2017-2018学年上海市浦东新区高一（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.
1．函数y=ax（a＞0且a≠1）的图象均过定点 ．
2．请写出“好货不便宜”的等价命题： ．
3．若集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}满足A∩B={1}，则实数a= ．
4．不等式2|x﹣1|﹣1＜0的解集是 ．
5．若f（x+1）=2x﹣1，则f（1）= ．
6．不等式
的解集为 ．
7．设函数f（x）=（x+1）（x+a）为偶函数，则a= ．
8．已知函数f（x）=
，g（x）=
，则f（x）•g（x）= ．
9．设α：x≤﹣5或x≥1，β：2m﹣3≤x≤2m+1，若α是β的必要条件，求实数m的取值范围 ．
10．函数
的值域是 ．
11．已知ab＞0，且a+4b=1，则
的最小值为 ．
12．已知函数f（x）=
是R上的增函数，则a的取值范围是 ．
二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分.
13．函数y=x
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．已知f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x﹣1，则x＜0时f（x）=（ ）
A．﹣x﹣1 B．x+1 C．﹣x+1 D．x﹣1
15．证券公司提示：股市有风险，入市需谨慎．小强买的股票A连续4个跌停（一个跌停：比前一天收市价下跌10%），则至少需要几个涨停，才能不亏损（一个涨停：比前一天收市价上涨10%）．（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
16．给定实数x，定义[x]为不大于x的最大整数，则下列结论中不正确的是（ ）
A．x﹣[x]≥0
B．x﹣[x]＜1
C．令f（x）=x﹣[x]，对任意实数x，f（x+1）=f（x）恒成立
D．令f（x）=x﹣[x]，对任意实数x，f（﹣x）=f（x）恒成立
三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
17．已知
，求实数m的取值范围．
18．如图，矩形草坪AMPN中，点C在对角线MN上．CD垂直于AN于点D，CB垂直于AM于点B，|CD|=|AB|=3米，|AD|=|BC|=2米，设|DN|=x米，|BM|=y米．求这块矩形草坪AMPN面积的最小值．
19．设a是实数，函数f（x）=a﹣
（x∈R），
（1）若已知（1，2）为该函数图象上一点，求a的值．
（2）证明：对于任意a，f（x）在R上为增函数．
20．已知函数f（x）=x2﹣2ax+1．
（1）若对任意的实数x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，求实数 a的值；
（2）若f（x）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，求实数a的取值范围；
（3）当x∈[﹣1，1]时，求函数f（x）的最大值．
21．在区间D上，如果函数f（x）为减函数，而xf（x）为增函数，则称f（x）为D上的弱减函数．若f（x）=
（1）判断f（x）在区间[0，+∞）上是否为弱减函数；
（2）当x∈[1，3]时，不等式
恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若函数g（x）=f（x）+k|x|﹣1在[0，3]上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．
2017-2018学年上海市浦东新区高一（上）
期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.
1．函数y=ax（a＞0且a≠1）的图象均过定点 （0，1） ．
【考点】指数函数的图象与性质．
【分析】根据指数函数的性质判断即可．
【解答】解：∵a0=1，a＞0且a≠1，
∴函数y=ax（a＞0且a≠1）的图象均过定点（0，1），
故答案为：（0，1）．
2．请写出“好货不便宜”的等价命题： 便宜没好货 ．
【考点】四种命题．
【分析】写出原命题的逆否命题，可得答案．
【解答】解：“好货不便宜”即“如果货物为好货，则价格不便宜”，
其逆否命题为：“如果价格便宜，则货物不是好货”，
即“便宜没好货”，
故答案为：便宜没好货
3．若集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}满足A∩B={1}，则实数a= 1 ．
【考点】交集及其运算．
【分析】由A，B，以及两集合的交集，确定出a的值即可．
【解答】解：∵A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∩B={1}，
∴a=1，
故答案为：1
4．不等式2|x﹣1|﹣1＜0的解集是 
．
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】先去掉绝对值然后再根据绝对值不等式的解法进行求解．
【解答】解：①若x≥1，∴2（x﹣1）﹣1＜0，∴x＜
；
②若x＜1，∴2（1﹣x）﹣1＜0，∴x＞
；
综上＜x＜．
故答案为：＜x＜．
5．若f（x+1）=2x﹣1，则f（1）= ﹣1 ．
【考点】函数的值．
【分析】f（1）=f（0+1），由此利用f（x+1）=2x﹣1，能求出结果．
【解答】解：∵f（x+1）=2x﹣1，
∴f（1）=f（0+1）=2×0﹣1=﹣1．
