高三数学拓展课03
2017.10.10
一、填空题
1. 设全集
，若集合
，则
____________.
2. 已知虚数
是方程
的一个根，则
____________.
3. 函数
的反函数
____________.
4. 在二项式
的展开式中，常数项的值为____________.
5. 行列式
的最大值为____________.
6. 在等差数列
中，已知
，则数列的前10项的和等于____________.
7. 在正项等比数列中，已知
，则
____________.
8. 已知函数
的对应关系如下表：
|
|
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
|
|
3 |
-2 |
1 |
5 |
|
若函数不存在反函数，则实数
的取值集合为____________.
9. 锅中煮有肉馅、三鲜馅、菌菇陷的水饺各5个，这三种水饺的外形完全相同，从中任意舀取4个水饺，则每种水饺都至少取到1个的概率为____________.
10. 如图所示，半径
的球
中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差等于____________.
11. 设函数
（其中
），若不等式
的解集为
，则实数
的取值范围为____________.
12. 若函数
恰有两个零点，则实数的取值范围是____________.
二、选择题
13. 设非空集合
、
满足
，则（ ）
A. 任意
，有
B. 任意
，有
C. 存在
，使得
D. 存在，使得
14. 已知
都是实数，那么“
”是“
”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
15. 已知函数
，以下说法正确的是（ ）
A. 任意
，函数在定义域上单调递增
B. 任意，函数存在零点
C. 存在，函数有最大值
D. 存在，函数没有最小值
16. 设函数
若关于
的方程
有四个不同的解
，且
，则
的取值范围是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
三、解答题
17. 如图，在正三棱柱
中，已知它的底面边长为10，高为20
（1）求正三棱柱的表面积与体积；
（2）若、分别是
、
的中点，求异面直线
与
所成角的大小
18. 已知
（1）若
，求
中含
项的系数
（2）若
，求
的值
19. 如图，在直角坐标系
中，角
的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点
，且
，将角的终边按逆时针方向旋转
，交单位圆于点
，记
（1）若
，求
；
（2）分别过
作轴的垂线，垂足依次为
，记
的面积为
，
的面积为
，若
，求角的值
20. 设是定义在
上的函数，若对任何实数
以及
恒有
成立，则称为定义在上的下凸函数
（1）试判断函数
是否为各自定义域上的下凸函数，并说明理由；
（2）若
是下凸函数，求实数
的取值范围；
（3）已知是
上的下凸函数，是给定的正整数，设
，记
，对于满足条件的任意函数，试求
的最大值
21. 已知函数
（1）函数
是函数
的反函数，解方程：
；
（2）当
时，定义
，设
，数列的前
项和为
，求
、
、
、
和
；
（3）对于任意、
、
，且
，当、、
能作为一个三角形的三边长时，
、
、
也总能作为某个三角形的三边长，试探究
的最小值
参考答案
1、
2、3 3、
4、28 5、13 6、80
7、
8、
9、
10、
11、
12、
13-16、BDDD
17、（1）表面积为
；体积为
；（2）
18、（1）99；（2）
19、（1）
；（2）
20、（1）
是下凸函数，
不是下凸函数；
（2）
；（3）
21、（1）
（2）
、
、
、
和
；（3）的最小值为2
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