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上海市长宁区延安中学2020-2021高三（上）12月月考数学试卷（解析版）

上海市长宁区延安中学高三（上）12月月考数学试卷

　

一.填空题

1．已知集合U={x|1＜x＜5，x∈N^*}，集合A={2，3}，则∁_UA=　　．

2．已知，则cos（π﹣α）=　　．

3．直线l₁：2x﹣y+1=0与直线l₂：x﹣y﹣2=0的夹角大小为　　．

4．不等式＞|x|的解集为　　．

5．函数f（x）=log₂（1+x）（x＞0）的反函数f^﹣1（x）=　　．

6．设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）²+（y﹣2）²=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a=　　．

7．已知双曲线C经过点C（1，1），它的一条渐近线方程为．则双曲线C的标准方程是　　．

8．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，D在斜边BC上，且CD=3DB，则=　　．

9．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线的焦距为　　．

10．等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若对于任意的正整数k，均有a_k=（S_n﹣S_k）成立，则公比q=　　．

11．下列有关平面向量分解定理的四个命题中，所有正确命题的序号是　　．（填写命题所对应的序号即可）

①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；

②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；

③平面向量的基向量可能互相垂直；

④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合．

12．设点M（m，0）在椭圆的长轴上，点P是椭圆上任意一点，当|MP|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，则实数m的取值范围是　　．

13．函数f（x）的定义域为实数集R，f（x）=对于任意的x∈R都有f（x+1）=f（x﹣1）．若在区间[﹣1，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx﹣m恰有四个不同的零点，则实数m的取值范围是　　．

14．已知{a_n}是等差数列，记b_n=a_na_n+1a_n+2（n为正整数），设S_n为{b_n}的前n项和，且3a₅=8a₁₂＞0，则当S_n取最大值时，n=　　．

　

二.选择题

15．已知条件p：log₂（x﹣1）＜1的解，q：x²﹣2x﹣3＜0的解，则p是q的（　　）条件．

A．充分非必要 B．必要非充分

C．充分必要 D．既非充分又非必要

16．若方程x²cosα﹣y²sinα+2=0所表示的曲线为双曲线，则圆x²+y²+2xcosα﹣2ysinα=0的圆心在 （　　）

A．第一或第三象限 B．第二或第四象限

C．第一或第二象限 D．第三或第四象限

17．现有某种细胞100个，其中有约占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，要使细胞总数超过10¹⁰个，需至少经过（　　）

A．42小时 B．46小时 C．50小时 D．52小时

18．已知f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，若实数m，n满足等式，则的取值范围是（　　）

A． B． C． D．[1，3]

　

三.解答题

19．如图，在xoy平面上，点A（1，0），点B在单位圆上，∠AOB=θ（0＜θ＜π）

（1）若点B（﹣，），求tan（+）的值；

（2）若+=，四边形OACB的面积用S_θ表示，求S_θ+•的取值范围．

20．已知椭圆（a＞b＞0），右焦点，点在椭圆上；

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）是否存在过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，且∠AFB=90°？若存在，请求出所有符合要求的直线；若不存在，请说明理由．

21．某厂预计从2016年初开始的前x个月内，市场对某种产品的需求总量f（x）（单位：台）与月份x的近似关系为：f（x）=x（x+1）（35﹣2x），x∈N^*且x≤12；

