陕西省西安市2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
A. 0 B. 2 C. 
D. 1
【答案】B
【解析】解：
．
故选：B．
直接利用平方差公式求解．
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
设集合
，
0，
，则
A. 
0，
B. 
0，1，
C. 
D. 0，
【答案】A
【解析】解：
集合
，
0，，
0，．
故选：A．
利用并集定义直接求解．
本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
设命题P：
，
，则
为
A. 
，
B. 
，
C. ，
D. ，
【答案】A
【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题P：，，
则为：
，
．
故选：A．
利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．
本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．
设非零向量
满足
，则
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】D
【解析】解：
；
；
，
；
；
．
故选：D．
由可得出
，而
的大小关系得不出，也得不出
，从而判断出A，B，C都错误，只能选D．
考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量长度的概念．
抛物线方程为
，则此抛物线的准线为
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】C
【解析】解：抛物线方程为，
即为
，
可得
，即
，
即有准线方程为
，即
．
故选：C．
化抛物线方程为标准方程，由准线方程，可得所求方程．
本题考查抛物线的方程和性质，主要是准线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．
如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为
则该几何体的俯视图可以是
|
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】C
【解析】解：解法1：由题意可知当俯视图是A时，即每个视图是变边长为1的正方形，那么此几何体是立方体，显然体积是1，注意到题目体积是
，知其是立方体的一半，可知选C．
解法2：当俯视图是A时，正方体的体积是1；
当俯视图是B时，该几何体是圆柱，底面积是
，高为1，则体积是
；
当俯视是C时，该几何是直三棱柱，
故体积是
，
当俯视图是D时，该几何是圆柱切割而成，
其体积是
．
故选：C．
解法1：结合选项，正方体的体积否定A，推出正确选项C即可．
解法2：对四个选项A求出体积判断正误；B求出体积判断正误；C求出几何体的体积判断正误；同理判断D的正误即可．
本题是基础题，考查几何体的三视图的识别能力，作图能力，依据数据计算能力；注意三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．
等差数列
的前n项和为
，若
，则
等于
A. 52 B. 54 C. 56 D. 58
【答案】A
【解析】解：等差数列中，
，
，解得
，
．
故选：A．
等差数列中，由，解得，再由等差数列的通项公式和前n项和公式能求出．
本题考查等差数列的前n项和的应用，是基础题
解题时要认真审题，仔细解答．
有五瓶墨水，其中红色一瓶、蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，求另一瓶是黑色的概率
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】C
【解析】解：有五瓶墨水，其中红色一瓶、蓝色、黑色各两瓶，
设红瓶墨水为H，蓝瓶墨水为
，
，黑瓶墨水为
，
，
某同学从中随机任取出两瓶，
设事件A表示“取出的两瓶中有一瓶是蓝色”，
某同学从中随机任取出两瓶，取出的两瓶中有一瓶是蓝色，
包含的基本事件有7种，分别为：
，
，
，
，
，
，
，
取出的两瓶中有一瓶是蓝色，另一瓶是黑色，包含的基本事件有4种，分别为：
，，，，
取出的两瓶中有一瓶是蓝色，另一瓶是黑色的概率
．
故选：C．
设红瓶墨水为H，蓝瓶墨水为，，黑瓶墨水为，，某同学从中随机任取出两瓶，利用列举法求出包含的基本事件有7种，取出的两瓶中有一瓶是蓝色，另一瓶是黑色，包含的基本事件有4种，由此能求出取出的两瓶中有一瓶是蓝色，另一瓶是黑色的概率．
本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
如图是计算
值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是
|
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】C
【解析】解：算法的功能是计算值，共循环5次，
跳出循环体的n值为12，k值为6，
判断框内应填的条件是
或
．
故选：C．
根据算法的功能确定循环的次数是5，确定跳出循环体的n值为12，k值为6，由此可得判断框内应填的条件．
本题考查了循环结构的程序框图，根据算法的功能确定循环的次数，从而求得跳出循环体的k值是关键．
在
中，已知
，那么一定是
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 正三角形
【答案】B
【解析】解：由知
，
．
．
，
和B是三角形的内角，
．
故选：B．
根据三角形三个内角和为
，把角C变化为
，用两角和的正弦公式展开移项合并，公式逆用，得
，因为角是三角形的内角，所以两角相等，得到三角形是等腰三角形．
在三角形内会有一大部分题目出现，应用时要抓住三角形内角和是，就有一部分题目用诱导公式变形，对于题目中正用、逆用两角和的正弦和余弦公式，必须在复杂的式子中学会辨认公式应用公式．
如图是1，2两组各7名同学体重单位：
数据的茎叶图设1，2两组数据的平均数依次为
和
，标准差依次为
和
，那么 
注：标准差
，其中
为，，
，
的平均数
A. 
