：∠DBC＝∠DBE，
∴∠FDB＝∠FBD，
∴BF＝FD，
设AF＝x，则BF＝DF＝8﹣x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+AF2＝BF2，
即：42+x2＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
∴DF＝8﹣3＝5；
（2）由折叠的性质得：BE＝BC＝8，DE＝CD＝4，∠E＝90°，
EF＝BE﹣BF＝8﹣5＝3，
∴S△DEF＝EF•DE＝×3×4＝6，
S△DBF＝S△BDE﹣S△DEF＝BE•DE﹣6＝×8×4﹣6＝10；
（3）BD＝＝
＝4
，
设F到BD边上的距离为h，
则S△DBF＝
BD•h，
即：10＝×4h，
解得：h＝，
∴F到BD边上的距离为．
23．（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：①∠AEB的度数为 60° ；②线段AD、BE之间的数量关系是 AD＝BE ．
（2）拓展研究：
如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，若AE＝15，DE＝7，求AB的长度．
（3）探究发现：
图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．
【分析】（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数．
（2）根据等腰直角三角形的性质得到CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．根据全等三角形的性质得到AD＝BE＝AE﹣DE＝8，∠ADC＝∠BEC，由平角的定义得到∠ADC＝135°．求得∠BEC＝135°．根据勾股定理即可得到结论；
（3）由（1）知△ACD≌△BCE，得∠CAD＝∠CBE，由∠CAB＝∠ABC＝60°，可知∠EAB+∠ABE＝120°，根据三角形的内角和定理可知∠AOE＝60°．
【解答】解：（1）①如图1，
∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．
∴∠ACD＝∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠ADC＝∠BEC．
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝60°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝120°．
∴∠BEC＝120°．
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°．
故答案为：60°．
②∵△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE．
故答案为：AD＝BE．
（2）
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．
∴∠ACD＝∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴AD＝BE＝AE﹣DE＝8，∠ADC＝∠BEC，
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝45°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝135°．
∴∠BEC＝135°．
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．
∴AB＝
＝17；
（3）如图3，由（1）知△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠CAB＝∠CBA＝60°，
∴∠OAB+∠OBA＝120°
∴∠AOE＝180°﹣120°＝60°，
如图4，同理求得∠AOB＝60°，
∴∠AOE＝120°，
∴∠AOE的度数是60°或120°．
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