（1）写出2016年第x个月的需求量g（x）与月份x的关系式；

（2）如果该厂此种产品每月生产a台，为保证每月满足市场需求，则a至少为多少？

22．设f（x）是定义在[a，b]上的函数，若存在，使得f（x）在上单调递增，在上单调递减，则称f（x）为[a，b]上的单峰函数，称为峰点，包含峰点的区间称

为含峰区间；

（1）判断下列函数：①f₁（x）=x﹣2x²，②f₂（x）=|log₂（x+0.5）|，哪些是“[0，1]上的单峰函数”？若是，指出峰点，若不是，说明理由；

（2）若函数f（x）=ax³+x（a＜0）是[1，2]上的单峰函数，求实数a的取值范围；

（3）设f（x）是[a，b]上的单峰函数，若m，n∈（a，b），m＜n，且f（m）≥f（n），求证：（a，n）为f（x）的含峰区间．

23．设数列{a_n}，对任意n∈N^*都有（kn+b）（a₁+a_n）+p=2（a₁+a₂…+a_n），（其中k、b、p是常数）．

（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，求a₁+a₂+a₃+…+a_n；

（2）当k=1，b=0，p=0时，若a₃=3，a₉=15，求数列{a_n}的通项公式；

（3）若数列{a_n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．当k=1，b=0，p=0时，设S_n是数列{a_n}的前n项和，a₂﹣a₁=2，试问：是否存在这样的“封闭数列”{a_n}，使得对任意n∈N^*，都有S_n≠0，且．若存在，求数列{a_n}的首项a₁的所有取值；若不存在，说明理由．

　

2017-2018学年上海市长宁区延安中学高三（上）12月月考数学试卷

参考答案与试题解析

　

一.填空题

1．已知集合U={x|1＜x＜5，x∈N^*}，集合A={2，3}，则∁_UA=　{4}　．

【考点】补集及其运算．

【分析】由题意全集U={2，3，4}，集合A={2，3}，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．

【解答】解：∵全集U={2，3，4}，集合A={2，3}，

∴集合∁_UA={4}，

故答案为：{4}

　

2．已知，则cos（π﹣α）=　﹣　．

【考点】运用诱导公式化简求值．

【分析】由条件利用诱导公式求得cosα的值，可得要求式子的值．

【解答】解：∵已知=cosα，则cos（π﹣α）=﹣cosα=﹣，

故答案为：．

　

3．直线l₁：2x﹣y+1=0与直线l₂：x﹣y﹣2=0的夹角大小为　arctan　．

【考点】两直线的夹角与到角问题．

【分析】利用两条直线的夹角公式求得直线l₁：2x﹣y+1=0与直线l₂：x﹣y﹣2=0的夹角的值．

【解答】解：直线l₁：2x﹣y+1=0的斜率为k₁=2，直线l₂：x﹣y﹣2=0的斜率为k₂=1，

设直线l₁：2x﹣y+1=0与直线l₂：x﹣y﹣2=0的夹角为θ，则tanθ=||=，

∴直线l₁：2x﹣y+1=0与直线l₂：x﹣y﹣2=0的夹角为θ=arctan，

故答案为：．

　

4．不等式＞|x|的解集为　（0，2）　．

【考点】其他不等式的解法．

【分析】不等式即＞0，显然x＜0时不成立．当x＞0时，根据＜0，求得不等式的解集．

【解答】解：当x＜0时，＞﹣x，即＞0，显然x＜0时不成立．

当x＞0时，＜0，解得0＜x＜2，所以不等式的解集为（0，2），

故答案为：（0，2）．

　

5．函数f（x）=log₂（1+x）（x＞0）的反函数f^﹣1（x）=　y=2^x﹣1（x＞0）　．

【考点】反函数．

【分析】根据f（x）=y=log₂（1+x）（x＞0），求出值域f（x）＞0．用x把y表示出来，把x与y互换即可得出．

【解答】解：f（x）=y=log₂（1+x）

∵x＞0，

∴y＞0，

由y=log₂（1+x），

可得：x=2^y﹣1

∴y=2^x﹣1（x＞0）

故答案为：y=2^x﹣1（x＞0）

　

6．设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）²+（y﹣2）²=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a=　0　．

【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】由弦长公式可得圆心到直线的距离为 =1，再由点到直线的距离公式可得 =1，由此求得a的值．