，
B. ，
C. 
， D. ，
【答案】C
【解析】解：由茎叶图，得第1组的7名同学的体重分别为53 56 57 58 61 70 72，
第1组的7名同学体重的平均数为：
因此，第1组的7名同学体重的方差为：
，
同理，第2组的7名同学体重的平均数为：
因此，第2组的7名同学体重的方差为：
，
且
故选：C．
将题中的茎叶图还原，结合平均数、方差计算公式，分别算出第1组7位同学和第2组7位同学的平均数和方差，再将所得结果加以比较，即得本题的答案．
本题给出茎叶图，要我们求出数据的平均数和方差，着重考查了茎叶图的认识、样本特征数的计算等知识，属于基础题．
已知函数
，若存在
，使得
成立，则实数a的取值范围是
A. 
B. 
C. 
D. 
，
【答案】A
【解析】解：函数，若存在，使得成立，
即：存在，
成立．
令
，
即
成立．
令
，
即
，
，
当
时，不存在x．
当
时，存在x．
，
当
时，
，
时，
，
时，
，
解得：
，
，
实数a的取值范围是
，
故选：A．
分别讨论a的取值范围，构造新函数，结合导数研究函数的最值即可得到结论．
本题考查了导数的运算法则和函数的最值问题，以及不等式的解法，属于中档题
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
函数
的最大值为______．
【答案】
【解析】解：函数
，其中
，
可知函数的最大值为：．
故答案为：．
利用辅助角公式化简函数的解析式，通过正弦函数的有界性求解即可．
本题考查三角函数的化简求值，正弦函数的有界性的应用，考查计算能力．
若变量x，y满足约束条件
，则
的最大值为______．
【答案】1
【解析】
解：作出变量x，y满足约束条件可行域如图，
由知，
，
所以动直线的纵截距
取得最大值时，
目标函数取得最大值．
由
得
．
结合可行域可知当动直线经过点时，
目标函数取得最大值
．
故答案为：1．
先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线过点时，z最大值即可．
本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
设曲线
在点
处的切线方程为
，则
______．
【答案】3
【解析】解：的导数
，
由在点处的切线方程为，
得
，
则
．
故答案为：3．
根据导数的几何意义，即
表示曲线
在
处的切线斜率，再代入计算．
本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．
已知抛物线 
的焦点与双曲线
的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为______．
【答案】
【解析】解：抛物线的焦点坐标为
抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，
，
故答案为：
先确定抛物线的焦点坐标，可得双曲线的焦点坐标，从而可求双曲线的离心率．
本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线与双曲线的几何性质，属于基础题．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若
，
，
成等差数列．
Ⅰ求
；
Ⅱ若
，
，求的面积．
【答案】解：Ⅰ
，
，成等差数列，
，
由正弦定理知：
，
，
，
代入上式得：
，即
．
又
，
，即
．
而
，
，及
，得
．
Ⅱ由余弦定理得：
，
，
又，，
，即
，
．
【解析】Ⅰ由，，成等差数列，可得
，利用正弦定理、和差公式即可得出；
利用余弦定理与三角形的面积计算公式即可得出．
本题考查了等差数列、正弦定理、和差公式、余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
某校有教职工130人，对他们进行年龄状况和受教育情况只有本科和研究生两类的调查，其结果如下：
|
|
本科 |
研究生 |
|
35岁以下 |
a |
35 |
|
|
25 |
b |
|
50岁以上 |
4 |
2 |
随机抽取一人，是35岁以下的概率为
，求a，b的值；
从50岁以上的6人中随机抽取两人，求恰好只有一位研究生的概率．
【答案】解：
由已知得：
，解得
分
故
，即
分
将50岁以上的6人进行编号：四位本科生为：1，2，3，4，两位研究生为5，6．
从这6人中任取2人共有15种等可能发生的基本事件，分别为：
12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共有15种抽法，
分
其中恰好有一位研究生的有8种，分别为：15，16，25，26，35，36，45，46，共有8种抽法，
故所求的事件概率为：
分
【解析】由已知得：，由此解得a的值，再根据总数为130求出b的值．
从这6人中任取2人，用列举法一一列举，共有15种等可能发生的基本事件其中恰好有一位研究生的抽法有8种，由此求得所求的事件的概率．
本题考查古典概型及其概率计算公式，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想，属于基础题．
