西安市第八十五中学
2017-2018学年度第一学期初三年级第一次月考数学试题
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分）
1．一元二次方程
的根的情况为（ ）．
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
2．已知下列四个命题：
（
）对角线互相垂直平分的四边形是正方形；
（
）对角线垂直相等的四边形是菱形；
（
）对角线相等且互相平分的四边形是矩形；
（
）四边都相等的四边形是正方形，其中真命题的个数是（ ）．
A． B． C． D．
3．三角形两边长分别为和，第三边是方程
的解，则这个三角形的周长是（ ）．
A．
B．或
C． D．和
4．四边形
的对角线
，
相交于点
，能判定它的正方形的是（ ）．
A．
，
B．
C．，，
D．
，
5．若关于
的一元二次方程
的两个根分别为
，
，且满足
，则
的值为（ ）．
A．
或
B． C． D．不存在
6．若一个菱形的边长为，则这个菱形两条对角线的平方和为（ ）．
A．
B． C． D．
7．从长度分别为、
、
、
的条线段中任取条作边，能组成三角形的概率为（ ）．
A． B．
C．
D．
8．关于的方程
的两根同为负数，则（ ）．
A．
且
B．且
C．
且 D．且
9．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了
件，如果全组有名同学，则根据题意列出的方程是（ ）．
A．
B．
C．
D．
10．如图，正方形的边长为，
在
上，且
，
是上一动点，则
的最小值为（ ）．
A． B．
C．
D．
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．已知，是一元二次方程
的两个根，则
的值等于__________．
12．已知菱形的边长为
，
，如果点
是菱形内一点，且
，那么
的长为__________．
13．同时抛掷三枚硬币，则三枚全部正面朝上的概率为__________．
14．如图，矩形纸片中，
，
，再按以下步骤折叠，①将
对折，使
落在
上，得折痕
（如图（））；②将
沿
折叠，与
交于点
（如图（）），则
的长等于__________
．
三、解答题（共11小题，计78分）
15．（
分）用适当的方法解下列方程
（）
． （）
．
（）
． （）
．
16．（分）如果关于的一元二次方程
的一个根是，求方程的另一个根及
的值．
17．（分）小明、小颖和小凡做“石头、剪刀、布”游戏，游戏规则如下：由小明和小颖玩“石头、剪刀、布”游戏，如果两人的手势相同，那么小凡获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小明和小颖中的获胜者，假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同．
（）用树状图或列表法求出小凡获胜的概率．
（）你认为这个游戏对三人公平吗？为什么？
18．（分）如图，在菱形中，
与的度数比为
，周长是
．求：
（）两条对角线的长度．
（）菱形的面积．
19．（分）某超市销售一批羽绒服，平均每天可售出
件，每件盈利
元，为扩大销售增加盈利，超市决定适当降价．如果每件羽绒服降价元，平均每天可多售出件．如果超市平均每天要盈利
元，每件羽绒服应降价多少元?
20．（分）求证：无论
为任何实数，关于的方程
总有两个不相等的实数根．
21．（分）如图，在
中，
，是的角平分线，点为的中点，连接
并延长到点
，使
，连接
，
．
（）求证：四边形
是矩形．
（）当满足什么条件时，矩形是正方形，并说明理由．
22．（分）在一个不透明的袋子中装有（除颜色外）完全相同的红色小球个，白色小球个和黄色小球个（列表法或者树状图求概率）
（）从中先摸出一个小球，记录下它的颜色后，将它放回袋中搅匀，再摸出一个小球，记录下颜色，求摸出的两个小球的颜色恰好是“一红一黄”的概率是多少？
（）如果摸出第一个小球之后不放回袋中，再摸出第二个小球，这时摸出的两个小球的颜色恰好是“一红一黄”的概率是多少？
23．（分）已知关于的一元二次方程
，其中、
、
分别是的三边长．
（）如果
是方程的根，试判断的形状，并说明理由．
（）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由．
（）如果是等边三角形，试求出这个一元二次方程的根．
24．（分）如图，
是平行四边形是对角线的垂直平分线，与边、
分别交于点、
．
（）求证：四边形
是菱形．
（）若为线段的中点，求证：
．
25．（分）探索性试题：
（）如图，、、、
分别是正方形各边的中点，则四边形
是__________形，正方形的面积记为
，的面积为
，则和间的数量关系__________．
（）如图，、、、分别是菱形各边的中点，则四边形是__________形，菱形的面积记为，的面积为，则和间的数量关系__________．
（）如图，梯形中，
，对角线，垂足为、、、、分别为各边的中点，四边形是__________形；若梯形的面积记为，四边形的面积为，由图可猜想和间的数量关系为：__________．
（）如图，、分别是平行四边形的边、的中点，、分别是边形、上的点，且四边形为平行四边形，若把平行四边形的面积记为，把平行四边形的面积记为，试猜想和间的数量关系，并加以证明．
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