【解答】解：由于圆（x﹣1）²+（y﹣2）²=4的圆心C（1，2），半径等于2，且圆截直线所得的弦AB的长为2，

故圆心到直线ax﹣y+3=0的距离为 =1，即 =1，解得 a=0，

故答案为 0．

　

7．已知双曲线C经过点C（1，1），它的一条渐近线方程为．则双曲线C的标准方程是　　．

【考点】双曲线的标准方程．

【分析】根据题意，双曲线C的一条渐近线方程为，则可将双曲线的方程设为y²﹣3x²=λ（λ≠0），将点C坐标代入可得λ的值，进而可得答案．

【解答】解：根据题意，双曲线C的一条渐近线方程为，

则可设双曲线的方程为y²﹣3x²=λ（λ≠0），

将点C（1，1）代入可得λ=﹣2，

．

故答案为：．

　

8．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，D在斜边BC上，且CD=3DB，则=　27　．

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】根据平面向量的线性表示与数量积运算，即可求出对应的结果．

【解答】解：△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，CD=3DB，

∴==（﹣），

∴=•（﹣）

=﹣•

=×6²﹣×0

=27．

故答案为：27．

　

9．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线的焦距为　或　．

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】求出等比中项，然后求解焦距即可．

【解答】解：m是2和8的等比中项，可得m=±4，

当m=4时，曲线是椭圆，可得a=2，c=，则2c=2．

当m=﹣4时，曲线是双曲线，此时，a=1，b=2，c=，

2c=2．

故答案为：或．

　

10．等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若对于任意的正整数k，均有a_k=（S_n﹣S_k）成立，则公比q=　　．

【考点】等差数列的前n项和．

【分析】由已知条件推导出a₂=a₁，从而得到q﹣q²=q²，由此能求出公比q=．

【解答】解：等比数列{a_n}的前n项和为S_n，

对于任意的正整数k，均有a_k=（S_n﹣S_k）成立，

∴a_n=a₁q^n﹣1，

S_n=，

a_k=（S_n﹣S_k）

=，

当k=2时，

a₂=

=a₁，

∴，∴，

∴q﹣q²=q²，

q（2q﹣1）=0

解得q=，或q=0（舍）．

∴公比q=．

故答案为：．

　

11．下列有关平面向量分解定理的四个命题中，所有正确命题的序号是　②、③　．（填写命题所对应的序号即可）

①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；

②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；

③平面向量的基向量可能互相垂直；

④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合．

【考点】平面向量的基本定理及其意义．

【分析】本题考查平面向量基本定理，由定理知可作为平面内所有向量的一组基底的两个向量必是不共线的，由此关系对四个选项作出判断，得出正确选项．

【解答】解：根据平面向量基本定理知：

①一个平面内任何一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；故错；

②一个平面内有无数多对不平行向量都可作为表示该平面内所有向量的基；故正确；

③平面向量的基向量只要不共线，也可能互相垂直；故对；

④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内两个互不平行向量的线性组合．如果是三个不共线的向量，表示法不惟一，故错．

故答案为：②、③．

　

12．设点M（m，0）在椭圆的长轴上，点P是椭圆上任意一点，当|MP|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，则实数m的取值范围是　[1，4]　．

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】设P（x，y）为椭圆上的动点，由于椭圆方程可得﹣4≤x≤4．由|MP²=（x﹣m）²+y²=（x﹣m）²+12（1﹣）=（x﹣4m）²+12﹣3m²

，结合二次函数的性质及椭圆的性质可知，取得最小值4m≥4，结合点M在椭圆的长轴上，可求m得范围

【解答】解：设P（x，y）为椭圆上的动点，由于椭圆方程为，故﹣4≤x≤4．

|MP²=（x﹣m）²+y²=（x﹣m）²+12（1﹣）=（x﹣4m）²+12﹣3m²

∵当|MP|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，即当x=4时，|MP|²取得最小值，而x∈[﹣4，4]，