如图，三棱柱
中，底面为正三角形，
平面ABC，且
，D 是BC的中点．
Ⅰ求证：
平面
；
Ⅱ求证：平面
平面
；
Ⅲ在侧棱
上是否存在一点E，使得三棱锥
的体积是
，若存在，求CE长；若不存在，说明理由．
|
|
【答案】
解：Ⅰ连接
交
于点O，连接OD．
三棱柱中，平面ABC，
四边形
为矩形，可得点O为的中点．
为BC中点，得DO为
中位线，
．
平面，
平面，
平面
分
Ⅱ
底面ABC正三角形，D是BC的中点
平面ABC，
平面ABC，
．
，
平面，
平面，平面平面
分
Ⅲ假设在侧棱上存在一点E，使三棱锥的体积是，设
三棱锥的体积
，得
．
，即
在侧棱上存在一点E，当时，三棱锥的体积是
分
【解析】Ⅰ连接交于点O，连接
可得DO为中位线，
，结合线面平行的判定定理，得平面．
由
平面ABC，得
正三角形ABC中，中线
，结合线面垂直的判定定理，得
平面，最后由面面垂直的判定定理，证出平面平面．
假设在侧棱上存在一点E且，满足三棱锥体积是，利用
作为底、AD为高，得三棱锥
的体积，即为三棱锥的体积，建立等式即可解出m的值，所以在侧棱上存在点E，使三棱锥的体积是．
本题给出直三棱柱，求证线面平行、面面垂直并探索三棱锥的体积，着重考查了空间线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了锥体体积公式的应用，属于基础题．
已知函数
．
Ⅰ求函数
的极值；
Ⅱ若函数
在定义域内为增函数，求实数a的取值范围．
【答案】解：Ⅰ 由已知，得
，
，
令
，得
或
，
当
时，
，当
时，
，
在
，
上为增函数，在
上为减函数．
，
；
Ⅱ
，
，
由题意，知
恒成立，
即
．
时，
，当且仅当
时等号成立．
故
，
．
【解析】Ⅰ由已知得到
，求其导函数，解得导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，求得函数的单调区间，进一步求得极值；
Ⅱ由函数在定义域内为增函数，可得恒成立，分离参数a，利用基本不等式求得最值得答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了分离参数法及构造函数求最值，是中档题．
在直角坐标系xOy中，椭圆
：
的左、右焦点分别为
，
，也是抛物线
的焦点，点M为，
在第一象限的交点，且
．
求的方程；
平面上的点N满足
，直线
，且与交于A，B两点，若
，求直线l的方程．
【答案】解：
的焦点
，
，
，
，
代入抛物线方程，有
，
，
椭圆的方程为
点N满足，
易知N与M关于原点对称，
，
设直线l方程：
，联立直线和椭圆方程得到：
，
设
，
，
，
，
代入韦达定理有
，
，
直线l方程为
【解析】先利用是抛物线：的焦点求出的坐标，再利用以及抛物线的定义求出点M的坐标，可以得到关于椭圆方程中参数的两个等式联立即可求的方程；
先利用，以及直线得出直线l与OM的斜率相同，设出直线l的方程，把直线方程与椭圆方程联立得到关于A，B两点坐标的等式，整理代入，即可求出直线l的方程．
本题是对椭圆与抛物线以及直线与椭圆位置关系的综合考查直线与圆锥曲线的位置关系，由于集中交汇了直线，圆锥曲线两章的知识内容，综合性强，能力要求高，还涉及到函数，方程，不等式，平面几何等许多知识，可以有效的考查函数与方程的思想，数形结合的思想，分类讨论的思想和转化化归的思想，因此，这一部分内容也成了高考的热点和重点．
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
，
为参数，直线l的参数方程为
，
为参数．
求C和l的直角坐标方程；
若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为
，求l的斜率．
【答案】解：曲线C的参数方程为
为参数，
转换为直角坐标方程为：
．
直线l的参数方程为
为参数．
转换为直角坐标方程为：
．
把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：
整理得：
，
则：
，
由于为中点坐标，
当直线的斜率不存时，．
无解故舍去．
当直线的斜率存在时，由于
和
为A、B对应的参数
所以利用中点坐标公式
，
则：
，
解得：
，
即：直线l的斜率为
．
【解析】直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．
利用直线和曲线的位置关系，在利用中点坐标求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线和曲线的位置关系的应用，中点坐标的应用．
设函数
．
当
时，求不等式
的解集；
若
，求a的取值范围．
【答案】解：当时，
．
当
时，
，解得
，
当
时，
恒成立，即，
当
时，
，解得
，
综上所述不等式的解集为
，
，
，
，
，
，
解得
或
，
故a的取值范围
．
【解析】去绝对值，化为分段函数，求出不等式的解集即可，
由题意可得
，根据据绝对值的几何意义即可求出
本题考查了绝对值的不等式和绝对值的几何意义，属于中档题
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