浦东新区2017-2018年度第二学期质量抽测
高三数学试卷 2017.4
注意：1. 答卷前，考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚.
2. 本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.
1、已知集合
，集合
，则
=____
________.
2、若直线
的参数方程为
，则直线在
轴上的截距是_____
______.
3、已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为
，则该圆锥的侧面积为____
______.
4、抛物线
的焦点到准线的距离为______2_______.
5、已知关于
的二元一次方程组的增广矩阵为
，则
=___5_______.
6、若三个数
的方差为
，则
的方差为 9.
7、已知射手甲击中A目标的概率为0.9，射手乙击中A目标的概率为0.8，若甲、乙两人各
向A目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A目标的概率是___0.98________.
8、函数
的单调递减区间是_____
__________.
9、已知等差数列
的公差为2，前
项和为
，则
=___
______.
10、已知定义在
上的函数
满足：①
；②
；③在
上的表达式为
，则函数与函数
的图象在区间
上的交点的个数为6.
11、已知各项均为正数的数列满足：
，且
,
则首项
所有可能取值中的最大值为 16 .
12、已知平面上三个不同的单位向量
满足
，若
为平面内的任意单位向量，则
的最大值为_______
__________.
二、选择题(本大题共有4小题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.
13、若复数
满足
，则复数在复平面上所对应的图形是 （ D ）
A、椭圆； B、双曲线； C、直线； D、线段.
14、已知长方体切去一个角的几何体直观图如图所示
给出下列4个平面图：
（2）
（3） （4）
则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是 （ C ）
A、(1)(3)(4)； B、(2)(4)(3)； C、(1)(3)(2)； D、(2)(4)(1).
15、已知
，则
= （ C ）
A、2； B、2或
； C、2或0； D、或0.
16、已知等比数列
满足
，
，
，则
的取值范围是 （ D ）
A、
； B、
； C、
； D、
.
三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤．
17、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图所示，球O的球心O在空间直角坐标系
的原点，半径为1，
且球O分别与
轴的正半轴交于
三点.
已知球面上一点
.
（1）求
两点在球O上的球面距离；
（2）求直线CD与平面ABC所成角的大小．
解：（1）由题意：
则
，……………………………………………………2分
所以
，即
为等边三角形，所以
， …………4分
则
…………………………6分
（2）设直线CD与平面ABC所成角为
，
易得平面
的一个法向量
， …………………………11分
则
， …………………………13分
即直线CD与平面ABC所成角
…………………………14分
18、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
某地计划在一处海滩建造一个养殖场.
（1） 如图，射线
为海岸线，
，现用长度为1千米的围网
依托海岸线围成一个
的养殖场，问如何选取点
，才能使养殖场的面积最大，并求其最大面积.
（2）如图，直线为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场.
方案一：围成三角形
（点
在直线上），使三角形面积最大，设其为
；
方案二：围成弓形
（点
在直线上，
是优弧
所在圆的圆心且
），其面积为
；
试求出的最大值和（均精确到0.001平方千米），并指出哪一种设计方案更好.
解：（1）设
由余弦定理得
，
…4分
则
，
（平方千米）
即选取
时养殖场的面积最大. …………6分
（2）方案一：围成三角形
设
，由
，
当且仅当
时取等号.
所以，
（平方千米），
当且仅当
时取等号.……………9分
方案二：围成弓形
设弓形中扇形所在圆的半径为
，而扇形圆心角为
、弧长为1千米，
故
. …………10分
于是
…………11分
（平方千米） …………13分
即
，方案二所围成的养殖场面积较大，方案二更好. ……………14分
19、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知双曲线
，其右顶点为
.
（1）求以为圆心，且与双曲线
的两条渐近线都相切的圆的标准方程；
（2）设直线
过点，其法向量为
，若在双曲线
上恰有三个点
到直线的距离均为
，求
的值.
解：（1）由题意，
，渐近线方程：
，即
……………2分
则半径
， ……………4分
所以圆方程为：
……………6分
（2）若在双曲线上恰有三个点到直线的距离均为，则其中一点必定是与
直线
平行的直线与双曲线其中一支的切点 ……………8分
设直线
与双曲线C相切，并且与直线
平行，则
，即有
，消去
，得到
……………10分
则
，解得
，所以
…………12分
又是与
之间的距离，所以
或者
……………14分
20、（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
若数列
对任意的
，都有
，且
，
则称数列
为“
级创新数列”.
（1）已知数列
满足
，且
，试判断数列
是否为“2级创新数列”，并说明理由；
（2） 已知正数数列
为“
级创新数列”且
，若
，求数列
的前
项积
；
（3）设
是方程
的两个实根（
），令
，在（2）的条件下，记数列
的通项
， 求证：
，.
解：（1）由，∴
，即
，
……………………2分
且
， ………………………3分
∴是“2级创新数列” ………………………4分
（2）由正数数列是“级创新数列”，得
，且
∴
， ………………………6分
∴
是等比数列，且首项
，公比
；
∴
； ………………………7分
由
………………………9分
，∴
……………………10分
（3）由，
； ……………………12分
由是方程的两根，∴
；……………………14分
∴
.…………………16分
21、（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
对于定义域为的函数
，若函数
是奇函数，则称为正弦奇函数.
已知
是单调递增的正弦奇函数，其值域为，
.
（1）已知是正弦奇函数，证明：“
为方程
的解”的充要条件是
“
为方程
的解”；
（2）若
，求
的值；
（3）证明：是奇函数.
证明：（1） 必要性：
为方程的解，即
，故
，
即为方程的解.…………………………………………………2分
充分性：
为方程的解，即
，故
，
，即为方程的解. ………………………………4分
（2）因为
，由单调递增，可知
. ……………………5分
由（1）可知，若函数是正弦奇函数，
则当
为方程
的解，必有
为方程
的解，
，即
，
而
，故
，从而
，
即
； ……………………7分
同理
，故
，
即
； …………………………9分
综上，
. …………………………10分
（3）的值域为且单调递增，故对任意
，存在唯一的
使得
.
…………11分
可设
，下证
.
当
时，由（2）知
,命题成立； ………………………………12分
假设
时命题成立，即
，而由的单调性
知
，知
，
则当
时，
为方程
的解，故
为方程
的解，
且由单调性知
，故
，得
；
同理
，故
. ……………………………………………14分
要证是奇函数，只需证：对任意
，都有
.
记
，若
，则
，
；
……………………………………………………15分
若
，则
，
，
而正弦函数在
上单调递增，
故由
得.
若
，同理可证得. …………………17分
综上，对任意，都有.故是奇函数. …………
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