故有4m≥4，解得m≥1．

又点M在椭圆的长轴上，所以﹣4≤m≤4．故实数m的取值范围是[1，4]．

故答案为：1≤m≤4．

　

13．函数f（x）的定义域为实数集R，f（x）=对于任意的x∈R都有f（x+1）=f（x﹣1）．若在区间[﹣1，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx﹣m恰有四个不同的零点，则实数m的取值范围是　（0，]　．

【考点】函数零点的判定定理．

【分析】先确定2是f（x）的周期，作出函数的图象，利用在区间[﹣1，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx﹣m恰有四个不同零点，即可求实数m的取值范围．

【解答】解：由题意，f（x+2）=f[（1+x）+1]=f[（1+x）﹣1]=f（x），

所以2是f（x）的周期

令h（x）=mx+m，

则函数h（x）恒过点（﹣1，0），

函数f（x）=在区间[﹣1，3]上的图象

如图所示：

由x=3时，f（3）=1，可得1=3m+m，则m=

∴在区间[﹣1，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx﹣m恰有四个不同零点时，实数m的取值范围是（0，]

故答案为：（0，]．

　

14．已知{a_n}是等差数列，记b_n=a_na_n+1a_n+2（n为正整数），设S_n为{b_n}的前n项和，且3a₅=8a₁₂＞0，则当S_n取最大值时，n=　16　．

【考点】数列的函数特性．

【分析】由3a5=8a12＞0，知3a5=8（a5+7d），a5=﹣56d5＞0，所以d＜0．由a16=a5+11d=﹣d5＞0，a17=a5+12d=4d5＜0，知a1＞a2＞a3＞…＞a16＞0＞a17＞a18，b1＞b2＞b3＞…＞b14＞0＞b17＞b18，由此能够推导出Sn中S16最大．

【解答】解：由b_n=a_na_n+1a_n+2且3a₅=8a₁₂＞0，

所以，3a₅=8（a₅+7d）

所以，＞0，即d＜0

因为a₁₆=a₅+11d=，

所以，a₁＞a₂＞…＞a₁₆＞0＞a₁₇

所以，b₁＞b₂＞…＞b₁₄＞0＞b₁₇＞b₁₈

因为，b₁₅=a₁₅a₁₆a₁₇＜0，b₁₆=a₁₆a₁₇a₁₈＞0

a₁₅＜﹣a₁₈

所以，b₁₅＞﹣b₁₆即b₁₅+b₁₆＞0

所以，S₁₆＞S₁₄

所以S₁₆最大．

故答案为：16

　

二.选择题

15．已知条件p：log₂（x﹣1）＜1的解，q：x²﹣2x﹣3＜0的解，则p是q的（　　）条件．

A．充分非必要 B．必要非充分

C．充分必要 D．既非充分又非必要

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】求出p，q的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【解答】解：由log₂（x﹣1）＜1，

得：0＜x﹣1＜2，即1＜x＜3，

即p：1＜x＜3，

由x²﹣2x﹣3＜0得﹣1＜x＜3，

即q：﹣1＜x＜3，

∴p是q的充分不必要条件，

故选：A．

　

16．若方程x²cosα﹣y²sinα+2=0所表示的曲线为双曲线，则圆x²+y²+2xcosα﹣2ysinα=0的圆心在 （　　）

A．第一或第三象限 B．第二或第四象限

C．第一或第二象限 D．第三或第四象限

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】由于方程x²cosα﹣y²sinα+2=0所表示的曲线为双曲线，结合三角函数的符号可得，cosα•sinα＞0，而圆x²+y²+2xcosα﹣2ysinα=0的圆心坐标为（﹣cosα，sinα）根据其坐标的特点即可得出结论．

【解答】解：由于方程x²cosα﹣y²sinα+2=0所表示的曲线为双曲线，

∴cosα•sinα＞0，

而圆x²+y²+2xcosα﹣2ysinα=0的圆心坐标为（﹣cosα，sinα）

结合三角函数的符号可得，圆心的横坐标与纵坐标符号相反，

故其位置在第二或第四象限．

故选B．

　

