上海市杨浦区2018-2019学年九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）
如果
，那么下列结论正确的是
A. x：：5 B. x：
：6 C. 
，
D. 
，
【答案】A
【解析】解：
，
，
故选项A正确．
故选：A．
直接利用比例的性质将原式变形进而得出答案．
此题主要考查了比例的性质，正确将比例式变形是解题关键．
下列说法正确的是
A. 菱形都相似
B. 正六边形都相似
C. 矩形都相似
D. 一个内角为
的等腰三角形都相似
【答案】B
【解析】解：A、所有的菱形，边长相等，所以对应边成比例，角不一定对应相等，所以不一定都相似，故本选项错误；
B、所有的正六边形，边长相等，所以对应边成比例，角都是
，相等，所以都相似，故本选项正确；
C、所有的矩形，对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，故本选项错误；
D、一个内角为
的等腰三角形可能是顶角也可能是底角是，无法判断，此选项错误；
故选：B．
根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
本题考查的是相似形的识别，相似图形的形状相同，但大小不一定相同．
如图，点B在线段AC上，且
，设
，则AB的长为
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】C
【解析】解：
，
，
，
解得，
，
舍去，
故选：C．
根据题意列出一元二次方程，解方程即可．
本题考查的是黄金分割的概念以及黄金比值，掌握一元二次方程得到解法、理解黄金分割的概念是解题的关键．
在
中，
，
于点D，下列式子表示
B错误的是
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】D
【解析】
解：
在
中，于点D，
，
故选：D．
根据三角函数的定义解答即可．
此题考查锐角三角函数的定义，关键是根据正弦函数是对边与斜边的比进行解答．
已知和
，下列条件中一定能推得与相似的是
A. 
B. 
C. 
且
D. 
且
【答案】B
【解析】
解：A、与的三组边不是对应成比例，所以不能判定与相似
故本选项错误；
B、与的三组边对应成比例，所以能判定与相似故本选项正确；
C、与的两组不是对应边的比相等且夹角对应相等，所以不能判定与相似故本选项错误；
D、与的两组不是对应边成比例，所以不能判定与相似故本选项错误；
故选：B．
根据三角形相似的判定方法
三边对应成比例的两个三角形相似可以判断出A、B的正误；
两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判断C，
进行判断．
此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：
平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
如果一个直角三角形的两条边分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值
A. 只有一个 B. 可以有2个 C. 可以有3个 D. 无数个
【答案】B
【解析】解：一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3和4及x，
可能是斜边或4是斜边，
或
．
的值可以有2个．
故选：B．
由一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3和4及x，可得x可能是斜边或4是斜边，继而求得答案．
此题考查了相似三角形的性质与勾股定理，注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用．
二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）
已知A、B两地的实际距离为100千米，地图上的比例尺为1：2000000，则A、B两地在地图上的距离是______cm．
【答案】5
【解析】解：根据比例尺
图上距离：实际距离．
100千米
厘米得：A，B两地的图上距离为
，
故答案为：5．
根据比例尺图上距离：实际距离依题意由实际距离乘以比例尺即可得出图上距离．
此题考查比例线段问题，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的统一．
已知线段b是线段a、c的比例中项，如果
，
，那么
______．
【答案】
【解析】解：线段b是线段a、c的比例中项，
，
，，
故答案为：．
根据比例中项的定义，若b是a，c的比例中项，即
即可求解．
本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负．
在中，若，
，
，则
______
【答案】4
【解析】解：
，
，
，
故答案为：4．
根据锐角三角函数的定义得出
，代入求出即可．
本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键．
如图，AD、BC相交于点O，点E、F分别在BC、AD上，
，如果
，
，
，那么
______．
|
|
【答案】
【解析】解：
，
，
，，，
，
，
．
故答案为．
利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；
本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
已知点D、E分别在的边AB、AC上，如果
，
，那么BC的长为______．
【答案】
【解析】
解：如图，
，
，
，
∽，
，
，
，
故答案为：．
根据已知条件得到
，推出
∽，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
如图，在中，点E、D在边AC上，点F、M在边AB上，且
，
，如果FD的延长线交BC的延长线于N，那么
的值为______．
|
|
【答案】
【解析】解：
，
，
，
，
，
，
≌
，
，
：
：3，
：
：4，
，
故答案为．
首先证明EF：：3，再利用全等三角形的性质证明
即可解决问题．
本题考查平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
如图，线段AE、BD交于点C，如果
，
，
，
，那么
______．
【答案】
【解析】解：
，，，
，
，
∽
，
，
，
故答案为：
根据相似三角形的性质与判定即可求出答案．
本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．
如果
为非零向量
方向上的单位向量，那么
______．
【答案】
【解析】解：
为非零向量方向上的单位向量，
．
故答案是：．
根据向量的几何意义填空即可．
考查了平面向量，两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量．
如图，在矩形ABCD中，
，
，点P是边AB上一点，若
与
相似，则满足条件的点P有______个
【答案】3
【解析】