故答案为：﹣1．
6．不等式
的解集为 （﹣∞，2）∪[3，+∞） ．
【考点】其他不等式的解法．
【分析】首先将不等式化为整式不等式，然后求解集．
【解答】解：原不等式等价于（x﹣3）（x﹣2）≥0且x﹣2≠0，
所以不等式的解集为（﹣∞，2）∪[3，+∞）；
故答案为：（﹣∞，2）∪[3，+∞）
7．设函数f（x）=（x+1）（x+a）为偶函数，则a= ﹣1 ．
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】因为函数为偶函数，则根据偶函数定义f（﹣x）=f（x）得到等式解出a即可．
【解答】解：∵函数为偶函数得f（1）=f（﹣1）
得：2（1+a）=0
∴a=﹣1．
故答案为：﹣1．
8．已知函数f（x）=，g（x）=，则f（x）•g（x）= x，x∈（﹣1，0）∪（0，+∞） ．
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【分析】直接将f（x），g（x）代入约分即可．
【解答】解：∵函数f（x）=，g（x）=，
∴f（x）•g（x）=x，x∈（﹣1，0）∪（0，+∞），
故答案为：x，x∈（﹣1，0）∪（0，+∞）．
9．设α：x≤﹣5或x≥1，β：2m﹣3≤x≤2m+1，若α是β的必要条件，求实数m的取值范围 m≤﹣3或m≥2 ．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系求出m的范围即可．
【解答】解：α：x≤﹣5或x≥1，β：2m﹣3≤x≤2m+1，
若α是β的必要条件，
则2m﹣3≥1或2m+1≤﹣5，
故m≥2或m≤﹣3，
故答案为：m≥2或m≤﹣3．
10．函数
的值域是 （0，4] ．
【考点】函数的值域．
【分析】换元得出设t=x2﹣2≥﹣2，y=（
）t，求解即可得出答案．
【解答】解：设t=x2﹣2≥﹣2，
∵y=（）t为减函数，
∴0＜（）t≤（）﹣2=4，
故函数的值域是（0，4]，
故答案为：（0，4]．
11．已知ab＞0，且a+4b=1，则的最小值为 9 ．
【考点】基本不等式．
【分析】把“1”换成4a+b，整理后积为定值，然后用基本不等式求最小值
【解答】解：∵ab＞0，且a+4b=1，
∴=（）（a+4b）=1+4+
+
≥5+2
=9，当且仅当a=
，b=
时取等号，
∴
的最小值为9，
故答案为：9．
12．已知函数f（x）=
是R上的增函数，则a的取值范围是 （﹣∞，0） ．
【考点】函数单调性的性质．
【分析】由条件利用函数的单调性的性质，可得1﹣2a＞1，且 a＜0，由此求得a的取值范围．
【解答】解：由于函数f（x）=是R上的增函数，∴1﹣2a＞1，且a＜0，
求得a＜0，
故答案为：（﹣∞，0）．
二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分.
13．函数y=x
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】函数的图象．
【分析】根据函数的奇偶性和函数值得变化趋势即可判断．
【解答】解：y=f（﹣x）=
=
=f（x），
∴函数y=x为偶函数，
∴图象关于y轴对称，故排除C，D，
∵
＞1，
∴当x＞0时，y=x
的变化是越来越快，故排除B
故选：A
14．已知f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x﹣1，则x＜0时f（x）=（ ）
A．﹣x﹣1 B．x+1 C．﹣x+1 D．x﹣1
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】根据x＞0时函数的表达式，可得x＜0时f（﹣x）=﹣x﹣1，再利用奇函数的定义，即可算出当x＜0时函数f（x）的表达式．
【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，
∵当x＞0时，f（x）=x﹣1，
∴当x＜0时，f（﹣x）=﹣x﹣1，
又∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（x）=﹣f（﹣x），
∴当x＜0时，f（x）=﹣f（﹣x）=x+1，
故选B．
15．证券公司提示：股市有风险，入市需谨慎．小强买的股票A连续4个跌停（一个跌停：比前一天收市价下跌10%），则至少需要几个涨停，才能不亏损（一个涨停：比前一天收市价上涨10%）．（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】函数的值．
【分析】设小强买的股票A时买入价格为a，连续4个跌停后价格为a（1﹣10%）4=0.6561a，设至少需要x个涨停，才能不亏损，则0.6564a（1+10%）x≥a，由此能求出结果．
【解答】解：设小强买的股票A时买入价格为a，
连续4个跌停后价格为a（1﹣10%）4=0.6561a，
设至少需要x个涨停，才能不亏损，则0.6564a（1+10%）x≥a，
整理得：1.1x≥1.5235，
∵1.15=1.6105，1.14=1.4641．
∴至少需要5个涨停，才能不亏损．
故选：C．
16．给定实数x，定义[x]为不大于x的最大整数，则下列结论中不正确的是（ ）
A．x﹣[x]≥0
B．x﹣[x]＜1
C．令f（x）=x﹣[x]，对任意实数x，f（x+1）=f（x）恒成立
D．令f（x）=x﹣[x]，对任意实数x，f（﹣x）=f（x）恒成立
【考点】函数的值；函数解析式的求解及常用方法．
【分析】利用[x]为不大于x的最大整数，结合函数性质求解．
【解答】解：在A中，∵[x]为不大于x的最大整数，∴x﹣[x]≥0，故A正确；