17．现有某种细胞100个，其中有约占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，要使细胞总数超过10¹⁰个，需至少经过（　　）

A．42小时 B．46小时 C．50小时 D．52小时

【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域．

【分析】根据分裂的规律得到细胞总数y与时间x（小时）之间的函数关系为：y=100×x∈N^*，再建立不等式求解．

【解答】解：根据分裂的规律得到细胞总数y与时间x（小时）之间的函数关系为：y=100×x∈N^*，

由y=100×＞10¹⁰，解得＞10⁸，即 xlg＞8，即 x＞≈45.45．

∴x＞45.45，

故经过46小时，细胞总数超过10¹⁰个．

　

18．已知f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，若实数m，n满足等式，则的取值范围是（　　）

A． B． C． D．[1，3]

【考点】函数与方程的综合运用．

【分析】由函数f（x）是递增函数，且y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，可得函数f（x）是奇函数，

再结合f（n﹣3）+f（）=0可得（n﹣3）+=0，进而利用数形结合求出结果．

【解答】解：f（x）是定义在R上的增函数，且函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，

所以函数f（x）是奇函数；

又f（n﹣3）+f（）=0，

所以（n﹣3）+=0，且4m﹣m²﹣3≥0；

即，

画出不等式组表示的图形，如图所示；

则实数m，n表示一段圆弧，

所以表示圆弧上的点（m，n）与点（0，0）连线的斜率，

所以结合图象可得：的最大值是直线OA的斜率，为=3，

最小值是直线OB的斜率，不妨设为k，

则，

消去n，得（m﹣2）²+（km﹣3）²=1，

整理得（k²+1）m²﹣（6k+4）m+12=0，

令△=（6k+4）²﹣4×12×（k²+1）=0，

化简得3k²﹣12k+8=0，

解得k=2±，

应取k=2﹣为最小值；

所以的取值范围是：[2﹣，3]．

故选：C．

　

三.解答题

19．如图，在xoy平面上，点A（1，0），点B在单位圆上，∠AOB=θ（0＜θ＜π）

（1）若点B（﹣，），求tan（+）的值；

（2）若+=，四边形OACB的面积用S_θ表示，求S_θ+•的取值范围．

【考点】平面向量数量积的运算；三角函数线．

【分析】（1）利用任意角的三角函数定义可得sinθ，cosθ，再利用半角公式和两角和差的正切公式=即可得出；

（2）利用向量的数量积运算法则、平行四边形的面积计算公式可得=sinθ+cosθ+1，再利用两角和的正弦公式即可得出．

【解答】解：（1）∵B，∠AOB=θ，

∴cosθ=﹣，．

∴==2．

∴===﹣3．

（2）S_θ=|OA||OB|sinθ=sinθ，

∵=（1，0），=（cosθ，sinθ），

∴=+=（1+cosθ，sinθ），

∴=1+cosθ，

∴=sinθ+cosθ+1=+1（0＜θ＜π），

∵，

∴≤1，

∴．

　

20．已知椭圆（a＞b＞0），右焦点，点在椭圆上；

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）是否存在过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，且∠AFB=90°？若存在，请求出所有符合要求的直线；若不存在，请说明理由．

【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．

【分析】（1）根据焦点坐标和D点坐标列方程组求出a²，b²即可；

（2）对直线l的斜率进行讨论，使用根与系数的关系计算，根据计算结果是否为0得出结论．

【解答】解：（1）由题意可知，

解得a²=4，b²=2，

∴椭圆C的标准方程为：．

（2）若直线l无斜率，则直线l的方程为x=0，

∴A（0，），B（0，﹣），又F（，0），

∴∠AFB=∠AFO+∠BFO=90°，符合题意；

若直线l有斜率，设直线l的方程为y=kx，

联立方程组，消元得（1+2k²）x²=4，

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=0，x₁•x₂=﹣，y₁y₂=﹣．

∴=（x₁﹣，y₁），=（x₂﹣，y₂），

∴=（x₁﹣）（x₂﹣）+y₁y₂=x₁x₂﹣（x₁+x₂）+2+y₁y₂

=﹣+2﹣=﹣≠0，

∴与不垂直，即∠AFB≠90°．

综上，存在过原点的直线l使得∠AFB=90°，直线l的方程为x=0．

　