解：设AP为x，
，
，
和PB是对应边时，
与相似，
，
即
，
整理得，
，
解得
，
，
和BC是对应边时，
与相似，
，
即
，
解得
，
所以，当
、4、
时，与相似，
满足条件的点P有3个．
故答案为：3．
设AP为x，表示出
，然后分AD和PB是对应边，AD和BC是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
本题考查了相似三角形的判定，主要利用了相似三角形对应边成比例，难点在于要分情况讨论．
如图，将
放置在
的正方形网格中，如果顶点A、B、C均在格点上，那么的正切值为______．
|
|
【答案】1
【解析】解：如图所示，连接BC，
则
，
，
，
是等腰直角三角形，且
，
，
则
，
故答案为：1．
连接BC，先利用勾股定理逆定理证是等腰直角三角形，再根据正切函数的定义可得．
本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理和三角函数的定义．
如图，BD是四边形ABCD的对角线，
，
，点
、
分别是
和
的重心，则点、间的距离为______．
|
|
【答案】2
【解析】
解：取BD的中点G，连接AG，CG，AC，
点、分别是和的重心，
在AG上，在CG上，
，
，
∽
，
，
，，
是等边三角形，
，
，
故答案为：2．
取BD的中点G，连接AG，CG，AC，根据点、分别是和的重心，得到在AG上，在CG上，求得
，根据相似三角形的性质得到
，根据已知条件得到是等边三角形，求得
，于是得到结论．
本题考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
矩形ABCD中，E是AB的中点如图，将
沿CE翻折，点B落在点F处，联结AF，如果
，那么
的比值为______．
|
|
【答案】
【解析】
解：如图，
，
，
，
可设
，
，
由勾股定理可得
，
由轴对称的性质，可得CE垂直平分BF，
，
，
是AB的中点，
，
，
，
又
，
，
中，
，
，
故答案为：．
设，，由勾股定理可得，再根据CE垂直平分BF，可得
，
，再根据勾股定理可得，即可得出的比值．
本题考查的是翻折变换的性质、勾股定理和锐角三角函数的定义，翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
三、解答题（本大题共7小题，共46.0分）
计算：
【答案】解：原式
．
【解析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
在中，点D、E分别在边AB、AC上，
，AD：
：2，点M为EC的中点，
，
．
填空：
______；
______；结果用、
表示
在图中分别作出向量
在向量
、向量
方向上的分向量不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量
【答案】
【解析】解：
：：2，
：
：3，
，
∽，
，
，
；
点M为EC的中点，
，
，
；
故答案为：，；
如图，
向量在向量、向量方向上的分向量分别是
和
．
根据已知条件得到AD：：3，根据相似三角形的性质得到
，由，得到
；根据三角形法则得到
；
利用平行四边形法则，即可求得答案．
此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．
如图，在中，，的高AM交DE于点N，
，
，
，求MN的长．
|
|
【答案】解：设
，则
，
，
，
即
，
即MN的长为6．
【解析】设，则，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出MN的长．
本题主要考查了平行线分线段成比例的性质；熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．
如图，在中，，的周长为24，
，点D为边BC的中点．
求BC的长．
求
的余切值．
|
|
【答案】
解：
，
，
设
，
，则
，
的周长为24，
，
，
，
，，
；
过点D作
，垂足为E，
为中线，
，
，
，
在
中，
，
，
，
．
【解析】根据三角函数的定义设，，则，再由三角形的周长得出k的值，即可得出三角形的三边；
过点D作，垂足为E，根据
，再由余弦函数的定义得出答案即可．
本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理以及三角函数的定义是解题的关键．
如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，
，连接EB、ED，延长BE交AD于点
求证：
．
|
|
【答案】证明：连接BD．
四边形ABCD是正方形，
，且
，
又
是公共边，
≌
，
．
，
．
，
，
．
，
．
四边形ABCD是正方形，
，
，
．
．
又
是公共角，
∽
，
，即．
【解析】想办法证明
∽即可解决问题；
本题考查了相似三角形的判定与性质，和正方形的性质，正确理解正方形的性质是关键．
已知：点E在线段AB上，
．
如图1，AB是
的边，作
交边AC于点F，连接
求
的值．
如图2，AB是梯形ABCD的一腰，
，且
，作交边DC于点F，连接求
的值．
|
【答案】
解：如图1，
，
，
，
∽，
，
，
设
，则
，
，
，
，
，
；
如图2，设
，则
，
连接AC，交EF于G，
连接AF，
，
∽，
，
，
，
，
，
同理可得
，
，
，
，
，
设
，则
，
，
，
，
，
，
．
【解析】证明
∽，得
，根据相似三角形的性质得两三角形面积的关系，设，则，根据
，得
，所以
，可得结论；
设
，则，证明
∽，得
，则，设，则，根据同高三角形面积的比等于对应底边的比，可得：
，
，代入可得结论．
本题考查了相似三角形的性质和判定、平行线分线段成比例定理，熟练掌握相似三角形的性质：相似三角形面积比等于相似比的平方是关键，并运用了类比的思想解决问题，本题有难度．
在中，
，
，点C在直线m上，
，
，其中点D、E分别在直线AC、m上，将
绕点B旋转点D、E都不与点C重合．
当点D在边AC上时如图
，设
，
，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
当
为等腰三角形时，求CD的长．
|
【答案】解：
，
．
．
，
，
．
∽
．
，即
．
；
当
时，C、D重合，不符合题意，舍去；
当
时，如图1，
，
，
．
则
．
．
，
是等腰直角三角形．
，
；
当
时，
Ⅰ如图2，
，
．
．
．
，
．
；
Ⅱ如图3，则
，
．
，
，
．
．
．
所以当为等腰三角形时，CD的长为2或
或
．
【解析】证明
∽
，通过比例式找到y与x的关系；
分情况讨论，
当
时，C、D重合，不符合题意，舍去；
当
时，如图1；当
时，有两种图形如图2、
画出对应图形后，根据等腰三角形的性质，求出底角度数，再转化为边之间的关系即可求解．
本题主要考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，还考查了分类讨论思想，解题的关键是画出对应图形进行求解．
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