在B中，∵[x]为不大于x的最大整数，∴x﹣[x]＜1，故B正确；
在C中，∵[x]为不大于x的最大整数，f（x）=x﹣[x]，
∴对任意实数x，f（x+1）=f（x）恒成立，故C正确；
在D中，∵[x]为不大于x的最大整数，f（x）=x﹣[x]，
∴f（﹣3.2）=﹣3.2﹣[﹣3.2]=﹣3.2+4=0.8，f（3.2）=3.2﹣[3.2]=3.2﹣3=0.2，
∴对任意实数x，f（x+1）=f（x）不成立，故D错误．
故选：D．
三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
17．已知
，求实数m的取值范围．
【考点】幂函数的性质．
【分析】根据函数的单调性得到关于m的不等式，解出即可．
【解答】解：（1）设函数
，
函数为R上的单调递增函数 …
得，m2+m≤﹣m+3…
即，m2+2m﹣3≤0…
得，（m﹣1）（m+3）≤0
所以，m的取值范围为：m∈[﹣3，1]…
18．如图，矩形草坪AMPN中，点C在对角线MN上．CD垂直于AN于点D，CB垂直于AM于点B，|CD|=|AB|=3米，|AD|=|BC|=2米，设|DN|=x米，|BM|=y米．求这块矩形草坪AMPN面积的最小值．
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】由题意
，表示出矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．
【解答】解：由题意…．
SAMPN=（x+2）（y+3）=xy+3x+2y+6=12+3x+2y…．
…．
当且仅当3x=2y，即x=2，y=3时取得等号．…．
面积的最小值为24平方米． …．
19．设a是实数，函数f（x）=a﹣
（x∈R），
（1）若已知（1，2）为该函数图象上一点，求a的值．
（2）证明：对于任意a，f（x）在R上为增函数．
【考点】函数的图象．
【分析】（1）代值计算即可求出a
（2）运用函数的定义判断证明函数的单调性，先在取两个值x1，x2后进行作差变形，确定符号，最后下结论即可．
【解答】解：（1）
．
（2）证明：设任意x1，x2∈R，x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）=
=
=
，
由于指数函数y=2x在R上是增函数，且x1＜x2，所以
即
，
又由2x＞0，得
，
，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2），
所以，对于任意a，f（x）在R上为增函数．
20．已知函数f（x）=x2﹣2ax+1．
（1）若对任意的实数x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，求实数 a的值；
（2）若f（x）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，求实数a的取值范围；
（3）当x∈[﹣1，1]时，求函数f（x）的最大值．
【考点】函数的最值及其几何意义；二次函数的性质．
【分析】（1）由题意可得x=1为对称轴，求得f（x）的对称轴方程，即可得到a；
（2）求得f（x）的递增区间，[1，+∞）为它的子区间，可得a的范围；
（3）由函数图象开口向上，对称轴x=a，可得最大值只能在端点处取得，讨论a=0，a＞0，a＜0，即可得到所求最大值．
【解答】解：（1）由对任意的实数x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，
知函数f（x）=x2﹣2ax+1的对称轴为x=a，即a=1；
（2）函数f（x）=x2﹣2ax+1的图象的对称轴为直线x=a，
由f（x）在[a，+∞）上为单调递增函数，
y=f（x）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，得，a≤1；
（3）函数图象开口向上，对称轴x=a，可得最大值只能在端点处取得．
当a＜0时，x=1时，函数取得最大值为：2﹣2a；
当a＞0时，x=﹣1时，函数取得最大值为：2+2a；
当a=0时，x=1或﹣1时，函数取得最大值为：2．
21．在区间D上，如果函数f（x）为减函数，而xf（x）为增函数，则称f（x）为D上的弱减函数．若f（x）=
（1）判断f（x）在区间[0，+∞）上是否为弱减函数；
（2）当x∈[1，3]时，不等式
恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若函数g（x）=f（x）+k|x|﹣1在[0，3]上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．
【考点】函数单调性的性质．
【分析】（1）利用初等函数的性质、弱减函数的定义，判断
是[0，+∞）上的弱减函数．
（2）根据题意可得
，再利用函数的单调性求得函数的最值，可得a的范围．
（3）根据题意，当x∈（0，3]时，方程
只有一解，分离参数k，换元利用二次函数的性质，求得k的范围．
【解答】解：（1）由初等函数性质知，
在[0，+∞）上单调递减，
而
在[0，+∞）上单调递增，
所以是[0，+∞）上的弱减函数．
（2）不等式化为
在x∈[1，3]上恒成立，则
，
而
在[1，3]单调递增，∴
的最小值为
，的最大值为
，
∴
，∴a∈[﹣1，]．
（3）由题意知方程
在[0，3]上有两个不同根，
①当x=0时，上式恒成立；
②当x∈（0，3]时，则由题意可得方程只有一解，
根据
，
令
，则t∈（1，2]，
方程化为
在t∈（1，2]上只有一解，所以
．
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