21．某厂预计从2016年初开始的前x个月内，市场对某种产品的需求总量f（x）（单位：台）与月份x的近似关系为：f（x）=x（x+1）（35﹣2x），x∈N^*且x≤12；

（1）写出2016年第x个月的需求量g（x）与月份x的关系式；

（2）如果该厂此种产品每月生产a台，为保证每月满足市场需求，则a至少为多少？

【考点】函数模型的选择与应用．

【分析】（1）把x=1代入到f（x）得到f（1）即为g（1），当x≥2时，g（x）=f（x）﹣f（x﹣1）化简得出解析式；

（2）对一切x∈{1，2，12}有ax≥f（x）列出不等式得到a≥一个函数，求出函数的最大值得到a的取值范围．

【解答】解：（1）g（1）=f（1）=1×2×33=66，

g（x）=f（x）﹣f（x﹣1）

=x（x+1）（35﹣2x）﹣[（x﹣1）x（35﹣2（x﹣1）]，

=﹣6x²+72x．

当x=1时，g（x）=﹣6x²+72x=66=g（1）．

∴g（x）=﹣6x²+72x；

（2）依题意，对一切x∈{1，2，…，12}有ax≥f（x）．

∴a≥（x+1）（35﹣2x），x∈{1，2，…，12}．

设h（x）=﹣2（x﹣）²+35+，

∴h（x）_max=h（8）=171．故a≥171．

故保证每月满足市场需求，则a至少应为171台．

　

