衡水中学高中数学一轮复习模考卷
数学理科试题
一、选择题
1、已知集合
,则( )
A.
B.
C.
D.
2.已知
,则复数
( )
A.
B.
C.
D.
3.已知
,则
的大小关系是( )
A.
B.
C.
D.
4.已知数列
为等比数列, 
,则
,若数列
为等差数列, 
,则数列的类似结论为( )
A. 
B. 
C. 
D. 
5.若两个正实数
,满足
,且不等式
有解,则实数m的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
6、阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.若输出的
为
,则判断框中填写的内容可以是( )
A.
B.
C.
D.
7、“
” 是“方程
表示椭圆”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
8.设随机变量
,集合
不存在零点
,则
( )
A.
B.
C.
D.
9.已知
，若
，则
的值为（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.2
10.在
中,角
的对边分别为
,若
,则
( )
A.1 B.2 C.
D.
11.设双曲线
的左、右焦点分别为
,
，过点
作x轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为
.已知
,点
是双曲线
右支上的动点，且
恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
12.已知函数
满足
,当
时,
.若函数
在区间
上有三个不同的零点,则实数m的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
13.若实数
满足约束条件
,则
的最小值为_______.
14.下列说法:
①线性回归方程
必过
;
②命题“
”的否定是“
”
③相关系数
越小,表明两个变量相关性越弱;
④在一个
列联表中,由计算得
,则
有的把握认为这两个变量间有关系;其中正确的说法是 .(把你认为正确的结论都写在横线上)
本题可参考独立性检验临界值表:
|
|
0.100 |
0.050 |
0.025 |
0.010 |
0.001 |
|
|
2.706 |
3.841 |
5.024 |
6.635 |
10.828 |
15.函数
若
,则
.
16.在
中,
为边
上一点.若
,则
的值为______.
三、解答题
17.已知数列
的前
项和为
,
（1）求数列的通项公式;
（2）设
,求数列
的前n项和
.
18.已知三棱锥
中,
为等腰直角三角形,
设点E为
的中点,点D为
的中点,点F为
上一点,且
.
(1)证明:
平面
;
(2)若
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
19.为响应绿色出行,前段时间贵阳市在推出“共享单车”后,又推出“新能源分时租赁汽车”,其中一款新能源分时租赁汽车,每次租车收费的标准由两部分组成:①根据行驶里程按1元/公里计费;②行驶时间不超过40分钟时,按0.12元/分钟计费;超出部分按0.20元/分钟计费,已知张先生家离上班地点15公里,每天租用该款汽车上、下班各一次。由于堵车、红路灯等因素,每次路上开车花费的时间t(分钟)是一个随机变量。现统计了100次路上开车花费时间,在各时间段
内的频数分布情况如下表所示:
|
时间t(分钟) |
(20,30] |
(30,40] |
(40,50] |
(50,60] |
|
频数 |
4 |
36 |
40 |
20 |
将各时间段发生的频率视为概率,每次路上开车花费的时间视为用车的时间,范围为(20,60]分钟。
(1)写出张先生一次租车费用y(元)与用车时间t(分钟)的函数关系式;
(2)若公司每月给900元的车补,请估计张先生每月(按24天计算)的车补是否足够上下租用新能源分时租赁汽车?并说明理由。(同一时段,用该区间的中点值作代表)
(3)若张先生一次开车时间不超过40分钟为“路段畅通”,设
表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数,求的分布列和期望。
20.已知椭圆
的一个焦点与抛物线
的焦点重合,且直线
与圆
相切.
(1)求椭圆
的方程;
(2)设斜率为
且不过原点的直线
与椭圆相交于
两点,
为坐标原点,直线
的斜率分别为
,若
成等比数列,推断
是否为定值?若是,求出此定值;若不是,说明理由.
21.已知函数
(e为自然对数的底数)
(1)求函数
的值域;
(2)若不等式
对任意
恒成立,求实数
的取值范围;
选做题：
在直角坐标系
中,曲线
(
为参数,
),其中
.在以
为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
,
.
（1）求
与
交点的直角坐标;
（2）若
与相交于点
,与相交于点,求
的最大值.
23.设函数
.
（1）解不等式
;
（2）设函数
,且
在
上恒成立,求实数
的取值范围.
参考答案
选择题
B 2.A 3.C 4.D 5.B 6.D 7.A 8.A 9.A 10.A 11.B 12.A
填空题
13.
14.①④ 15.1 16.-3
三、解答题
17.（1）由
可得
,
上述两式相减可得
,即
,
因为
,所以
,所以
,
所以
所以数列
是首项为1,公比为2的等比数列,所以
（2）由1可得
,
所以
,
所以
18. （1）证明:连接PD交
于G点,连接FG,
点E为PA中点,点D为AC中点,
点G为
的重心,
,
又
平面,
平面,
平面.
（2）因为
,
,
,
所以
全等于,
,
,
,
又
,
则以AB、AC、AP所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系
如图所示,
则
,
,
,
,
,
,
,
设平面
的一个法向量为
,
解得
,
即
设直线CE与平面所成角为
,则
所以直线CE与平面所成角的正弦值为
19. （1）当
时,
当
时,
得:
（2）张先生租用一次新能源分时汽车上下班,平均用车时间为:
每次上下班租车的费用约为
一个月上下班租车的费用约为
,
估计张先生每月的车补不够上下班租用新能源分时租赁汽车费用。
张先生租赁分时汽车为“路段畅通”的概率
,
可取
.
,
的分布列为:
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
p |
|
|
|
|
(或依题意
20. （1）因为抛物线
的焦点为
,
则
,所以
因为直线
与圆
相切,
则
,即
.
解得
,
所以椭圆的方程是
（2）设直线的方程为
点
,
将直线
的方程代入椭圆方程,
得
,即
,
则
.
由已知,
,
则
,
即
所以
,即
.
因为
,则
,即
,
从而
.
所以
为定值.
21. （1）
,
,所以
,故函数
在
上单调递减,
故函数
的最大值为
;
的最小值为
,
所以函数的值域为
（2）原不等式可化为
(*),
因为
恒成立,故(*)式可化为
.
令
,则
当
时,
,
所以函数
在
上单调递增,故
所以
;
当
时,令
,得
,
且当
时,
;
当
时,
.
所以当
即
时,
函数
成立
当
即
时,函数在上单调递减,
,解得
综上,
22.（1）曲线的直角坐标方程为
,
曲线的直角坐标方程为
.
联立
解得
或
所以与交点的直角坐标为
和
.
2.曲线的极坐标方程为
,
其中
.
因此
的极坐标为
,
的极坐标为
.
所以
.
当
时,取得最大值,最大值为
.
23.（1）∵函数 
,故由不等式可得
或
解得
.
2.函数在
上恒成立,
即
在
上恒成立,在同一个坐标系中画出函数
和
的图象,如图所示.
故当时,若
时,
则函数
在函数的图象的下方,
在 上恒成立,求得
,
故所求的实数的取值范围为
.
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