22．设f（x）是定义在[a，b]上的函数，若存在，使得f（x）在上单调递增，在上单调递减，则称f（x）为[a，b]上的单峰函数，称为峰点，包含峰点的区间称

为含峰区间；

（1）判断下列函数：①f₁（x）=x﹣2x²，②f₂（x）=|log₂（x+0.5）|，哪些是“[0，1]上的单峰函数”？若是，指出峰点，若不是，说明理由；

（2）若函数f（x）=ax³+x（a＜0）是[1，2]上的单峰函数，求实数a的取值范围；

（3）设f（x）是[a，b]上的单峰函数，若m，n∈（a，b），m＜n，且f（m）≥f（n），求证：（a，n）为f（x）的含峰区间．

【考点】函数与方程的综合运用．

【分析】（1）依次判断各函数在（0，1）上是否存在极大值点即可得出结论；

（2）求出f（x）的极大值点，令极大值点在区间（1，2）上即可；

（3）利用f（x）的单调性得出f（x）的峰点在区间（a，n）上即可．

【解答】解：（1）①f₁′（x）=1﹣4x，令f₁′（x）=0得x=，

当0时，f₁′（x）＞0，当时，f₁′（x）＜0，

∴f₁（x）在[0，]上单调递增，在[，1]上单调递减，

∴f₁（x）是[0，1]上的单峰函数，峰点为；

②当x∈[0，1]时，f₂（x）=|log₂（x+0.5）|=．

∴f₂（x）在[0，0.5]上单调递减，在[0.5，1]上单调递增，

∴f₂（x）不是[0，1]上的单峰函数；

（2）f′（x）=3ax²+1，令f′（x）=0得x=±，

当x＜﹣时，f′（x）＜0，当﹣＜x＜时，f′（x）＞0，

当x＞时，f′（x）＜0，

∴x=是f（x）的极大值点，

∵函数f（x）是[1，2]上的单峰函数，

∴1＜＜2，解得：．

（3）证明：∵f（x）是[a，b]上的单峰函数，

∴存在x₀∈（a，b），使得f（x）在（a，x₀）上单调递增，在（x₀，b）上单调递减，

假设n≤x₀，则f（x）在（m，n）上是增函数，

∴f（m）＜f（n），与f（m）≥f（n）矛盾；

∴假设错误，故n＞x₀，

∴f（x）在（a，x₀）上单调递增，在（x₀，n）上单调递减，

∴（a，n）为f（x）的含峰区间．

　

23．设数列{a_n}，对任意n∈N^*都有（kn+b）（a₁+a_n）+p=2（a₁+a₂…+a_n），（其中k、b、p是常数）．

（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，求a₁+a₂+a₃+…+a_n；

（2）当k=1，b=0，p=0时，若a₃=3，a₉=15，求数列{a_n}的通项公式；

（3）若数列{a_n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．当k=1，b=0，p=0时，设S_n是数列{a_n}的前n项和，a₂﹣a₁=2，试问：是否存在这样的“封闭数列”{a_n}，使得对任意n∈N^*，都有S_n≠0，且．若存在，求数列{a_n}的首项a₁的所有取值；若不存在，说明理由．

【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．

【分析】（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，3（a₁+a_n）﹣4=2（a₁+a₂…+a_n），再写一式，两式相减，可得数列{a_n}是以首项为1，公比为3的等比数列，从而可求a₁+a₂+a₃+…+a_n；

（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a₁+a_n）=2（a₁+a₂…+a_n），再写一式，两式相减，可得数列{a_n}是等差数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；

（3）确定数列{a_n}的通项，利用{a_n}是“封闭数列”，得a₁是偶数，从而可得，再利用，验证，可求数列{a_n}的首项a₁的所有取值．

【解答】解：（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，3（a₁+a_n）﹣4=2（a₁+a₂…+a_n），①

用n+1去代n得，3（a₁+a_n+1）﹣4=2（a₁+a₂…+a_n+a_n+1），②

②﹣①得，3（a_n+1﹣a_n）=2a_n+1，a_n+1=3a_n，

在①中令n=1得，a₁=1，则a_n≠0，∴，

∴数列{a_n}是以首项为1，公比为3的等比数列，

∴a₁+a₂+a₃+…+a_n=．

（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a₁+a_n）=2（a₁+a₂…+a_n），③

用n+1去代n得，（n+1）（a₁+a_n+1）=2（a₁+a₂…+a_n+a_n+1），④

④﹣③得，（n﹣1）a_n+1﹣na_n+a₁=0，⑤

用n+1去代n得，na_n+2﹣（n+1）a_n+1+a₁=0，⑥

⑥﹣⑤得，na_n+2﹣2na_n+1+na_n=0，即a_n+2﹣a_n+1=a_n+1﹣a_n，

∴数列{a_n}是等差数列．

∵a₃=3，a₉=15，∴公差，∴a_n=2n﹣3．

（3）由（2）知数列{a_n}是等差数列，∵a₂﹣a₁=2，∴a_n=a₁+2（n﹣1）．

又{a_n}是“封闭数列”，得：对任意m，n∈N^*，必存在p∈N^*使a₁+2（n﹣1）+a₁+2（m﹣1）=a₁+2（p﹣1），

得a₁=2（p﹣m﹣n+1），故a₁是偶数，

又由已知，，故．

一方面，当时，S_n=n（n+a₁﹣1）＞0，对任意n∈N^*，都有．

另一方面，当a₁=2时，S_n=n（n+1），，则，

取n=2，则，不合题意．

当a₁=4时，S_n=n（n+3），，则，

当a₁≥6时，S_n=n（n+a₁﹣1）＞n（n+3），，，

又，

∴a₁=4或a₁=6或a₁=8或a₁=10．

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